高等代数张禾瑞版教案第章线性方程组

1、第四章线性方程组4.1消元法教学目的：1、掌握线性方程组的和等变换，矩阵的初等变换等概念。理解线性方程组的和等变换是同 解变换，以及线性方程组的初等变换可用增广矩阵的相应的行初等变换代替。2、熟练地掌握用消元发解线性方程组，以及判断线性方程组有没有解和解的个数。设方程组：aiixi+a 12x2+ +a inxn=b i;a2lXl+a22X2 + .+a2nXn=b2；amiXi+a m2X2+a mnXn=b m.i线性方程组的初等变换：例i解线性方程组：Xi+ X 2 +X 3 =i23(2)x i + X 2 +3x 3 =332x i+ x 2 +5x 3 =231从第一和第三方程分

2、别减去第二个方程的一倍和2倍,来消去前两个方程中的未知量x 1（即2 把*1的系数化为零).我们彳4到：Xi-X3=J222Xi+ x 2 +3x 3=33 23-2x 2 -x 3 =-4-2后，与第二个方程交换，彳#:为了计算的方便，我们把第一个方程乘以x1+ x 2 +3x 3 =33x 2 +x 3 =1-2x 2 -x 3 =-4把第二个方程的2倍加到第三个方程，来消去后一方程中的未知量 X 2 ,我们得到x 1+ x 2 +3x 3 =3 13 23x 2 +x 3 =1X 3=-2现在很容易求出方程组的解.从第一个方程减去第三个方程的3倍,再从第二个方程减去第三个方程（相当于把x

3、 3的值-2代入第一和第二个方程）,得x 1+ x 2 =93x 2 =3x 3=-2，人、巾人、仙,5、，,，_/口再从第一个方程减去第二个方程的一倍（相当于把x2的值3代入第一个方程）,得3x 1 =4x 2 =3x 3=-2这样我们就求出了方程组（2）的解.分析一下以上的例子，我们看到，我们对方程组施行了三种变换 ：1） 交换两个方程的位置；2） 用一个不等于零的数乘某一个方程；3） 用一个数乘某一个方程后加到另一个方程我们把这三种变换叫做线性方程组的初等变换由初等代数知道，以下定理成立.定理4.1.1初等变换把一个线性方程组边为一个与它同解的线性方程组2矩阵：利用线性方程组（1）的系数

4、可以排成如下的一个表：a1a12.a1n321322.32n ,.3m13m2.3mn而利用（1）的系数和常数项又可以排成下表：a11a12.a1nb1321322.a2nb24） ） 331332 b3 .3 m1 3m2 .3 mnbm定义1由st个数cij排成一个s行t列的表叫作一个s行t列（或st）矩阵。叫cij作这个矩阵的元素。注意：矩阵和行列式虽然形式上有写类似，但有完全不同的意义。一个行列式是一些数的代 数和，而一个矩阵仅仅是一个表。我们把矩阵（3）和（4）分别叫作线性方程组（1）的系数矩阵和增广矩阵。一个线性方程组的增广矩阵显然完全能够代表这个方程组，我们按照线性方程组的初等变

5、换引入矩阵的初等变换的概念定义2:矩阵的行（列）初等变换指的是对一个矩阵施行的下列变换：1）交换矩阵的两行（列）；2）用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列），即用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）的每一个元素；3）用某一数乘矩阵的某一行（列）后加到另一行（列），即用某一数乘矩阵的某一刚（列） 的每一元素后加到另一行（列）的对应元素上。显然，对一个线性方程组施行一个初等变换，相 当于对它的增广矩阵施行一个对应的行初等变换，而化简线性方程组相当于用行初等变换化简它的增广矩阵。因此我们将要通过化简急诊来讨论化简线性方程组的问题。这样作，不但讨论起来比较方便，而且能够给予我们一种方法，就一个线性方程

6、组的增广矩阵来解这个线性方程组， 而不必每次把未知量写出。我国古数学书九章算术（至迟写成于三世纪）中，就是用这种方法解线性方程组的。在对一个线性方程组施行初等变换时，我们的目的是消去未知量，也就是说，把方程组的左段化简。因此我们先来研究，利用三种初等变换来化简一个线性方程组的系数矩阵的 问题。在此，为了叙述方便，除了行初等变换外，我们还允许交换矩阵的两列，即允许施行第一 种初等变换。后一种初等变换相当于交换方程组中未知量，这对于方程组的研究显然没有什么影响。在例1里，我们曾把方程组（2）的系数矩阵1 1112 315 3。32 4 5 3先化为然后进一步化为对于任一线性方程组的系数矩阵来说，我

7、们一般不能它化为这样简单的形式。但我们有定理4.1.2设A是一个 m行n列矩阵：an&2.amA=a21a22.a2n.am1dm2.Hmm通过行初等变换和第一种列初等变换能把A化为以下形式：(5) rJ行11*1 0.*1.*.*.*.Lf0 0.0进而化为以下形式:10 0.0.0C1,r 1.010.0C2,r 2 .(6) 0.0.0.1.Cr,r 1 .0.0.这里r >0,r< m,rn,*表小矩阵的兀素ClnC2n.Crn0.0但不同位置的*表示的元素未必相同证若是£!阵a的元素aj 都等于零，那么a已有（5）的形式。设某一 aij不等于零。必要时交

8、换矩阵的行和列，可以使这个元素位在矩阵的左上角。用i，一乘第一行，然后由其余各行cj分别减去第一行的适当倍数，矩阵A化为1 *0 *B=若在B中，除第一行外，其余各行的元素都是零，那么 B已有（5）的形式。设在 B的后 m-1行中有一个元素 b不为零。把b换到第二行第二列的交点的位置，然后用与上面同样的方*O法，可把B化为1 * *0 1 *0 0 *如此继续下去，最后可以得出一个形如（5）的矩阵。形如（5）的矩阵可以进一步化为形如（6）的矩阵是显然的。我们只要由第一，第二，第 r-1行分别减去第r行的适当倍数， 再由第一、第二，第r-2行分别减去第r-1行的适当倍数，等等。现在考察方程组（1

9、 ）的增广矩阵（4）。由定理4.1.2 ,我们可以对（1 ）的系数矩阵（3） 施行一些初等变换而把它化为矩阵（ 6）。对增广矩阵（4）施行同样的初等变换，那么（ 4）化 为以下形式的矩阵：10. 0QU 1 .C1rd101. 0C2,r 1. C2nd2.0. .10. . 1.Cr，r 1 . .Crn.dr0. .1. .0dr.0. .1. .1. . .0.dm与（7）相当的线性方程组是XiJCu 1 Xjr： +Cln 为&Xi2 + C2jiXi-+ + C2”n=d2（8） Xir + Cr,r 1 Krr +Cr1n X dr0= dr 1 0=dm这里 i1,i2,

10、，in 是 1, 2 , ,n情形1。R<m,而dr 1， dm不全为零。这时方程组（8）无解，因为它的后m-r个方程组至少有一个无解。因此方程组（1）也无解。情形2。R=m或R<m而dr 1， dm全为零，这时方程组（8）与方程组Xi1 + C1，r 1 Xir1+C1n Xin = d1Xi2 + C2，r 1 Xir1+ C2n n=d2（9） Xir + Cr，r 1 Xir1+ Cr1n 丸二d同解。当r=n时，方程组（9）有唯一解，就是 Xi = d t 5仁12.,n.这这也是方程组）（的唯一解。当R<n时，方程组（9）可以改写成Xi1=d 1-C1,r+1 X

11、ir+1 -C1nXin,Xi2=d 2-C2,r+1 Xir+1 -C2nXin,（10 ）Xir=d r-C r,r+1 Xir+1 - - -C rn Xin .于是，给予未知量Xi，r 1,，Xin以任意一组数值ki,r+1,?，ki,n,就得到（9）的一个解:Xii = dl-Cl，r 1 kiri-Cln kin 'Xi2i = dr-Crj 1 kiJ 1- -6 kinnXir1r = ki , r 1 rXin=kin.这也是（1）的一个解。由于 k ir+1 ,，kin可以任意选取，用这一方法可以得到（1）的无穷多解，另一方面，由于（9 ）的任一解都必须满足（10

12、），所以（9 ）的全部解，即（1 ）的全部解都可以用上方法解彳导。我们常把未知量Xi,r+1,，Xin叫作自由变量，而把（10）叫做方程组（ 1 ）的一般解。例 2 解线性方程组5 X1 - X2+2 X3+ X4 =7，2 X1+X2+4 X3-2 X4=1 ，X1-3 X2-6 X3+5 X4=0，51217对增广距阵2142 113650施行行初等变换，并注意，我们是要把其中所含的系数距阵先化为（5 ），再为（6 ），由第一和第二行分别减去第三行的5 倍和 2 倍，把第三行换到第一行，得：由二行减去三行的2 倍得：虽然我们还没把增广化为（5）的形式，但已可看到，相当于最后的线性方程组中有

13、一个方程是0=5所以原方程无解。4.2 矩阵的秩线性方程组可解的判别法教学目的：1、 能熟练地用初等变换化简矩阵，求出它的秩。2、 能用矩阵的秩判定线性方程组是否有解以及有多少个解。3、 掌握对含有参变数的线性方程组有解无解的一般方法。教学内容：定义1在一个S行t列矩阵中，任取 K列（K=S , K=T。位于这些行列交点处的元 素所构成的行列式叫作这个矩阵的一个K阶子式。定义2 一个矩阵中不等于零的子式是最大阶数叫作这个矩阵的秩。若一个矩阵没有不等于零的子式，就认为这个矩阵的秩是零。按照定义，一个矩阵的秩既不能超过这个矩阵的行的个数，也不能超过它的列的个数。一个矩阵A的秩用秩A来表示。显然，只

14、有当一个矩阵的元素都是零时，这个矩阵的秩才能是零。这样，在矩阵（3）中出现的整数r,在任何情形（包括 r=0的情形），都等于矩阵（3）的秩。 现在我们要证明，r也是线性方程组（1）的系数矩阵（2）的秩，因此r是由系数矩阵唯一决定 的。定理4.2.1初等变换不改变矩阵的秩。证我们先说明以下事实：若是对一个矩阵A施行某一种行或列初等变换而得到矩阵B,那么对B施行同一种初等变换又可以得到Ao事实上，若是变换 A的第I行与第j行乘以一个不等于零的数a而得到B ,那么把B的第i行乘以 工就又得到A;若是把A的第j行乘以一K加到第Ia行就又得到Ao列初等变换的情形显然完全一样。现在我们就第三种行初等变换来

15、证明定理。设把一个矩阵 A的第j行乘以数k加到第I行而得到矩阵 B :/ / ai1ainai1 +ka j1 -ain+ka jnA= ,B=aj1ajn aj1 ajn并且A的秩是r。我们要证明，B的秩的秩也是r。我们先证明，B的秩不能超过r, 若是£1阵B没有阶数大于r的子式，那么它当然也没有阶数大于r的不等于零的子式，因而它的秩显然不能超过 r.设矩阵B有s阶子式D ,而s>r,那么有三种可能情形。（i） D不含第I行的元素：这时 D卢是£1阵A的一个s阶子式，而s大于A有秩，因此D=0。（ii） D含第I行的元素，也含第jait1 +ka jt1 ?, ai

16、ts+ka jtsaajts=0D= =ajt1 ajts aji1 ajts因为后一行列式是矩阵是矩阵A的一个s阶子式。（iii） D含第I行的元素，但不含第 j行的元素。这时D=a iti +ka jti ? aits +ka jts=D i+KD 2,这里D1=a iti , , a its D2=a jti aj ：s由于Di是矩阵A的一个s阶子式，而D2与A的一个s阶子式最多差一个符号，所以这两个行列式都等于零，从而 D=0 0因此，在矩阵B有阶数大于r的子式的情形，B的任何这样的子式都等于零，而 B的秩也不能 超过r.这样，在任何情形，我们都有，秩 B=秩A。但我们也可以对矩阵 B

17、施行第三种行初等变换而得到矩阵Ao因此，我们也有，秩 A <=B o这样我们就证明了，秩 A=秩B ,即第三种行初等变换不改变矩阵的秩。对其它初等变换来说，我们可以完全类似地证明定理成立。定理4.2.2 （线性方程组可解的判别法）线性方程组（ i）有解的充分且必要条件是：它的 系数矩阵和增广矩阵有相同的秩。证用A表示方程组（i ）的增广矩阵：aiiai2 ainb i、A =a2i ai2a2nb 2 / ami am2amnb m那么A的前n列作成的矩阵 A就是（i ）的系数矩阵。利用初等变号把A化为i0 '"0c i.r+i/cin d i0i 0c 2.r|+l

18、c2nd2B =00 ic r,r+i crn dr0 0dr+i0dm并且用B表示B的前n列作成的矩阵。那么由定理4.2.i得:4、 ） 秩人=秩B=r,秩庆=秩B.现在设线性方程组（i ）有解.那么或者r=m,或者r<m,而dr+i= =dm=0,这两种情形都有秩B=r.于是由（4）得，秩人=秩A .反过来，设秩人=秩A.那么由（4）得，B的秩也是r.由此得，或者r=m,或者r<m而dr+1 =dm=0,因而方程组（1 ）有解.这样，定理得到证明.定理4.2.3设线性方程组（1）的系数矩阵和增广矩阵有相同的秩r.那么当r等于方程组所含未知量的个数 n时，方程组有唯一解；当 r&

19、lt;n时，方程组有无穷多解.4.3 线性方程级的公式解教学目的：1 .掌握线性方程级的公式解。2 .学会应用线性方程组的求解公式，讨论线性方程组的解数。 教学内容：1线性方程级的公式解问题.设有线性方程组aiixi+a 12X2 + ainx n=b i,a211 Xi+a22X2+ a2nXn=b 2, （i）ami Xi+a m2X2+amnX n=b m.的公式解。例1考察线性方程组X 1+2X 2-X 3=2,2X1-3X2+X 3=3,4X 1+X 2-X 3=7.我们把这三个方程依次用Gi, G2, G3来表示。那么在这三个方程间有以下关系：G3=2G 1+G 2。这就是说，第三

20、个方程是前两个方程的结果.因此由中学代数知道，第三个方程可以舍去，亦即方程组和由它的前两个方程所组成的方程组X1+2X 2-X 3=2, 2x i-3x 2+x 3=3, 同解.同样，把方程组（1 ）的m个方程依次用 Gi, G2,，Gm来表示。若是在这 m个方程中, 某一个方程Gi是其它t个方程Gii,Gi2,，Git的结果，也就是说，若是存在 t个数ki,k2,ki 使关系式Gi=k iGii +k 2Gi2 +k iGit成立，那么我们可以在方程组（1）中舍去方程 Gi而把方程组（1）化简.现在设方程组（1）有解，并且它的系数矩阵的秩是rw0.（r=0）的情形是明显的，我们不必加以讨论。

21、）经过初等变换，可以把解方程组（1）归结为解一个含有 r个方程的线性方程组。定理4.3.1设方程组（1）有解，它的系数矩阵 A与增广矩阵 A的共同秩是rw0.那么可以在（1 ）的m个方程中选出r个方程，使得剩下的 m-r个方程中的每一个都是这r个方程的结果，因而解方程组（1）可以归结为解由这r个方程所组成的线性方程组。证由于方程组（1）的系数矩阵 A的秩是r,所以A至少含有一个r阶子式D w 0.为了叙述方便，不妨假定 D位在A的左上角，因而也在增广矩阵A的左上角：aii ajai, r+i . . ainbiDA =a ri "' ar,r ar,r+1 '&quo

22、t;arnbrar+i ,1 ar+i, rar+i,r+iar+i,n br+1/ami .amram,r+1 .arnn bm现在我们证明，方程组(1 )的后m-r 一个方程的每一个都是(1)的前r个方程 ailXl + -airXr+a 1,r+1 Xr+1 + 111 ainXn=b 1,a21 x 1 + a2rXr+a 2,r+1 Xr+1 + a2n Xn =b 2,3 3)ar1X1+-ar2Xr+ar,r+1 Xr+1 +-amXn=b r.的结果。看(1)的后m-r个方程的任一个，例如第 i (r<i<=m )个方程ai1X1+ .airXr+a i,r+1 X

23、 r+1 +ainXn=b i.,我们需要证明，存在 r个数k1,k2,kr,使得Gi=k 1G1+k 2G2+k rGr亦即使an k 1+a 21k 2+ an k r=a i1a1rk1+a2rk2 + arrkr=a ir, (4)a 1,r+1 k1+a2,r+1 k2+ ar,r+1 kr=a i,r+1a1n k1+a 21k 2+arn k r=a in b1k 1+b 2k2+brkr=a i, 为此我们把k1,k2,kr看作未知量，而来证明线性方程组（4）有解。方程组（4）的增广矩阵是而B的前r列作成的系数矩阵B.我们要计算矩阵B和B的秩.注意，B的列刚好是方程组的增广矩阵

24、的 A某些行.这样，矩BB的左上角的r阶子式刚好是 A的子式D的转置行列式， 因而不等到于零：由于D也是£!阵B的子式，所以矩阵B和B的秩都至少是r.另一方面，矩阵的B任一个r+1阶子式Dr 1都是A的某一个r+111阶子式的转置行列式.由于A的秩是r,所以A的所有r+1阶子式都等于零，由此得Dr 1必然等零.但B没有阶数高于?r+1的子式，所以B和B的秩都是r, 而方程组（4）有解.这样我们就证明了 ，方程组（1）的后m-r个方程都是前r个方程的结果，而解方程组（1）归结为 解方程组（3）.3 .方程组（1）的公式解：r=n和r<n的情形.若是r=n,那么（3）就是方程个数等于未知量个数的一个线性方程组，并且它的系数行列式D 0,所以（3）有唯一解，这个解可由克莱姆规则给出.这个解也是方程组（1）的唯一解.现在设r<n,这时方程组（3）的前r个未知量的系数所成的行列式D 0 .在方程组（3）中把含未量Xr 1,Xr 2, ,Xn的项移到右边，方程组（3）可以写成：暂时假定Xr1,Xr 2,Xn是数，那么（3）变成r个未知量X1,X2,Xr的个方程.用克莱姆规 则解出X1,X2, ,Xr得DiD2Dr（5） Xi，X2,Xr ,DDD这里把（5）中的行列式展开,（5）可以写成（6） 这里dk和Cki都是可以由方程组（1）的系和常数项表示的数.现