菱形问题分类例析

1、精选优质文档-倾情为你奉上动手操作折菱形折纸是一种既有趣味性，同时也能培养我们的动手操作能力和思维能力的一种活动，通过折纸可以得到许多美丽的图案，下面就谈谈如何将三角形或矩形的纸片折出一个菱形。一、从三角形纸片中折出菱形例1、将一张三角形的纸片ABC按照如下的折叠步骤进行折叠：O图1（1）将三角形的纸片ABC沿过B点的某条直线折叠，使BC与BA重合，得到折痕与AC的交点D。（2）再将三角形的纸片ABC沿某条直线折叠，使点B与点D重合，得到折痕与BA、BC的交点E、F。则四边形EBFD是菱形。分析：关键利用轴对称的性质得到相应的边等和角等，然后熟练利用菱形的判定进行说理。本题说明四边形EBFD是

2、菱形的方法很多，下面一一予以说明。解：由第一步折叠可知：ABD=CBD，由第二步折叠可知：EF垂直平分BD，BE=DE，DF=BF，OD=OB，ABD=EDBEDB=CBD又EOD=FOB，EODFOB，DE=BF BE=DE=DF=BF四边形EBFD是菱形（四边相等的矩形是菱形）二、从矩形纸片中折出菱形例2、把一张矩形的纸ABCD按照如下的折叠步骤进行折叠：图2O将矩形的纸片ABCD沿某条直线折叠，使点B与点D重合，得到折痕与AD、BC的交点E、F。则四边形EBFD是菱形。分析：虽然纸片不同，但方法同例1一样，说明四边形EBFD是菱形的方法还有很多，下面只选一种予以说明。解：由折叠可知：EF

3、垂直平分BD，BE=DE，DF=BF，OD=OB，EBD=EDB四边形ABCD是矩形，ADBC，EDB=FBD，又EOD=FOB，EODFOB，DE=BF BE=DE=DF=BF四边形EBFD是菱形（四边相等的矩形是菱形）菱形中的计算题在矩形中，常见的计算题有求线段的长，角的度数，图形的周长与面积等。菱形作为特殊的平行四边形问题，平行四边形的性质它都具有，同时还具有它本身所特有的性质，即菱形的四条边都相等，菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。下面举例说明这些性质在解题中的应用。一、求角的度数图1例1、如图1，菱形ABCD的一条对角线BD长为12cm，周长为48，求这个菱形的内角

4、的度数。解析：如图1，因为四边形ABCD为菱形，周长为48，所以AB=BC=CD=DA=12，又若BD=12，所以AB=AD=BD，所以ABD为等边三角形，所以A=60°，所以又ABC=ADC =120°，则C=60°。 例2、如图2，在菱形ABCD中，BEAF60°，BAE20°，求CEF.ABDFCE图2解析：连结AC.因为B60°，ABBC，所以ABC是等边三角形，所以ABAC，BAC60°，因为CAF+CAE60°，CAE+BAE60°，所以BAECAF.因为四边形ABCD是菱形，所以BCD180

5、°B120°，AC平分BCD，所以ACF60°，即BACF，在ABE和ACF中，因为BACF，ABAC，BAECAF，所以ABEACF，所以AEAF，因为EAF60°，所以AEF是等边三角形，即AEF60°，因为AECB+BAE60°+20°80°，所以CEFAECAEF80°60°20°.二、求线段的长图3例3、菱形的周长为20，相邻两角的度数之比为1：2，求菱形的较短的对角线长。解析：如图3，因为四边形ABCD为菱形，则CDAB，所以A+ADC=180°，又A：ADC=1

6、：2，则A=60°，又因为菱形的四条边相等，即AB=AD=5，所以ABD为等边三角形，所以AB=BD=5cm，则菱形的较短的对角线长为5cm。 三、求图形的周长O图4例4、如图4，菱形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是24和10，则菱形的周长为 ，面积为 。解析：由于菱形的两条对角线互相垂直平分，所以OA=12，OB=5，所以AB=13，又菱形的四条边都相等，所以菱形的周长为52。又菱形的面积为SABD+SBCD=BD×OA+BD×OC=BD×（OA+OC）=BD×AC=120。由此可以得到，菱形的面积等于两条对角线积的一半。四、求图形的

7、面积图5例5、如图5，菱形ABCD中，AB=4，E为BC的中点，AEBC于E，AFCD于点F，CGAE，CG与AF交于点H，交AD于点G（1）求菱形ABCD的面积（2）求CHA的度数解析：（1）连结AC，E为BC的中点，AEBC，AB=AC，又菱形的四边相等，AB=BC=AC=4，AE=2,菱形ABCD的面积为4×2=8（2）因为CGAE，又AEBC，所以CGCD，又可得ACD为等边三角形，AFCD，易得DAF=30°，所以AHG=60°, CHA=120°。 说明：此题也可以利用RtABO求出BO的长，从而求出BD长，利用菱形ABCD的面积是其对角线积

8、的一半，求出菱形的面积。综观上述例题，我们可以看出，菱形的对角线将矩形分成四个等腰三角形和四个全等的直角三角形，再由特殊角，又可得某些等边三角形，然后利用等边三角形的性质以及勾股定理来解决问题。解决菱形问题时，在充分运用它们边、角和对角线的性质同时，还常常把它们转化为等腰三角形和直角三角形中的问题，将等腰三角形和直角三角形的性质和矩形、菱形的性质结合起来进行求解。O图7练习：1、如图7，在菱形ABCD中，不一定成立的（）（A）四边形ABCD是平行四边形（B）ACBD（C）ABD是等边三角形（D）CABCAD答案：菱形作为特殊的平行四边形，平行四边形的性质它都具有，同时它还具有平行四边形不具有的

9、性质：四条边都相等，对角线互相垂直，每一条对角线都平分一组对角。所以A、B、D都是正确的，ABD只能是等腰三角形，要是等边三角形，还需增加条件。故选C。菱形“条件追溯型”试题赏析这类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探索，或条件增删需确定，或条件正误需判断.解决这类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件.在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意.现从中考试题中采撷几例,予以分析.ADCB图1O例1 如图1，四边形的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是 （只

10、填一个你认为正确的即可）解析:本题是对菱形判定的直接考查,比较容易,只要对判定方法熟悉,问题便可迎刃而解.因为四边形的对角线互相平分，所以四边形为平行四边形,若应用一组邻边相等的平行四边形是菱形来判定，则需要添加条件AB=BC;若用对角线互相垂直的平行四边形是菱形来判定.则需要添加条件ACBD.图2例2 如图2，在ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连结AD，在AD的延长线上取一点E，连结BE，CE.（1）求证：ABEACE（2）当AE与AD满足什么数量关系时，四边形ABEC是菱形？并说明理由.分析:欲证ABEACE,因为AB=AC，AE是公共边,只需证其夹角相等,这可由等腰三角形的三线合一性质得到;(2)若四边形ABEC是菱形,因为菱形的对角线互相垂直且平分（1）证明：AB=AC，点D为BC的中点BAE=CAE，AE=AEABEACE（SAS）（2）当AE=2AD（或AD=DE或DE=AE）时，四边形ABEC是菱形理由如下：AE=2AD，AD=DE又点D为BC中点，BD=CD四边形ABEC为平行四形边AB=AC四边形ABEC为菱形评注:解这类问题，应从分析题中己有条件，（包括从图形中找的条件）和结论着手，通过分析、联想找出结记成立的必备条件，然后根据己知条件，加