最新-高考真题-选修4-5不等式选讲

1、学习-好资料选修4-5不等式选讲考点不等式选讲1. (2017?新课标 I ,23)已知函数 f (x) =-x2+ax+4, g (x) =|x+1|+|x - 1| . (10 分)当a=1时，求不等式f (x) >g(x)的解集；(2)若不等式f (x) >g(x)的解集包含-1, 1,求a的取值范围.11. (1)解：当a=1时，f (x) = - x2+x+4,是开口向下，对称轴为x=二的二次函数，(2r ,x>l1g (x) =|x+1|+|x - 1|= I . " fX<一1，历T当 xC (1, +00)时，令-x2+x+4=2x,解得 x=

2、 二 ,g (x)在(1, +°°)上单调递增,后1f (x)在(1, +8)上单调递减，此时 f (x) >g(x)的解集为(1,2;当 xC 1, 1时，g (x) =2, f (x) >f( - 1) =2.当 xC (-8, - 1)时，g (x)单调递减，f (x)单调递增，且 g ( - 1) =f ( - 1) =2.综上所述，f (x) >g(x)的解集为-1, -2 ；(2)依题意得：-x2+ax+4>在-1, 1恒成立，即x2- ax- 2W0在T, 1恒成立，则只需；P-ci-l-2<0.I0：(一 1) 一口(一1)一

3、2sl0,解得1wa&i故a的取值范围是T,1.2. (2017?新课标n ,23)已知 a>0, b>0, a3+b3=2,证明：(I) (a+b) (a5+b5) >4(n) a+b<22.证明：(I)由柯西不等式得：(a+b) (a5+b5) >(口 ' 一 +)2= (a3+b3) 2 4当且仅当=,即a=b=1时取等号，/ TT . .3. 3 c(n ) . a +b =2,o2. ( a+b) (a - ab+b ) =2,. ( a+b) (a+b) - 3ab=2 ,. ( a+b) 3 - 3ab (a+b) =2,玄用)=ab

4、,由均值不等式可得:3(什书) =ab< (2 ) 2又共分( a+b) 3- 2< -4 ,I4 (a+b)a+b< 2,当且仅当a=b=1时等号成立.3. (2017?新课标ID ,23 )已知函数 f (x) =|x+1| - |x - 2| .(I )求不等式f (x) >1的解集；(H)若不等式f (x)*-x+m的解集非空，求 m的取值范围.(-3 却 - 13. (I) f (x) =|x+1| - |x -2|= 3, f (x) >1,当1WxW附，2x- 1 > 1,解得 1WxW；2当x>2时，31恒成立，故x>2;综上，不

5、等式f (x) >1的解集为x|x >1.(n )原式等价于存在 xC R使得f (x) - x2+x)m成立，IP rrrcf (x) - W+xmax , 设 g (x) =f (x) x+x.-W+工-3K£ - 1一炉+女L l<x<2由(1)知，g (x) = i -r-+x+ 3 ,x> 2,2当X<- 1时，g (x) =- x2+x- 3,其开口向下，对称轴方程为x=二> - 1, -g(X)<g(- 1) =- 1 - 1 - 3=- 5;当-1vxv2时，g (x) =-x2+3x- 1,其开口向下，对称轴方程为 x

6、= - ( - 1, 2),39 95'-g (x) <g( - ) =- 4 + 21= 4 ；2当x>2时，g (x) =-x2+x+3,其开口向下，X出东轴方程为x=二<2,1. g (x) Wg(2) =-4+2=3=1;5综上，g (x) max= 4 ,5. m的取值范围为(-4.4. (2017?江苏,21D)已知 a, b, c, d 为实数，且 a2+b2=4, c2+d2=16,证明 ac+bd <84 .证明：a2+b2=4, c2+d2=16,令 a=2cosa, b=2sin a c=4cos 8 d=4sin 3ac+bd=8 ( c

7、os a cos 3+sin a Sin= 8cos (a 3) && 当且仅当 cos ( a- 3) =1 时取等号. 因止匕ac+bdw &5.(2016 全国 I , 24)已知函数 f(x)=|x+1|-|2x-3|.(1)在图中画出y=f(x)的图象；(2)求不等式|f(x)|>1的解集.rx 4, x< 1 ,L “35 .解f(x)=3x 2，1<x 2' y=f(x)的图象如图所示.3 -x+4, x>2,(2)当 f(x)=1 时，可得 x= 1 或 x=3;更多精品文档学习-好资料1当f(x)= 1时，可得x =-或

8、x=5, 3故 f(x)>1 的解集为x1<x<3 ; f(x)< - 1 的解集为或X>5)所以|f(x)|>1的解集为F)x<§或1<x<3或x>5 )6 .(2016 全国 ID , 24)已知函数 f(x)= |2x-a|+a.(1)当a = 2时，求不等式f(x) & 6的解集；(2)设函数g(x) = |2x1|.当xC R时，f(x)+g(x)>3,求a的取值范围.6.解 (1)当 a=2 时，f(x)= |2x2|+2.解不等式 |2x2| + 206 得一1WxW3.因此f(x)&6的

9、解集为x|1&X&3.(2)当 x R 时，f(x) + g(x) = |2x- a|+ a+ |1 - 2x|> |2x- a+ 1 - 2x|+ a= |1 - a|+ a,所以当 xCR 时，f(x) + g(x)>3 等价于 |1 a|+a>3.当aw 1时，等价于1 a + a3,无解.当a>1时，等价于a-1 + a>3,解得a>2.所以a的取值范围是2, +8).117.(2016全国n , 24)已知函数f(x)= x- + x + , M为不等式f(x)<2的解集.求M;(2)证明：当 a, bCM 时,|a+b|&l

10、t;|1 + ab|.c一 12 2x, x< - '2'117.(1)解 f(x)= 1 1, - 2<x<2,1L 2x, x>2.11当 xw2 时，由 f(x)<2 得一2x<2,解得 x>1,所以,-1<xW -2；- 1 L. 一当-2<x<2时，f(x)<2;1 1当 x>；时，由 f(x)<2 得 2x<2,解得 x<1 ,所以，-2<x<1.所以 f(x)<2 的解集 M = x|1<x<1.(2)证明 由(1)知，当 a,bCM 时,-1&

11、lt;a<1,-1<b<1,从而(a+b)2-(1 + ab)2= a2+b2-a2b2-1 = (a2-1)(1-b2)<0,即(a+b)2<(1+ab)2,因此 |a+b|<|1 +ab|.8.(2015重庆，16)若函数f(x) = |x+1|+2|xa|的最小值为 5,则实数a =.8.4或一6 由绝对值的性质知f(x)的最小值在x=-1或x=a时取得，若f(-1)=2|1-a|=5,a3 ,、7=2'或a= 5，经检验均不合适；右f(a)=5,则|x+1|=5, a = 4或a= 6,经检验合题息，因此a= 4或a= 6.9.(2015陕西

12、,24)已知关于x的不等式|x+ a|vb的解集为x|2<x< 4.(1)求实数a, b的值；(2)求"at + 12 +4瓦的最大值._b_ a=2)9 .解(1)由|x+a|v b,得一bavxvba,则“解得 a=3, b = 1.b-a=4,(2)/-3t+12 +#= V3山二 + Vt< 叱(V3) 2+12 (V4t) 2+ (#)<=2/4 t+t = 4,当且仅当省口=,3即t=1时等号成立，故(四3t+12 + <t)max=4.10 .(2015 新课标全国 I,24)已知函数 f(x)= |x+ 1|-2|x- a|, a>

13、0.(1)当a=1时，求不等式f(x)>1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.11 .解 当 a=1 时，f(x)>1 化为 |x+1| 2|x1|1>0.当xw 1时，不等式化为 x-4>0,无解；2当一1<x<1时，不等式化为 3x-2>0,解得2Vx<1 ； 3当x>1时，不等式化为x+2>0,解得1Wx<2.所以f(x)>1的解集为仅2Vx<2 tL 31 -2a, x< 1,(2)由题设可得，f(x) = 3x + 1 2a, 1 w x w a,x+1 + 2

14、a, x>a.所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A【2am，0 ：B(2a+1,0),C(a,a+1), ABC的面积为3(a+1)2.由题设得|(a+1)2>6,故a>2.所以a的取值范围为(2, +°o ).11.(2015新课标全国n,24)设a、b、c、d均为正数，且 a+b=c+d,证明:若ab>cd,则0+亚>证+ 4d;(2p/a+ Vb>Vc+ 也是|ab|v|c d|的充要条件.11.证明(1)因为(3 + Vb)2=a+b+2啊，(Vc+Vd)2=c+d+2Vcd, 由题设 a + b=c+d, ab>

15、;cd 得(qa+qb)2>(W+qd)2 因此5 + 例>m+,. (2)若 |ab|v|cd|,则(a b)2(c d)2,即(a+b)2 4abv (c+d)24cd.因为a+b= c+d,所以ab>cd.由(1)得平+事>平+ yfd.若 ja + b > jc + d,则(ya + Tb) 2> ("6+d) 2,即 a+ b + 2Jab > c+ d + 2-cd. 因为 a+b= c+d,所以 ab> cd,于是(ab)2= (a+b)24abv (c+d)24cd= (c d)2.因此 |a一b|v |c d|综上，i

16、ja+b>c+ d是|ab|v |cd|的充要条件.12.（2014广东，9）不等式|x- 1|+ |x+2|>5的解集为 x> 1,121邓"3或42原不等式等价于'»1）+（x+2） >5-2<x<1,x< -2,或j或j(x1) + (x+2) > 5 ( x 1) ( x+ 2) > 5,解得x>2或x< 3.故原不等式的解集为x|xw - 3或x>2.51 |13.(2014湖南，13)若关于x的不等式|ax-2|<3的解集为ix|-<x<- 1则a=.13.-3 依

17、题意，知 aw0.|ax2|<3? -3<ax-2<3? -1<ax<5,当 a>0 时，不等式的解集信，,1 5- a 3'、”.为1, 5 ；,从而有此方程组无解.a a15-J=-5,a 3户=_5当a<0时，不等式的解集为 岛-a ；'a 3' .,从而有 <解得a=- 3.a 3更多精品文档学习-好资料14.(2014重庆，16)若不等式|2x 1|+ |x+2|>a2+|a+2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是.一 .1 1.一，一5 - 一 o 15114. 1, 2 令 f(x)= |2x-1|

18、+|x+2|,勿求得 f(x)min = -,依题国得 a +2a+2W3? -1 < a<2.15.(2014 新课标全国 n,24)设函数 f(x) = |x+J|+|xa|(a>0).a证明：f(x)>2;(2)若f(3)<5,求a的取值范围15.(1)证明 由 a>0,有 f(x)= |x+1|+ |x-a|>|x+ 1一(xa)| = 1+a>2.所以 f(x)>2. aaa(2)解由 f(3)<5 得 3<a<f(3)=|3+)+|3 a|.当 a>3 时，f(3)=a + 1, aa当 0<aW3 时，f(3) = 6-a + 1,由 f(3)<5