高等数学及其应用电子教案（第二版）（同济大学数学系）ch(7)

1、编辑ppt第五节第五节 高阶导数高阶导数编辑ppt本节要点本节要点 本节引入高阶导数的概念及相应的计算方法本节引入高阶导数的概念及相应的计算方法.编辑ppt 我们知道我们知道, 速度速度 是位置函数是位置函数 对时间对时间 的导数的导数, 即即vstd.dsvt而加速度又是速度函数关于时间而加速度又是速度函数关于时间 的导数的导数, 即即td.dvat由此可见由此可见: 加速度加速度 是位置函数是位置函数 关于关于 求导后再一次求求导后再一次求tsa导导, 由此引出所谓的由此引出所谓的“二阶导数二阶导数”的概念的概念.编辑ppt在在 存在导数存在导数, 则称则称记为记为 或或0(),fx000

2、2222ddd),.d(xxxxxxyfxyxx 若若 在在 处都可导处都可导, 则由极限则由极限,( )xI fx x0()( )lim,xfxxfxxIx 的可导性的可导性. fxxI fx0,xI 若函数若函数 在区间在区间 中处处可导中处处可导, 考虑导函数考虑导函数( )yf xI( )fx0 x的导数为的导数为 在在 的的二阶二阶( )f x0 x对于对于若若在在 处处0 x导数导数, 编辑ppt2222ddd( ),( ),d.yfxyfxxx由定义由定义, 知知( )( ) .fxfx同样可以定义三阶、四阶导数同样可以定义三阶、四阶导数, 及更高阶的导数及更高阶的导数.(4)(

3、 )( ),( ),( ).nfxfxfx确定了一个以确定了一个以 为定义域的函数为定义域的函数, 称其为称其为 的二阶导的二阶导( )f xI函数函数, 简称为简称为二阶导数二阶导数. 记为记为记为记为 编辑ppt 按照定义按照定义, 我们有我们有 1,2nnfxfxn为了记号上的方便为了记号上的方便, 我们约定我们约定 0.fxf x编辑ppt例例2.31 求函数求函数2exy 解解 22 e ,xyx222 12e ,xyx 23128e .xyxx的三阶导数的三阶导数.编辑ppt例例2.32 求函数求函数1arctanyx解解 222111,111yxxx 的二阶导数的二阶导数.222

4、.1xyx编辑ppt例例2.33 设设 与与 是常数是常数, 证明函数证明函数a12,c c12cossinycaxcax满足关系满足关系20.ya y证证 因因 12sincos,yc aaxc aax 2212cossin,yc aaxc aax 所以所以20.ya y编辑ppt例例2.34 求函数求函数解解 exy e ,e ,e .nxxxyyyn的的 阶导数阶导数.编辑ppt例例2.35 求求sinyx解解 cossin,2yxx cossin2,22yxx n的的 阶导数阶导数. sin.2nyxn编辑ppt例例2.36 求求ln 1yx的的 阶导数阶导数.n解解 1,1yx一般一

5、般, 若若 则则ln,yabx 111 !.nnnnnbyabx 111 !,.1nnnnyx21,1yx 31 2,1yx编辑ppt例例2.37 设设221,yxa求求 .ny解解 因因111,2yaxaxa所以所以 1112nnnyaxaxa111!1!12nnnnnnaxaxa编辑ppt111!11.2nnnnaxaxa编辑ppt例例2.38 计算由摆线的参数方程计算由摆线的参数方程sin1 cosxa ttyat解解 1 cossincot,1 cos2sinddatyattxata tt所确定的函数在所确定的函数在 处的二阶导数处的二阶导数.xa编辑ppt22cot2sdddddddddddddidnytyyttxxxtxxa ttt2