高二导数讲义含经典例题学生用(优选.)

1、精品Word.最新文件仅供参考已改成word文本方便更改导数知识点归纳L导数的概念函数y=f(x),如果自变量x在X。处有增量Ar，那么函数y相应地有增量与，= ,比值 叫做函数y=f (x)在。到Xo + Ar之间的平均变化率，即2=。如果当& f ()时，-Ax8有极限，我们就说函数y=f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做f (x)在点X。处的导数，记作f Ax(x o )或y |尸.卬o即 f(x。) = lim =lim。Aso Ay *to2、导数的几何意义函数y=f (x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y=f (x)在点p (x0 , f (x。)处的。也就是说，曲线

2、y=f (x )在点p ( X。，f (X。)处的 是f/ (x0 1相应地，切线方程为3、几种常见函数的导数：1A17精品Word.4、两个函数的和、差、枳的求导法则法则1 ：法则2 ：若C为常数,法则3 ：形如y=f（x）的函数称为复合函数。复合函数求导步噱：分解一求导一回代。5、单调区间：一般地,设函数y = /（x）在某个区间可导，则/（外为增函数；/«）_,则/'（X）为减函数；如果在某区间内恒有/'（X）= 0 ,则/W为常数；6.极点与极值:2/217精品Word.曲线在极值点处切线的斜率为_，极值点处的导数为一;曲线在极大值点左侧切线的斜率为_,右 侧

3、为；曲线在极小值点左侧切线的斜率为_,右侧为_;7、:一般地，在区间a , b上连续的函数f (%)在a , b上必有最大值与最小值。求函数在(a, b)内的;求函数/ (%)在区间；将函数/ (x)的各与比较，其中是最大值，其中是最小值。常见综合题方法导航1、关于函数的单调区间(若单调区间有多个用字连接或用 二号"隔开)，极值，最值；不等式恒 成立；此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令/ *) = 0得到两个根；第二步：列表如下；第三步：由表可知；不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，常见处理方法有四种：第一种：变更主元(即关于某字母的一次函数)-题型特征(已知谁的范围

4、就把谁作为主元)；第二 种：分离变量求最值；第三种：关于二次函数的不等式恒成立；第四种：构造函数求最值一一题型特征 f(x) > g(x)恒成立=/i(x) = f(x) -g(x)>0立；2、已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围及函数与x轴即方程根的个数问题；（1）已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围的常用方法有三种：第一种：转化为恒成立问题即/ '（X）> 0或/（x） < 0在给定区间上恒成立，然后转为不等式恒成立问题； 用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（看是否在0的同侧），如果是同侧则不必分类讨论；若在。的 两侧,则必须分类讨论,要注意两边同

5、处以一个负数时不等号的方向要改变呀！有时分离变量解不出 来，则必须用另外的方法；第二种：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区 间的子集；第三种：利用二次方程根的分布，着重考虑端点函数值与0的关系和对称轴相对区间的位置；特别说 明：做题时一定要看清楚"在（a,b ）上是减函数"与"函数的单调减区间是（a,b y ,要弄清楚两句话的 区别；（2）函数与x轴即方程根的个数问题解题步骤第一步：画出两个图像即"穿线图"（即解导数不等式）和"趋势图"即三次函数的大致趋势"是先增后

6、 减再增"还是"先减后增再减"；第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系；第三步：解不等式（组）即可；3、函数的切线问题；问题1 :在点处的切线，易求；问题2 :过点作曲线的切线需四个步骤；第一步：设切点，求斜率；第二步：写切线（一般用点斜式）；第三步：根据切点既在曲线上又在切 线上得到一个三次方程；第四步：判断三次方程根的个数；4用7精品Word.经典题型分类解析【导数定义的应用】 例L求抛物线V = /上的点到直线x - y - 2 = 0的最短5巨离.1、(福建)已知对任意实数x ,有/(-x) = -/(x),

7、g(-x) = g(x),且x>0时， f(x) > 0, g'(x)>0 ,贝(1天V0时(B. /«>0, g'(x)v。c. ruxo, g'o。D. r(x)<0, gf(x)<02、已知P( -1, 1),Q(2,4)是曲线y =一上的两点，则与直线尸。平行的曲线y =/的切线方程是3.已知函数/(x) = / + 口/ +泣+=-2处取得极值,并且它的图象与直线y = -3x + 3在点(1,0)处相切，则函数/(X)的表达式为 _m2.【利用导数研究函数的图像】例L （安徽高考）设。b,函数），=。一）2。-3

8、的图像可能是（）7171、设/'（X）是函数/（x）的导函数，将），= /*）和y = /'（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是_。【利用导数解决函数的单调性及极值问题】精品Word.例1、当x。，证明不等式一ln(l + x)x. + x例2、(全国高考)已知函数/(幻=/+。/+工+ 1 , aeR(I )讨论函数的单调区间；(11)设函数/(刈在区间2,内是减函数，求的取值范围.33；【变式1(全国高考)若函数/(6=二3-Lh+(4 1卜+ 1在区间(14)上是减函数，在区间 2(6,)上是增函数，求实数。的取值范围.【变式2】(浙江高考)已知函数/(幻=

9、/+(1-)/-(4 + 2口 +人(a/eR).若函数/(X)在区间 上不单调，求。的取值范围.练习L利用函数的单调性，证明：In x < x <婷,x > 0变式 1：证明：1 一一 <ln(x+l)<x , x>-l x+变式2 :(理科)设函数f(x)=(l+x)2 - ln(l+x)2.若关于X的方程f(x)=x2+x+a在0,2上恰好有两个相异的实根，求实数a的取值范围.精品Word.2、已知函数/(幻=:/一以2+2工+。，x = 2是/(x)的一个极值点.7(I )求/(用的单调递增区间；(口)若当工以1, 3时，/3)-/> 恒成立，

10、求。的取值范围.3、设函数/(x) = ln(x + a) + x2,若当工=_1时，/(x)取得极值，求。的值，并讨论/(x)的单调性.4.设, f(x) = a -1 - In2 x + 2a In x(x > 0).(i )令尸a)=('0),讨论尸在(a+8)内的单调性并求极值;(II )求证：当x>l时，恒有x-%nx + .10/017精品Word.5、设/'(幻=二二, g(x) = «x + 5-2a(a>0)。(1)求/(X)在0,1上的值域；(2 )若对于任意项总存在与 £0,使得g(x0) = /(±)成立，

11、求。的取值范围。【利用导数的几何意义研究曲线的切线问题】例1、(江西高考)若存在过点(1,0)的直线与曲线y = Y和,，=a/ +12 x - 9都相切,则。等于 4c.Z或-”4647D. 或7425A. 一1 或一二64【变式】(辽宁高考)设尸为曲线。：，=炉+21+ 3上的点，且曲线。在点。处切线倾斜角的取值范围为则点。横坐标的取值范围为()A .B , -1,0C . 04 口.声11X17综合实战训练精品Word.1设函数/W在定义域内可导，片4M的图象如右图所示，则导函数片1(M的图象可能为()112172已知曲线S:片3x- 及点尸(2,-2),则过点户可向5引切线的条数为()

12、(4)0(02(D)34 .函数y = xcosx-sinx在下面哪个区间内是增函数().(明苧(2)(吟5 .片2/-3"+方的极大值为6,那么a等于()(4)6(60(C)5(D)l6 .函数 上)二2 - 3户工在闭区间-3,0上的最大值、最小值分别是()5)1 , -1(63 , -17(C)l , -17(D)9 , -197 .设A为曲线yi=si"x在点(0,0)处的切线，为曲线汝=cosx在点(£,0)处的切线，则4与的夹角为8 .设函数1,若当x=l时，有极值为1 ,则函数g(M=M+/+6x的单调递减区间精品Word.9 .（湖北）已知函数），

13、= /«的图象在点M（L /（I）处的切线方程是y = Jx + 2 ,则/（1） + /（）=10 .（湖南）函数/。） = 12工-/在区间-3,3上的最小值是11.（浙江）曲线y = / 一 2/ - 4x + 2在点（1, 一 3）处的切线方程是12.已知函数 f (x) = 一x" + ax2 + b(a,b e R)（I ）若函数/（x）图像上任意一点处的切线的斜率小于1 ,求证；（n）若工句。/，函数），=/*）图像上任意一点处的切线的斜率为攵，试讨论k尸1的充要条件。实战训练B1 .（海南）曲线y = J在点（4 e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）

14、14X17精品Word.qA . -e2B . 4e2C . 2e2D . e222 .(海南)曲线,v =，在点(2,)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为()D-yf XO) > 0 ,对于任意实数x都有3 .(江苏)已知二次函数/(x) = ar+bx + c的导数为fx)/*注0 ,则少的最小值为（）53A . 3B . C2 D .224 .（江西）5 .若。< X < 1则下列命题中正确的是（）2A334 2 p,4,A . sinx< x B . sin x > x C . smx<x D . sin x > x- 兀兀兀一兀5 .（江西）

15、若。< x v巳，则下列命题正确的是（）22233A . sinx< x B . sinx> x C . sinx<x D . sinx> x7T7T兀兀6.(辽宁)已知/(x)与g(x)是定义在R上的连续函数，如果/(x)与g(x)仅当X = 0时的函数值为 0 ,且/(x) 2 g(x),那么下列情形不可熊出现的是()A .。是的极大值，也是g(x)的极大值B . 0是/（x）的极小值，也是g（x）的极小值C. 0是/（X）的极大值，但不是g（x）的极值D.0是/"）的极小值，但不是g（x）的极值7 .（全国一）曲线y = 在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（尸I8 .（全国二）已知曲线y =、的一条切线的斜率为1 ,则切