抽象函数问题的求解策略探究

1、抽象函数问题的求解略探究Document number ： PBGCG-0857-BTDO-0089-PTT1998抽象函数问题的求解策略探究湖南省黄爱民赵长春函数是每年高考的热点，而抽象函数性质的运用又是函数的难点之一。抽 象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，但给出了函数满足的一部分性 质或运算法则。此类函数试题既能全面地考查学生对函数概念的理解及性质的 代数推理和论证能力，又能综合考查学生对数学符号语言的理解和接受能力， 以及对一般和特殊关系的认识。因此备受命题者的青睐，在近几年的高考试题 中不断地出现。然而，由于这类问题本身的抽象性和其性质的隐蔽性，大多数 学生在解决这类问题时，感

2、到束手无策。下面通过例题来探讨这类问题的求解 策略。一、具体模型策略例1.已知函数f(x)对一切实数X?、y满足f(O)WO,例x+y)己(x)(y),且当xVO时,f(x) >1,则当x>0时f(x)的取值范围是。解析：令 f(x)=ax(0VaVl)易得 OVf (x) VI。评析：借助特殊函数直接解抽象函数客观题是常用的解题处理方法，可以迅速得到正确答 案。二、类比联想策略例2 .已知f(x)是定义在实数集R上的函数，且f(x + 2)l-f(x)=l + f(x), «2)二1-#,贝虹(2006)=()A 2-6 B 1-小 C 2 + / D 1 + /分析：

3、由条件知，f(x+2)= 叶口(*),又f(-1)=2-6 ,逐步推出f(2006),显然比较繁锁，若将(*)式与tan(x + f) = 产上进行类比，则结41 一 tanx构形式类似而anx的周期为E吟.于是便产生一个念头：处也有可能是周期函数，周期为4x2 = 8.+4) = /(x +2) + 2 =1 +l + /(x + 2)_1 - /(x + 2) _ 1 + /(X)17m.J(X +8) = /(x +4) + 4 =fW1 fW 于是猜想成立。.-.f (2006) =f (8x250 + 6)= f (6) = f ( - 2 + 8)二 一 /(-2) = 1-#.从

4、而应选 B。 评析：由于抽象函数的结论对任何满足条件的具体函数都成立，因而可以通过 考察一些具体函数，巧妙类比联想，以找到解题的突破口，最后利用具体函数 的一些性质探索出抽象函数的解题思路。三、运用函数性质策略例3 .定义在R上的单调函数)，= /*)满足/(3) = log? 3,且对任意的x、yeR 都有 /(X+y) = fW + f(y)(1)求证:/*)为奇函数(2)若%3*) + /(3-为-2)<0对任意xeR恒成 立，求实数攵的取值范围。解:令 ” =)= (),代入 f(x+y)=x) + 0(y) 得：/(0) = 2/(0) A /(0) = 0 令丁 = 一天代入

5、上式得：/(X-X)= /(A-) + /(-X),又 0)=。= fW + f(-x)即 /(x) = -f(x)对任意 X e R 成立， /(X)是奇函数 /= log2 3>0,又/(X)在 R 上单调且/(0) = 0, ”3) > /(0), 故/(X) 是R上的增函数，又由(1)知/(X)为奇函数心3 ")< 一 "3" 9' - 2) = f(-3x + 9'+ 2),二守 < 一3' + 9V + 2,即A < 一 1 + 3" + 彳=力(x) 恒成立，只需攵<人(幻1nl“

6、易求皿幻1nm =2点一 1，/<2五一1.评析：函数的特征是通过其性质(如奇偶性、单调性、周期性、特殊点等)反 应出来的，抽象函数也是如此.只有充分挖掘和利用题设条件和隐含的性质， 灵活进行等价转化，抽象函数问题才能峰回路转，化难为易，常用的解题考法 有：6)利用奇偶性整体思考；利用单调性等价转化；利用周期性回归已 知，利用对称性数形结合；借助特殊点，列方程(组)等.四、赋值换元策略例4 .是否存在函数/*)同时满足下列三个条件：(1) f(x+y) + f(x-y) = 2/(x)cosy e R) ； (2) /(0) = a("为常数)；(3) /(q)= (b为常数)

7、若存在，求的表达式；若不存在，请说明理由。分析：条件中X、)，的任意性，隐含着、y既可“换元”，又可“赋值”，结合 条件和(3),可望构造出函数方程组，从而求得函数表达式。令x = O，y=,， 得 f(t) + f(-t) = 2acost 1令工=+，y = ,得 f(7r+t)+f(t)= o 令x = £, y = t + ,得/(;r47)+ /(-/) =-2。sin 22将+得 f(x) = acost + hsint,故存在 /'(x) = a cos f +Osin/符合题意。评析：对于用常规解法难以解决的数学问题，若利用一些特殊的数学思想 方法求解，有时会

8、收到事半功倍的效果。方程观点是处理数学问题的一个基本 观点，挖掘隐含条件，合理赋值，构造方程(组)，化函数问题为方程问题， 可使这类抽象函数问题迅速获解。如(1)在求函数解析式或研究函数性质时，一 般用“代换”的方法，将x换成-x或将x换成L等；(2)在求函数值时，可用特X殊值(如0或1或一1)代人”；(3)研究抽象函数的具体模型，用具体模型解选择题、填空题，或由具体模型函数对综合题的解答提供思路和考法，或反 证、逆推诸法共用.五、分类讨论策略例5 .设f (x)是定义在(-co, +oo)上的增函数，问是否存在实数k,使 不等式f (k+sin2x) Nf (k-4) (sinx+cosx)

9、对任意xER恒成立并说明理 由。分析：令sinx+cosx =t,则sin2x = t2-l ,原不等式对一切xER恒成立， 等价于不等式H (t) = t2 - (k-4) t+ (k-1) NO 对任意 tE恒成立，下列分三种情况讨论：(1)当<()时，口 (t) NO,对 tEJI JI恒成立，由二(攵一4)2-4 (k-1) =(k-2) (k-10) <0 得 2<k<10 ；(2)当=()时，k=2或k=10,此时抛物线/ - (k-4) t+ (k-1)的顶点横坐标t=-1或3, u (t) NO对任意恒成H (t) = t: - (k-4) t+ (k-

10、1) NO(3)当>()时，u (t) NO对任意tE -VIVI恒成立的充要条件是：> 0<9 + 5x/2k - 4 l2h(>/2) > 0工一丘=10<k 2h(-V2) > 0 综上所述得k的取值范围是2,9 + 50.评析：对于参数的抽象函数问题，通过挖掘隐含条件，寻求分类标准，逐类讨 论，分而治之是解题的常用方法.六、整体求解策略例6、已知f(x), g(x)为奇函数,F(x)=af为)+bg数)+3 (a, b为常数)若F(4) 二- 4,贝lj F (- 4)= o解:设(p(x)=af(x)+bg(x),则cp(x)=F(x) -

11、3,由题设可知cp(x)为奇函数，(p(-4) = -(p(4)即 F( 4) 3二F(4) 3,故F(-4)=10评析：运用整体思想求解，即先化整体为局部，再由各局部的解决使问题获 解。七、正难则反策略例7 .已知f(x)在实集R上是增函数，a, b都是实数，若f(a)+f(b)Nf (-a) +f ( - b),求证：a+bNO。分析：本题若用直接证法显然无从下手，但考虑用反证法则问题可以很快解 决。证明：假设a+bO,则水-b,b-a,因为f(x)是R上的增函数,故f(a)f(- b) ,f(b)<f(-a),两式相加:f (a)+f (b) <f(-a)+f(-b),这与条

12、件 f (a)+f (b) Nf(-a)+f(-b)矛盾，故假设不成立，于是a+bNO。八、数形转化策略例8 .已知f(x)是R上的奇函数，在区间(0, +oo)上是增函数，又仪-3) = 0,那么x,f(x) <0的解集是A、 x! - 3<x<0°£x>3|yB、 xx < - 3 或0 < x < 3C、 乂出<一3或0<*<3D、 x I - 3<x<0 或 0 < x < 3解：根据题设条件可画出函数y二f(x)的示意草图，如上图 f(3)=-f (-3)=0,而x.f(x)<0 .x与f(x)异