非参数固定效应面板数据模型的约束剖面加权最小二乘估计.docx

1、Vol.53No.2Mar.2014厦门大学学报(自然科学版)JournalofXiamenUniversity(NaturalScience)doi:lO.6O43/j.issn.O438-O479.2O14.O2.OO5非参数固定效应面板数据模型的约束剖面加权最小二乘估计解其昌*，赖绍永(1.山东工商学院经济学院，山东烟台264005；2.西南财经大学经济数学学院.四川成都611130)摘要：对异方差非参数固定效应面板数据模型的估计进行了研究.采用约束剖面加权最小二乘法，给出了估计量的闭表达式并且证明了固定效应参数和非参数函数估计具有渐近正志分布性质.进一步.得到了固定效应参数和非参数函数

2、估计的收敛率.关键词：面板数据；固定效应；局部近似；非参数回归；剖面加权最小二乘法中图分类号：O212.7»F224.0文献标志码：A文章编号：0438-0479(2014)02-0171-051预备知识面板数据或纵向数据描述了跨越时间的个体信息,它包含截面和时间两个方向维度.对比单纯的时间序列数据或横截面数据来说，面板的双重维度不仅使其包含了每个个体更多的内容，而且有助于研究者发展更复杂的模型分析技术.随着面板数据可获得性的增长，面板数据的理论和应用研究变得越来越流行.关于参数面板数据模型的统计推断和计最分析，Hsia。和Baltagi给出了详细的介绍和全面的回顾.参数面板模型能够

3、简明和清晰地描述出变量间的相互关系.然而，该类模型的最大缺陷就是需要很强的假设条件并且很容易产生模型错误设定的风险.如何弥补参数模型的这些不足，一个有效的备选方法就是引入非参数或半参数建模思想.本文就是基于这种思想，考虑下述非参数固定效应面板数据模型：ya=aj+gf)=】，；，=1，JV8,(1)这里是反应变髭，S定义成固定效应参数,g()为一个未知光滑函数门是外生协变量以及为随机误收»a»,2013-07-04基金项目：教育部科学技术研究重点项目(109140)；山东工商学院博士启动基金(521014306203)通值作#：qichangx差.为了模型的可识别性，需要史

4、们=0.此外，假设随i-1机误差气满足£<,)=0和var()=时=1,/.相比参数面板数据模型，非参数和半参数面板模型的研究还非常滞后.采用基于局部多项式近似的广义估计方程技术，Lin等检验了非参数平行面板数据模型的渐近性质，但是他们没有给出估计量的收敛速度.Baltagi等研究了随机误差服从独立同分布的半参数固定效应面板数据模型的估计，却没有考虑误差分布的异方差性.Su等使用剖面似然法分析带有固定效应的半参数面板模型，推导出了非参函数的渐近正态性，而并没有得到固定效应的分布理论.通过一阶差分方法，Henderson等获得了固定效应非参数面板数据模型估计的收敛率，但是由于计算

5、程序复杂，没有建立估计最的渐近正态分布性质.Qian等运用边际积分技术，讨论了半参数固定效应面板数据模型的估计，然而该方法运算复杂且消耗时间.此外,文献也都对非参数面板模型进行了深入研究,但都没有考虑异质信息或个体效应影响.本文检验异方差非参数固定效应面板模型的一致估计.不同于传统的一阶差分方法，我们给出了使用约束剖面加权最小二乘技术估计该模型的详细步骤.该方法的主要优点就是计算简便以及容易实现.通过构造虚拟变蜃和引入局部线性近似的方法，不仅得到了模型中固定效应参数和非参数函数估计的表达式并且还推导出了估计最的渐近正态分布性质.同时，证明了参数和非参数估计最能够实现相应的参数和非参数收敛率.2

6、模型估计若令勺是第，个元素等于1,其余元素是o的JXI维矩阵且记xtl=孔，=e,=(xtI,，x.j)丁、y,=(W，,w)丁、矿(g(4),g(侦)丁及6,=(5，*)T,则方程(1)可以用矩阵重新写为y=xa+g+e,(2)这里y=(片，y!)T,x=(x?,，y尸=(gj，g!)T，£=(£?，£?)t以及a=(a】，aj)，在表达式(1)中，变量*并不存在，它是以虚拟变量的形式被添加到方程(2)中，且其元素只有。和1.因为g()是一个未知的光滑函数，所以应用Taylor展开式来近似，即对门临域内的任意一点t有：g(如)Qg(Z)+g'(£

7、;)(1£)=(£)+£),其中t(£)=g(£)和3(t)=g'(Q.进一步，定义K()为一个核函数并且记W,(Q=diag(b】2K/,(*£)，方2K.(t订一£),其中Ka()=U'K(/i和九是窗宽参数.让如(=(£“以及令r=(】，1)丁表示元素均为1的JX】维矩阵.如果a已经被确定，那么Y(t)=(a(t),hb(t)T可以通过局部线性最小二乘来估计，即y(i)=(<2(z)»A6(Z)t=argmin(j*一my(Q)TW,(y一D,Y(Q),(3)这里y*=yxaD

8、,=(i,f(t)以及W,=diag(Wi(t)，w”(£).从式(3),解得Y(t)=D；叱仇广。？W,y-.(4)通常a是未知的，因此由式(4)给出的歹(£)不能被直接计算.下面考虑固定效应a的估计.根据方程(4),知g的估计能够表示为fl，0沁”*g=:=口,0沁“).京京WIU':y9.(5).1,0叽W顷。,时尸1>京W”.显然，若令s(O=0,l(D；比仇广如W,和S=($丁(小)，$t(M)L则式(5)可以简化为j?=S(yxa).(6)将f代入到表达式(2)中，有(IS)y=(IS)xa+e,其中I为nJXnJ的单位矩阵.接下来，使1=(1,，

9、1),是元素均为1的JX1维矩阵.因为随机误差土服从异方差分布，所以传统的同方差回归技术不能被应用.因此，提出使用约束剖面加权最小二乘法来估计参数a.具体来说，固定效应a的约束剖面加权最小二乘估计为：ar=argmin也(aq)=argmin(/S)y(IS)xa)TH1(IS)y一(f-S)xa)+2AiTa,(7)这里f2=diag(n)，q”)和m="=O”=diag(。，/；)以及人是拉格朗日乘子.由目标函数2(aU)的一阶条件物(。，义)/西=0,推导出xTa-S)rnla-S)xa4-AiT-xT(/-S)TX2-S)y=0.(8)不言而喻,。的估计值为表达式(8)与方程

10、iTa=0的解.如果令和A是方程(8)和iTa=0的根，那么ar=xT(/S)TD,(f-s)xp'xT(/-s)ln-*(i-s)j-xt(/-S)tjQ-,(I-S)x-1Ai.(9)进一步，把式(9)代入到"a=0中，得A=<iTCxT(I-S)TI2(l-S)x_1i.丁|>丁(1-S)TT(I一S)xmS)TOT(I-S)y,(10)然后，再将式(10)代入到方程(9)中，有ar-S)x厂""一S)T£2-l(I-S)y-xT(I-S)TH】(I-S)x-l|TxT(/-S)Tn-'(I-S)x7IT(iTxT(/-

11、s)Tn_,(/s)x-,xT(z一S)T。'(I-S)yr.(11)若令i=(IS)x,则表达式(11)可以简化为arS*(!-S)y一(tTxTf2",x-,iTn,(f-S)yi.(12)方程(12)给出了固定效应参数a估计的闭表达式.于是,把代入到式(4)中，就可以得到y(£)估计的闭表达式沁=>?Wt9,rlDjWt(y-xaJ.(13)特别，非参函数gh)估计的闭表达式为g(t)=1,0(D?*W,D,-*DZWy-xaJ.(14)假设4当花8时以及湖43渐近性质3渐近性质=0（1）.在阐述估计髭的渐近分布定理之前，先给出一些在一些正则条件下，本节

12、给出非参数面板数据模引理.型估计的渐近性质.定义们=u'KMdu和叫=,ju,Kz（M）du.进一步，让g>（z）=（2E（xvjf）（£）/（S72儿（，），x,=（租（站），根（，订）丁和x=（Xi，,x“）T以及r=E_（.xixJ1£2,（.x,X,）.下面介绍一些假设条件，这些条件被广泛使用于非参数面板数据模型的理论分析中假设1是相互独立的并且对任意的5>0有EleJ2+a<oo成立.假设2协变量f存在紧支撑N和具有二次连续可微的密度函数/）.同时，密度函数人（）,/=1,。有界且不等于零和无穷.假设3在紧支撑N上，核函数K（）对称且一致

13、有界以及函数g（）存在连续有界的二阶导数.此外，矩阵T是正定的.引理1如果假设条件14成立，那么n'1pPiTQr,其中“一”表示依概率收敛.证明由假设条件14和大数定理知，对任意的A>0,赤露刑（*）（咛）N土2日K（*）（宁）=jSK（s）sifj（t+hs）ds=与,（£）（1+。（力）=Jj-lai牛£顼（Q（l+o（l）.（15）j）-1ai通过矩阵运算以及应用式（15）,得W,Dt去刑（守）二您沁）1VVK(如_八(2)击熊刑(¥)(*)(1+。(1),(16)(17)同理，因为t-Si门儿（。（1+。（1）,J>-i°，

14、所以s（t）x（S<2"（19）接着，从x的定义知Sx工*x,这意味着x=（/因此,W,x=(18)P_S）xxx.那么,XTX2_1x（X,X。厂（X.X,）n切e（x,Xi）Tnr*（x,x,）=r.引理2在假设14条件下,有厂”£丁。-】（1S）g=op（l）.证明对任意的人>0,注意到&露扒十）（宁）&二mv-S4儿。）（1+。（1），JOj(20)于是，结合式（12）和（23）知于是，,部熊心阵、案家K（宁）（宁）'舞购、0P进一步，S（£）g«。）（1+。（1）,其暗示着Sgp_p>g（l+o（l）.

15、又因为XXX,所以£iST（ss）g=£：£（Xj-VWVH1-1X,）TO/（g,-gJl+Op（l）（l+op（l）=(1+。).(24)g(七)(21)土史(X,一£,)%7g,(op(l)(l+op(l)=Jni-iOp（1）op（1）=op（l）.引理3若假设14被满足，则广/2/。"（1-S）£nx,t证明类似于引理1的证明，知W=&熊刑阡9%p_涂习乡亲（壬T（十）气毯%"）0。=。，那么S（t）«=Op<l）9这表明S£=Op（l）.因此,iTf2】（1一S）e=当丁。刁&#

16、163;（1+。卜（1）JnJn工*兰完（x,Jnf-i定理1在假设14条件下，有而（，一a。）.N（0,Hr7H）,其中a。表示真实参数值，“一定义成依分布收敛以及H=z-r-,i（iTr-1i-1iT且是jxj单位矩阵.证明令d为无约束固定效应参数a的估计，则a=孑亍广£丁。-'（1-S）y,（23）因为a°=0,所以由引理1和式(24),得。一a。=da。一0丁0iir(X1£2lx)'，1i(iT(aa0)=7-£tot£，iT(£tot£)TiTiTgp.a0)H(aa。).此外.由方程(23),有

17、Jn(atr0)=S)g+(25)xySlxx卢丁O*(/-T1：xTn-'(i-s)£=JnC,+c2.从引理1和2,易知G=op（l）.此外，根据引理1D和3并应用中心极限定理有C2fN（0,rT）,即L4D石（a-a°）N（0,L）.（27）最后，由式（25）和（27）立即可以推出该定理.从定理1可知固定效应参数a估计的收敛率为疽”2并且估计量是渐近正态分布的.接下来，给出非参数函数估计的渐近性质.定义九（£）=广史"）/以定理2如果条件14成立，那么(26)）°op-*N（0,»）,这里N=nJ和，=了尸（£

18、）diag（0o，0/）.特别地,（£）一&（£）一后+服（1）二N0,.If3)证明由表达式(13),得沁)=(D7町W,(y-xar)=D；W,(xa。+g+&&)QDW.D.'DjW,(D,yh)+聊+ex(ara。),(28)其中B=gQ)/»2/2以及W=(3£)2/»2,.，(m-t)2/h2)T.这样，根据式(28),有>/NA(/(/)-/</)NhDjW,D,TD?W,+NhDjW,e一/NhDW,D,TD?-a。）=Ki+KlK.（29）一方面，从式（16）,可知N-D?W,D,=

19、.=/（£）diag（l,“2）+op（l）.另一方面，采取与式（16）相同的证明方法，有N-'D?W况=入（£）质2,0）丁+op（1）成立.于是，可以得到K,比”7。？町畔=（加，0尸+op（1）/Nhp.此外，注意到(30)K2=-/NhDW,D»td?W,e=5W,D,(31)弟公？W,e-N（O,M）,这里M=/（£）diag（uo,v2）.进一步，结合表达式（31）和（32）直接推出Dk2N（omwmT）=n（o,）对于K3来说，有(32)(33)K3=NhD!W.D,-'DjWtx(ar-a0)=>/NhOp(l)Op

20、(l)Op(n-l/2)=Op(5/")=Op(1).(34)最后，从方程(29)、(30)、(33)和(34),知该定理成立.参考文献：1HsiaoC.AnalysisofpaneldataM.Cambridge：CambridgeUniversityPress.2003.2 BaltagiBH.EconometricanalysisofpaneldataM.WestSussexJohnWileyandSonsLtd,2005.3 LinX«CarrollRJ.Nonparametricfunctionestimationforclustereddatawhenthepr

21、edictorismeasuredwithout/witherrorJ.JournaloftheAmericanStatisticalAssociation*2000.95：520-534.4 BaltagiBH»LiD.SeriesestimationofpartiallylinearpaneldatamodelswithfixedeffectsJ.AnnalsofEconomicandFinance»2002(3):103-116.5 SuL*UllahA.Profilelikelihoodestimationofpartiallylinearpaneldatamode

22、lswithfixedeffectsJj.EconomicsLetters,2006,92：75-81.6 HendersonDJ*CarrollRJ,LiQ.Nonparametricestimationandtestingoffixedeffectspaneldatamodels.JournalofEconometrics,2008.144：257-275.7 QianJ»WangL.EstimatingsemiparametricpaneldatamodelsbymarginalintegrationJJ.JournalofEconomet-rics,2012,167：483-

23、493.8 JiangCR,WangJL.CovariateadjustedfunctionalprincipalcomponentsanalysisforlongitudinaldataJ.TheAnnalsofStatistics*2010*38(1194-1226.9 MaS.Two-stepsplineestimatingequationsforgeneralizedadditivepartiallylinearmodelswithlargeclustersizesJ.TheAnnalsofStatistics.2012*40：2943-2972.10 ZhangX,ParkBU.WangJL.Time-varyingadditivemodelsforlongitudinaldataCJ.JournaloftheAmericanStatisticalAssociation.2013.108：1360-1371.113YaoW,LiR.NewlocalestimationprocedurefornonparametricregressionfunctionoflongitudinaldataJ.JournalofRoyalStatisticalSociety：SeriesB,2013,75：1