高等数学D2导数与微分习题

1、习题课一、导数和微分的概念及应用一、导数和微分的概念及应用二、导数和微分的求法二、导数和微分的求法 导数与微分 第二章 一、一、 导数和微分的概念及应用导数和微分的概念及应用 导数导数 :xxfxxfxfx)()(lim)(0当时,为右导数当时,为左导数0 x)(xf0 x)(xf 微分微分 :xxfxfd)()(d 关系关系 : 可导可微( 思考 P125 题1 ) 应用应用 :(1) 利用导数定义解决的问题 (3)微分在近似计算与误差估计中的应用(2)用导数定义求极限1) 推出三个最基本的导数公式及求导法则xxxCxcos)(sin;)(ln;0)(1其他求导公式都可由它们及求导法则推出;

2、2) 求分段函数在分界点处的导数 , 及某些特殊函数在特殊点处的导数;3) 由导数定义证明一些命题.例例1.1.设)(0 xf 存在,求.)()(lim0200 xxfxxxfx解解: : 原式=xxfxxxfx )()(lim02002)( xx2)( xx)(0 xf 例例3.3.设)(xf在2x处连续,且, 32)(lim2xxfx求. )2(f 解解:)2(f)(lim2xfx)2()()2(lim2xxfxx02)2()(lim)2(2xfxffx2)(lim2xxfx3思考思考 : 书P125 题2 ; 3)(xf设0)(,xxf在讨论解解:)(lim0 xfx又xfxfx)0()

3、(lim0例例5.所以 )(xf0 x在处连续. 即)(xf0 x在处可导 .xxx1sinlim20)0(0fxxx1sinlim000,1sin2xxx0,0 x处的连续性及可导性. xxxx120sinlim0)0( f例例4.4.设1eelim)() 1() 1(2xnxnnbaxxxf,试确定常数a , b. )(xf 解解: :)(xf1x,bxa 1x, ) 1(21ba1x,2x,1时x;)(axf时，1x.2)(xxf) 1 ()1 ()1 (fff) 1 () 1 (ff得处可导，在利用1)(xxf即ba1) 1(21ba2a使 f (x) 处处可导,并求, 1,2ba2)

4、 1 ( f1,21,2)(xxxxf)(xf 是否为连续函数 ?判别判别:,1时x,)(axf时，1xxxf2)(ba1) 1(21ba2a存在) 1 (f二、二、 导数和微分的求法导数和微分的求法1. 正确使用导数及微分公式和法则 2. 熟练掌握求导方法和技巧(1) 求分段函数的导数注意讨论界点界点处左右导数是否存在和相等(2) 隐函数求导法对数微分法(3) 参数方程求导法极坐标方程求导(4) 复合函数求导法(可利用微分形式不变性)转化转化(5) 高阶导数的求法逐次求导归纳; 间接求导法;利用莱布尼茨公式.导出导出例例6.6.设, )(arctansinee1sinxxxfy其中)(xf可

5、微 ,.y求解解:yd)d(esinesin xx)d(sineesinxx)d(arctan)(arctan11xxf )d(sinesinesinxxx)d(ecoseesinxxx)d(11)(arctan1112xxxfxxxxd )sine(cosesinxfxxd)(arctan1112xyyddxxcosee例例7.7.，有定义时设)(0 xgx 且)(xg 存在, 问怎样选择cba,可使下述函数在0 x处有二阶导数)(xf解解: 由题设)0(f 存在, 因此1) 利用)(xf在0 x连续, 即, )0()0()0(fff得)0(gc 2) 利用, )0()0(ff0)0()(l

6、im)0(0 xgxgfx)0( g0)0()(lim)0(20 xgcbxxafxb而)0( gb得0,2xcbxax0, )(xxg)0( gb3) 利用, )0()0( ff0)0()(lim)0(0 xgxgfx)0( g0)2(lim)0(0 xbbxafxa2而得)0(21 ga)0(gc )(xf0,2xcbxax0, )(xxg作业作业 P125 5 ; 6(1) ; 9 (2) ; 12 (2) ; 编辑ppt例例2.2.若0) 1 (f且) 1 (f 存在 , 求.tan) 1(e)cos(sinlim20 xxxfxx解解: 1)cos(sinlim20 xxx原式 =220)cos(sinlimx