排列组合问题常见模型

1、排列组合问题的常见模型一、相异元素不许重复的排列组合问题这类问题有两个条件限制，一是给出的元素是不同的，即不允许有相同的元素；二是取出的元素也是不同的，即不允许重复使用元素。这类问题有如下一些常见的模型。模型1：从n个不同的元素中每次取出 m个不同元素作排列或组合，规定某k个元素都包含在内，则:组合数：n1 =crmJk排列数：“2二Amcy例1全组有12个同学，其中有3个女同学，现要选出5个，如果3个女同学都必须当选，试问在下列情形中，各有多种不同的选法？（1）组成一个文娱小组；（2）分别担任不同的工作.解：（1）由于要选出的5人中，3个女同学都必须当选，因此还需要选2人这可从9个男同学中选

2、出，故不同的选法有：汕=36（不中）（2）在上述组合的基础上，因为还需要考虑选出5人的顺序关系，故不同的选法有：N2 二 AfG；二 Afd =120 36 二 4320种）模型2 从n个不同的元素中每次取出 m个不同元素作排列或组合，规定 某k个元素都不包含在内， 贝y：组合数：Ni =cn排列数：2 =Amcn =黑例2某青年突击队有15名成员，其中有5名女队员，现在选出7人，如果5名女队员都不当选，试 问下列情形中，各有多少种不同的选法？（1）组成一个抢修小组；（2）分别但任不同的抢修工作.解：（1）由于5名女队员都不当选，因此只能从10名男同学选出，故不同的选法有：N1 = C15 _

3、5 = C10 = C10 = 120 （种）（2）由于还需考虑选出的7个人的顺序问题，故不同的选法有：N2 =A75rAo =10 9 8 7 6 5 4=604800 （种）模型3.从n个不同的元素中每次取出 m个不同元素作排列或组合，规定每一个排列或组合， 都只包含某k个元素中的某S个元素。则组合数：N排列数：N2二AmW例3全组12个同学，其中有3个女同学，现要选出 5人，如果3个女同学中，只有甲当选，试问在 下列情形中，各有多少种不同的选法？（1）组成一个数学小组；（2）分别担任不同的工作.解：（1）由于女同学中只有甲当选，所以还需4人，这4人要从男同学中选，因此不同选法有：N c

4、= c9 =126（种）（2）由于选出的人要分别担任不同的工作，所以不同的选法有：N2二AC；：二a5c9 =15120（#） 模型4 从n个不同的元素中每次取出 k个不同元素作排列或组合，规定每一个排列或组合，都只包含某r个元素中的s个元素。则：组合数：N厂CjCk：排列数：N2二AkCjCk；例4 全组12个同学，其中有3个女同学，现要选出 5人，如果3个女同学中，只有1人当选，试问 在下列情形中，各有多少种不同的选法？（1）组成一个数学小组；（2）分别担任不同的工作.解：（1）由于女同学中只有1人当选，所以从3个女同学中选1人，从9个男同学中选4人，不同的选法有：汕=c3G52=C；C4

5、378(种)（2）由于选出的人要分别担任不同的工作，所以不同的选法有：N2 =A5c3G5 =Afc3c4 =45360（种）.模型5 从n个不同的元素中每次取出 k个不同元素作排列或组合，规定每一个排列或组合，都至少包含某r个元素中的s个元素则：组合数：N1=cSc：； cs1cFC2ck；CcT排列数：ksk_ss 1 ks ,；2 k . 2r k_r、N2 二Ak (Cr Cn 工Cr Cn _rCr CnCr Cn )例5 全组12个同学，其中有3个女同学，现要选出 5人，如果3个女同学中至少有1人当选，试问 在下列情形中，各有多少种不同的选法？（1）组成一个数学小组；（2）分别担任

6、不同的工作.解：Ni =C3C<4 C3C9 Cld =666（种）,NA5（c3Cq +C3C9 +C?C =126679920（+）模型6 从n个不同的元素中每次取出 k个不同元素作排列或组合，规定每一个排列或组合，都至多包含某r个元素中的s个元素则：组合数： Ni 二 C：Ch Cc：； - C2C排列数：N2 二 Af(C0C：j - C；Ckj - Cr2Ck -CrSCkj5)例6 全组12个同学，其中有3个女同学，现要选出 5人，如果3个女同学中至多有2人当选，试问 在下列情形中，各有多少种不同的选法？（1）组成一个数学小组；（2）分别担任不同的工作.解：Ni = C3）C

7、<5 - c3c9 C3C9 =766（种）,N2 YQc； +c3c； +C；C；） =120X766 = 91920（种）模型7从n个不同的元素中每次取出k个不同元素作排列，规定某 r个元素都包含在内，并且分别占据指定的位置则 N二八：例7 用1,2,3,4,5这五个数字，能组成多少个没有重复数字且能被25整除的四位数?解：能被25整除的数的末两位能被 25整除，又 1,2,3,4,5四个数字中没有0要求四位数能被 25整除，最后两位只能是25 能组在被25整除的四位数只要选取前两位数就可以，所以有N = A2 =6 （个）.模型8.从n个不同的元素中每次取出k个不同元素作排列，规定

8、某个元素不能占据某个位置.则 N-Ak：例8 用0,1,2,3,4,5这六个数字，能组成多少个没有重复数字的四位数?解：TO不能排在首位，.能组成四位数有N二启-=300 （个）模型9 从n个不同的元素中每次取出k个不同元素作排列，规定某 s个位置的元素只能从某 r个元中选取则N =例9用1,2,3,4,5这五个数字，能组成多少个没有重复数字的四位偶数？解：个位只能排 2或5,能组成四位偶数有N二A2 A3 =48 （个）模型10.从n个不同的元素中每次取出k个不同元素作排列，规定某s个位置的元素只能从某 r个元中选取，而其余位置的元素只能从其余元素中选取则N nA5例10.用1至9这九个数字

9、，能组成多少个没有重复数字并且奇数位（从右边起）是奇数，偶数位是偶数的五位数？解：奇数位的个位，百位和万位只能从1,3,5,9这四个数中选取，偶数位的十位和千位只能从2,4,6,8这四个数中选取，.能组成五位数共有N二A3=720（个）模型11.把n个不同的元素作全排列，规定某r个元素连排在一起，则 N = Ar例11 用1,2,3,4,5这五个数字，能组成多少个没有重复数字并且两个偶数字连在一起的五位数？解：先把两个偶数字看成一个整体，作为一个数字来参加排列，然后再考虑这两个数字的前后顺序关系，因此能组面符合条件的五位数有N-48（个）模型12把n个不同的元素作全排列，规定某r个元素中的任意

10、两个元素都不连排在一起，（r 宁）则N入1心例12.用1,2,3,4,5,6这六个数字，能组成多少个没有重复数字并且任意两个奇数字都不连在一起的六位数？解：先排好三个偶数字，然后在三个偶数字之间的四个空位中，任选三个来排奇数字，因此能组 成合条件的六位数有 Na3 =24 3 = 72（个）例13.某天的课表要排入语文、数学、英语、物理、化学、体育六门课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，一共有多少不同的排法？解法（一）把六门课看成元素，把课表节次看成位置，元素找位置.由于数学体育这两个元素有附加条件，为此优先加以考虑，若以数学课排法进行分类；则CD数学排在第一节，na5"；数学

11、排在第二节，N2 = AH ；数学排在第三节，N3 = A4A4数学排在第四节，N4 = A4A4 ；数学排在第五节，N5 = AX根据加法原理，共有 N+N+Nj+N+N = 21= 504（种）不同排法.解法（二）用位置分析法，先安排有约束条件的位置，位置选元素.若以第一节排法进行分类：CD第一节排数学， Ni =a5 ；第一节排语文； na4a44 第一节排英语，N3 = a4A(可第一节排物理，n4二aIA4 ；第一节排化学，n5二A1A44根据加法原理，共有 N+N+Ns+N+N=504(种)不同排法.解法(三)考虑用间接接法不考虑任何限制条件，共有a6种不同的排法，但其中所括(1)

12、数学排在最后一节的排法.A5种；(2)体育排在第一节的排法.a5种；这两种情况下，都包含了数学排在最后一节， 体育排在第一节的情况， 这种情况共有 A5种不同的排法.因此，不同的排法共有 N = A6 -ZA A4 = 504(种)说明(1)有约束条件的排列问题，应先排好有约束条件的元素或位置，然后再排没有约条件的元素或位置 也可用间接法解，先排不考虑约束条件，求出所有的排列种数，然后减去不合题目要求的排列种 数(2)本的一般模型是：把个不同的小球入入个有编号的盒中，每盒一个，但其中的甲球不能放入 A盒，乙球不能放入b盒，共有不同的放法n=An _2An;+吃种.例14. A、E、C、D、E五

13、人站成一排，(1) 如果A、E两人要站在两端，有多少种站法？(2) 如果A、E两人不站在两端，有多少种站法？(3) 如果A、E两人相邻，有多少种站法？(4) 如果A、E两人不相邻，有多少种站法？(5) 如果A在E的左边(可以不相邻)，有多少种站法？解(1)因为A、E排在两端的的不同方法有a2种方法，第二步排中间三人共有 A种不同的排法，所以根据乘法原理不同的排法共有A A3 12种不同的排法.(2) 第一步由C、D、E三人中任选两人排在两端的不同排法有A2种不同的排法，第二步由余下的三人排中间位置共有不同的排法A种。所以符合要求的不同排法总数为A a2 =36种.(3) 把A、B视为一个整体(

14、AB )，则(AB ) , C, C, D , E的全排列数是 A种，再排AB则有A2种方法因此符合要求的排法共有a4 A2 48种.(4) A、 B两人不相邻，有两种思考：C用间接法，N = A5 一 AAf =72种.C先排好C、D、E,然后现让A、B站到C、D、E的空位(包括两端)，即排C、D、E有A种方法，排A、B插空位有A：种方法，所以共有A A =48 种.(5) 由于A的位置确定后，B的位置便可选择自已的位置。为此，可按A的位置进行分类：a在左数第第一位置的站法有 a1 A种；a在左数第第二位置的站法有 a3 A33种;a在左数第第三位置的站法有 A a3种；a在左数第第四位置的

15、站法有 A1 a3种.所以A在B的左边的不同站法共有“=A1 A3 + A1 A3 + A1 A3 + A1 A = 60种.练习题:1用1 , 2, 3, 4, 5这五个数字，组成没有得复数字的三位数，其中偶数共有 C. 40 个丙各需A . 24 个B.有甲、乙、丙三项任务，甲需任务，不同的选取法共有（A . 1260 种B.30个2人承担，乙、C ）2025 种（A ）D. 60 个1人承担，从10人中选派4人承担这三项C.计划在某画廊展出 10幅不同的画。其中1幅水彩画、求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同陈列方式有（2520 种D. 5040 种4幅油画、5幅国

16、画，排成一行陈列，要D ）b. a3a4a5c. c3a4a5d. A2 A4 A5.假设在200件产品中有3件次品，现在从中任意抽取 5件，其中至少有2件次品的抽法有23A . C3C197B.2332C3C197 ' C3 C19755C.C200 - C197D.514C200 C3C19710个点，在其中取 4个不共面的点，不同的取法有（147 种C. 144 种D. 141 种.四面体的顶点和各棱中点共A . 150 种B.6. 1各名老师和名同学排成一排照相留念，若老师不排在两端，同共有不同排法772种.正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有32个.（

17、数字答）.四个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有144个.T 15.设含有10个元素的集合的全部子集数为 S，其中由3个元素组成的子集数为 T，则T =竺S 12810.有8本互不相同的书，其数学书3本，外文书2本，其它书3本，若将这些书排放在书架上，则数学书恰好排在一起，外文书也恰好排在一起的排法共有1440 种（用数字答）32第6页共6页第#页共6页211. 从0, 1, 2, 3, 4中选取3个不同的数作一元二次方程ax bx 0的系数a, b, c可得出多少不同解的方程？ （8 A3 14）12. 一个球队20人，其中4人是教练，现将全体人员平均分

18、成两个训练小组，每组有教练2人，问有多少种分法?CwC13. 甲乙两除各出 7名队员按排事先排好的顺序出无场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛,负都被淘汰，胜者再与负者2号队员比赛，直到有一方队员全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程，试求所有可能出现的比赛过程的种数（2（C； +C； +C； +C2） =3432）14 .有5双共10只尺码不同的手套，（左右手有区别），从这10双手套中取出4只.（1）恰有2只成一双的取法有多少种？ （22C；C：）（2）恰成2双的取法有多少？ （ C；）二有重复的排列所谓得复排列，是指元素允许重复使用的排列一般地说，就是从n个相异元素里，每次取出允许重复使用的k个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个相异元素中取出允许重复的k个元素的排列，简称为重复排列.从n个相异元素中，每次取出允许重复的k个元素的排列数为：N = n n r r n = nk.例1由1,2,3,4,5五个数字能组成多少个大于 23400的五位数？解法（一）本题没有说明是没有重复数字的五位数，所以数可以重复应用；用分类填空方法，第一类，3、4、5分别在万位的数共有 3 5