高等数学D3_4 函数的单调性与曲线的凹凸性

1、第四节一、函数单调性的判定法一、函数单调性的判定法 二、曲线的凹凸与拐点二、曲线的凹凸与拐点 函数的单调性与 曲线的凹凸性 第三三章 一、一、 函数单调性的判定法函数单调性的判定法若定理定理 1. 设函数)(xf0)( xf则 在 I 内单调递增)(xf, )0)( xf(递减) .证证: 无妨设,0)(Ixxf任取)(,2121xxIxx由拉格朗日中值定理得)()()(1212xxfxfxf),(21xxI0故. )()(21xfxf这说明 在 I 内单调递增.)(xf在开区间 I 内可导,证毕例例1. 确定函数31292)(23xxxxf的单调区间.解解:12186)(2xxxf)2)(1

2、(6xx令,0)( xf得2, 1xxx)(xf )(xf) 1,(2001)2,1 (),2(21故)(xf的单调增单调增区间为, ) 1,();,2()(xf的单调减单调减区间为).2,1 (12xOy12yxO说明说明: 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点. 例如,),(,32xxy332xy 0 xy32xy 2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 .例如,),(,3xxy23xy 00 xyyOx3xy 例例2. 证明20 x时, 成立不等式.2sinxx证证: 令,2sin)(xxxf,2,0()(上连续在则xf，上可导在)2,0(2sincos)(

3、xxxxxf)tan(cos2xxxx1xtanx0,)2,0()(内单调递减在因此xf从而2,0(,2sinxxx0)2()( fxf,2)(处左连续在又xf因此且* 证明0tanxx令,tan)(xxx则xx2sec1)(x2tan),0(,02x,),0()(2上递减在x从而0)0()(x即),0(,0tan2xxxAB定义定义 . 设函数)(xf在区间 I 上连续 ,21Ixx(1) 若恒有,2)()()2(2121xfxfxxf则称的)(xf图形是凹凹的;(2) 若恒有,2)()()2(2121xfxfxxf则称的)(xf图形是凸凸的 .二、曲线的凹凸与拐点二、曲线的凹凸与拐点yOx

4、2x1x221xx yOx2x1x221xx 连续曲线上有切线的凹凸分界点称为拐点拐点 .yOx拐点定理定理2.(凹凸判定法)(xf(1) 在 I 内,0)( xf则 f (x) 在 I 内图形是凹的 ;(2) 在 I 内,0)( xf则 f (x) 在 I 内图形是凸的 .证证:,21Ixx利用一阶泰勒公式可得)()(1fxf)()(2fxf两式相加22!21)(12xx )()(21ff ,0)(时当 xf说明 (1) 成立; (2) 设函数在区间I 上有二阶导数证毕,221xx 记)(f )(1x)(f )(2x!2)(2f 22)(x!2)(1f 21)(x)(2)()(21fxfxf

5、),(2)()(21fxfxfxyO例例3. 判断曲线4xy 的凹凸性.解解:,43xy 212xy 时，当0 x;0 y,0时x, 0 y故曲线4xy 在),(上是向上凹的.说明说明:1) 若在某点二阶导数为 0 ,2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下:若曲线)(xfy ,0连续在点x0)(0 xf或不存在,但)(xf 在 两侧异号异号,0 x则点)(,(00 xfx是曲线)(xfy 的一个拐点.则曲线的凹凸性不变 .在其两侧二阶导数不变号,例例4. 求曲线3xy 的拐点. 解解:,3231xy3592 xyxy y0)0,(),0(不存在0因此点 ( 0 , 0 ) 为曲

6、线3xy 的拐点 .Oxy凹凸xxy24362 )(3632xx对应271121,1yy例例5. 求曲线14334xxy的凹凸区间及拐点.解解: 1) 求y ,121223xxy2) 求拐点可疑点坐标令0 y得,03221xx3) 列表判别)0,(),0(32),(32y xy0320012711故该曲线在)0,(),(32及上向上凹,向上凸 , 点 ( 0 , 1 ) 及),(271132均为拐点.上在),0(32凹凹凸32) 1 , 0(),(271132xyO内容小结内容小结1. 可导函数单调性判别Ixxf,0)()(xf在 I 上单调递增Ixxf,0)()(xf在 I 上单调递减2.曲

7、线凹凸与拐点的判别Ixxf ,0)(上向上凹在曲线Ixfy)(Ixxf ,0)(+上向上凸在曲线Ixfy)(拐点 连续曲线上有切线的凹凸分界点思考与练习思考与练习 1 ,0上,0)( xf则, ) 1 (, )0(ff)0() 1 (ff或) 1 ()0(ff的大小顺序是 ( )0() 1 ()0() 1 ()(ffffA)0()0() 1 () 1 ()(ffffB)0() 1 ()0() 1 ()(ffffC)0() 1 ()0() 1 ()(ffffD提示提示: 利用)(0)(xfxf 单调增加 ,) 10()()0() 1 (fff及B1. 设在 .),(21)e1,(21212. 曲

8、线2e1xy的凹区间是凸区间是拐点为提示提示:)21 (e222xyx ),(2121),(21及及yOx)e1,(2121)e1,(2121 ; ;作业作业 P152 3 (2),(6) ; 5 (4) ; 9 (3); 10 (3) ; 14 112xxy有位于一直线的三个拐点.1. 求证曲线 证明：证明： y y222) 1(21xxx3223) 1() 133(2xxxx32) 1()32)(32)(1(2xxxxxxx2) 1() 1(222) 1(x42) 1(x)22(x22) 1(x)21 (2xx ) 1(22xx2令0 y得,11x, )1,1(从而三个拐点为因为32所以三个拐点共线.323x,322x, )34831,32()34831,32(3211348311134831112xxy32) 1()32)(32)(1(2 xxx