高等数学教学 第十节 闭区间上连续函数的性质

1、. )() ()()() ( ()() (,),(0000值值小小上上的的最最大大在在区区间间是是函函数数则则称称都都有有使使得得对对于于任任一一如如果果有有上上有有定定义义的的函函数数对对于于在在区区间间IxfxfxfxfxfxfIxIxxfI 第十节第十节 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质一、有界性与最值定理一、有界性与最值定理二、零点定理与介值定理二、零点定理与介值定理*三、一致连续性三、一致连续性四、小四、小 结结2/11一、最大值和最小值定理一、最大值和最小值定理定义定义: :,sgnxy 例如例如,),(上上在在 ,2max y; 1min y,), 0 (上上在在 .

2、 1minmax yy,sin1xy ,2,0上上在在 ;0min y, 1max ya3/11定理定理1(1(最大值和最小值定理最大值和最小值定理) ) 在闭区间上连续在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值的函数一定有最大值和最小值. .b2 1 xyo) ( x f y ).()(),()(,)(2121xffxffbaxbabaCxf 有有使使得得则则若若) (xfy 注意注意: :1.若区间是开区间若区间是开区间, 定理不一定成立定理不一定成立; 2.若区间内有间断点若区间内有间断点, 定理不一定成立定理不一定成立.4/11yo) ( x f y 212 2 yo) ( x f y

3、, , ) (上上连连续续在在设设函函数数b a x f2定理定理2(2(有界性定理有界性定理) ) 在闭区间上连续的函数一定在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界在该区间上有界. .证证,bax ,)(Mxfm 有有,maxMmK 取取.)(Kxf 则则有有., )(上上有有界界在在函函数数baxf5/11二、介值定理二、介值定理.) (, 0)(000的的零零点点称称为为函函数数则则使使如如果果xfxxfx 定义定义: :.) , (0) (内内至至少少存存在在一一个个实实根根在在即即方方程程 baxf 6/11bb3 1 1 .,) (轴轴至至少少有有一一个个交交点点线线弧弧与与则则曲曲

4、轴轴的的不不同同侧侧端端点点位位于于的的两两个个连连续续曲曲线线弧弧xxx f y 几何解释几何解释:1 yo) ( x f y ).()(),()(,)(2121xffxffbaxbabaCxf 有有使使得得则则若若7/11几何解释几何解释:MBCAmab2 3 2x1x, ) ( ) ( Cx f x 设设yo) ( x f y ).()(),()(,)(2121xffxffbaxbabaCxf 有有使使得得则则若若证证,)(上上连连续续在在则则bax Cafa )()( 且且,CA Cbfb )()( ,CB , 0)()( ba 使使),(ba 由零点定理由零点定理,0)( , 0)

5、() ( Cf 即即.)(Cf .)(至至少少有有一一个个交交点点直直线线与与水水平平连连续续曲曲线线弧弧Cyxfy .)1 , 0(01423至至少少有有一一根根内内在在区区间间证证明明方方程程 xx8/11推论推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大在闭区间上连续的函数必取得介于最大值值 与最小值与最小值 之间的任何值之间的任何值. .例例1 1, 14)(23 xxxf令令证证, 1 , 0)(上上连连续续在在则则xf,01)0( f又又, 02)1( f使使),1 ,0( 由零点定理由零点定理,0)( f, 01423 即即.) 1 , 0 (01423 内内至至少少有有一一根根在在方

6、方程程 xxMm. ) (), , (. ) (, ) ( , , ) ( fb abb faa fb ax f使使得得证证明明且且上上连连续续在在区区间间设设函函数数9/11例例2 2,)()(xxfxF 令令证证,)(上上连连续续在在则则baxFaafaF )()(而而,0 使使), (b a 由零点定理由零点定理, 0)()( fFbbfbF )()(,0 .) ( f即即 如如 果果)( xf在在,ba上上 有有 定定 义义 ， 在在),(ba内内 连连 续续 ， 且且0)()( bfaf， 那那 么么)( xf在在),(ba内内 必必 有有 零零 点点 .10/11三、小结三、小结四个定理四个定理有界性定理有界性定理;最值定理最值定理;介值定理介值定理;根的存在性定理根的存在性定理.注意注意1闭区间；闭区间； 2连续函数连续函数这两点不满足上述定理不一定成立这两点不满足上述定理不一定成立解题思路解题思路:先利用最值定理先利用最值定理,再利用介值定理再利用介值定理;2.2.辅助函数法辅助函数法: :先作辅助函数先作辅助函数F(x),再利用零点定理再利用零点定理;用时用时1课时课时11/11思考题思考题下述命题是否正确？下述命题是否正确？业业作作;3;274P 0, 210,) (xxex f12/11思考