考虑隔离的三维禽流感 Filippov 控制模型的研究.docx

1、AdvancesinAppliedMathematics应用数学进展，2021,10(3),701-718HansiXWiHansiXWiPublishedOnlineMarch2021inHans,/journal/aamhttps:/d0i.0rg/10.12677/aam.2021.103077考虑隔离的三维禽流感Filippov控制模型的研究王敬文，杨友苹ft东师范大学数学与统计学院,ft东济南Email:yomiYJS收稿日期：2021年2月16日；录用日期：2021年3月11日；发布日期：2021年3月19日摘要本文深入探究了3种不同控制措

2、施对禽流感传播的综合影响，建立了一个以捕杀受感染的禽类、隔离（人们受到媒体宣传的影响所进行的自主隔离）已感染的人类以及利用医疗资源进行积极治疗作为控制措施的SI-SIR禽流感模型.基于阈值策略，我们将SI-SIR禽流感模型扩展到一个三维的Filippov系统，把感染禽类以及感染人类的总和作为是否采取控制措施的参考指标：如果总和未超过阈值口口，则不采取任何措施；然而，一旦总和超过阈值口口，则需要立即采取控制措施.依据阈值水平口口，模型的解最终稳定到一个地方病平衡点或者一个伪平衡点.数值模拟表明，一个良好的阈值策略可以有效控制禽流感的发展，以使禽流感的发展保持在可接受或期望的水平.关键词Filip

3、pov系统,禽流感，阈值策略，全局稳定性AStudyofaThree-DimensionalFilippovControlModelforAvianInfluenzaConsideringIsolation文章引用：王敬文,杨友苹.考虑隔离的三维禽流感Filippov控制模型的研究J.应用数学进展,2021,10(3)：701-718.DOI:io.i2677/aam.202i.103077并且=n>m=口19+.*+沙口口=<口口=或，qdi-nC1i-i）>（n2一i）=dD2,uy2口*=haih一口力（以二*】+口力+口;）> "1一-*2力（日力（1

4、*2+力+力）> 丁A（1-心=.口为（口力（1一初二+：/+口口）S下面，通过定理221给出以上平衡点的稳定性.定理2.2.1.无病平衡点口口。晶是不稳定的；（ii）如果口2<1,那么无病平衡点口%是局部渐近稳定的；（iii）如果口2>1,那么地方病平衡点口口；是局部渐近稳定的证明.子系统（幻的雅可比矩阵为（）力（1。）S/（1而】口一（力+h+）对于无病平衡点口口。，通过求解特征方程|口口-2（口。）|二0,可得口1=Q>0,口2=21210-（+）<0,口3=-（或+或+）V0.由于存在正特征根，因此无病平衡点口口21总是不稳定的.（ii）在无病平衡点口口。

5、22处的特征方程为-J1（D?2）|=0,解得S=-0V0,02=（+口口）（口2-1）V0,如果口2V1,有口3=（'+/+口口）V0.因此，如果口2V1,则J2（nn°）的所有特征值都是负的，即无病平衡点口口。是局部渐近稳定的.2222（iii）当口2>1时，地方病平衡点口口；存在.在点口口】处的特征方程为3+口1口2+口2口+口3=0,其中1=-+(1-*2+>(),/力力力=(1-。*+口+口+予口*>0,2/口2力力°02D22 =匚2一*2芫2【力(12+力+力+>。进一步计算可得衲2口*口*1口2一口3=（1-+口力+力+

6、9;>0.匚2伪二A根据Hurwitz判据17可知，J2（nn；）的所有特征值都具有负实部.因此，地方病平衡点口口；是局部渐近稳定的.2.3.滑动模型的动力学行为为了研究系统（6）滑模的动力学，我们首先验证了它的存在性.在口0上有原+力-=0.下面计算,也口口（1）.6+3(")=+推1(),其中,力力任）=再计算,Oq(!+口+)(1而(_h)由_(力+力+=叩山口-（口1+口口+口*+/(暧攵文,杨友苹一口+_(+烦一33-=!+h2。口)，其中,力2国）书（1舛色+口力（1而A口力)+。力+力+)一CH+口+)(h+力+)0A=W"日-<h1（】口）.当满

7、足嬉氏>0并且&口2<0时，滑模存在.我们有e>0>口1(5)=e>0>口1(5)=hi(如)n。由<0=>口口2（口）=h2。口）其中口2（血）>!（）.此外，h1（0）V0并且/】（）=0只有一个正根.如果满足ARvR（+里）（即，h!（）V0）,那么在区间（0,比）上力!（）是负的且有口2（口）>!（）>0.因此,滑模域&u口分可以定义为2»（由，由，一力）U0：1（匚）V口口V2。口），b+一力=.卜面我们通过Utkin等效控制法8去求滑模方程.又因为（,以）=h+或-=（）,因此_DDo皿=-

8、(+嫌=0._DDo皿=-(+嫌=0.A-/|)为力+力对上式中的求解可得)(Un4-De)d+h"】：+力2(力+力)匚+(.力+力)口)-+(-)+王敬文，的b代入系统,又由于岩=0,我们有-+言=0.因此，滑模的动力学可由以下微分方程匚。匚，给出=(Un+)(h)HqIJdP_()P.(二口+匚)+(/i+/i)(I口1匚)+h八一口+口口口黄口口+(.)一4-(Jr4-引理2.3.1.如果满足口1V0,口2<0,口4>0,则一元三次方程(10)Q(Dn)=.13+22+.3口+4=°，JingwenWang,YoupingYangSchoolofMath

9、ematicsandStatistics,ShandongNormalUniversity,JinanShandongEmail:yomiYJSReceived:Feb.16伽,2021;accepted:Mar.11伽，2021;published:Mar.19,2021AbstractInthispaper,weexplorethecomprehensiveimpactofthreedifferentcontrolmeasuresonthespreadofavianinfluenza,andestablishanSI-SIRavianinfluenzamodelwithcullingofi

10、nfectedbirds,isolating(theautonomousisolationofpeopleinfluencedbymediapropaganda)infectedhumans,andusingactivetreatmentofmedicalresourcesascontrolmeasures.Basedonthethresholdstrategy,theSI-SIRavianinfluenzamodelisextendedtoathree-dimensionalFilippovsystem.Thetotalnumberofinfectedbirdsandhumansistake

11、nasthereferenceindexofwhethertotakecontrolmeasures:ifthesumdoesnotexceedthethreshold1,noactionwillbetaken;however,oncethesumexceedsthethreshold:,immediatecontrolmeasuresarerequired.Accordingtothethresholdlevel,thesolutionofthemodelfinallystabilizesatanendemicequilibriumorapseudo-equilibrium.Thenumer

12、icalsimulationshowsthatagoodthresholdstrategycaneffectivelycontrolthedevelopmentofavianinfluenza,soastokeepthedevelopmentofavianinfluenzainanacceptableordesiredlevel.KeywordsFilippovSystem,AvianInfluenza,ThresholdStrategy,GlobalStabilityCopyright©2021byauthor(s)andHansPublishersInc.Thisworkisli

13、censedundertheCreativeCommonsAttributionInternationalLicense(CCBY4.0).http:/creativecommons.Org/licenses/by/4.0/OpenAccess1.引言高致病性甲型禽流感病毒会导致较高的群体死亡率1.这类流感不仅会对受影响地区的家禽业造成重大经济损失，同时对人类也构成了潜在的严重威胁1,2.因此,确定有效的控制策略以消除禽流感或者至少把禽流感的影响降低到一个可接受的水平是一个亟待解决的问题.中国政府自2013年3月第一例病例报道以来3,开始通过网站和官方通讯社每日发布甲型H7N9禽流感的有关数据

14、4.同时，在南京、广州、上海等一些城市关闭了部分家禽市场，扑杀家禽并对环境进行消毒5,6,其中前两种措施被证实是防止禽流感传播的有效方法7,人们会通过直接或间接接触死亡或感染的家禽而感染禽流感8.感染禽流感的人在早期可能会出现发烧、咳嗽、呼吸困难等症状9.同一时期感染人数的增加将引起公共卫生部门的注意，公众媒体也会进行相关报道，在媒体宣传的影响下，人们会主动减少与禽类接触并戴口罩进行日常防护,自主隔离从而减少感染禽流感的风险.此外，考虑加大医疗资源投入，提高病人的收治比例，也是预防禽流感爆发的重要手段10,11.2003年的非典和2009年的新流感大流行通过多种措施（医疗，隔离等）的干预得到了

15、良好控制12,13.这表明我们需要将数学模型拓展到这些主要干预措施结合的研究中去.基于此，本文将通过一个Filippov系统讨论3种不同控制措施对禽流感传播的综合影响，并给出Filippov系统的全局动力行为.2.模型的建立禽流感病毒在禽类中的爆发会对家禽业造成严重破坏，尽管目前禽流感没有治愈方法，但可以通过捕杀受感染的禽类来控制禽流感的传播.由于完全捕杀受感染的禽类通常是不可能的，在生物学以及经济学上也是不可取的，因此应采取控制措施，将受感染的禽类数量保持在可接受的水平.为了尽量减少禽流感的影响，我们采取了多种干预措施.在疫情爆发初期阶段，特别是在没有药物和疫苗的情况下，隔离是一种常规的控制

16、方法来降低疾病的传播率.通常我们认为，政府只在感染数量达到阈值水平时才实施相应的干预策略.其中，感染的数量是实施控制措施的关键参考指标.因此，我们提出了一个以捕杀受感染的禽类、隔离己感染的人类以及利用医疗资源进行积极治疗作为控制措施的SI-SIR禽流感模型，建立了如下非光滑的动力系统:h_nh_2h_©=©（1-土）,（4-口口，=A-QH1-0）1力一_hh,根据(11)式可知方程(10)有一个正根以及两个负根，或者有三个正根.又由(12)式可知方程(10)至少存在一个负根.因此，方程(10)有唯一的正根.2,则滑模证明.令口口口/口©=()并且"口&

17、#169;=0,可得旦旦旦旦口口 =-(13)并且(A)岛口口口匚一(日口十岛)口口俱力+口力口口口一云馈力一一-+D0M口+)-t=o.(14)将式(10)代入到式(11),我们得到一个关于的方程，J3+口2口2+【3由+匚4=°，(15)其中T=一们力¥口匚V0,(A)局=印归一e革门一口-口日+口n/口在一0修+二)一移口兀日3=QOn+(日匚+口口)匚00匚(口力+口力)(A)+力一-口口1。日。口一(/"E)-。口口,-4=(口匚+)+(口力+h厂4口口如果口2V0,&>0,根据引理2.3.1可知方程(12)只有一个正根，我们将其表示为口&

18、#187;.根据式(10)以及U日+&=比可得，(*)口口;=()§"*)=口口-七工乙'。-二此外，如果满足口口；u口伪则口口；是一个伪平衡点.接下来我们研究伪平衡点口：存在时的稳定性并给出以下定理.定理2.3.1.如果满足仅口日+成)+口口一，口戋>0,则口口；旦2是局部渐近稳定的.证明.系统(9)前两个方程的雅可比矩阵为,1口1112)J技口；p"*a=N/,(16)口21口22=口即口力一口力力，(1)其中1112如（口*，广）=_。°v0,°°.*<0,财0.n*（口LQ匚4）=0力场7+【21们

19、（）1_）1匕+口口口口>0,匚为力-二1日+（上上）并且J1哈+口口，-口口+（Do）5昂+（】口一玉）二*+）-。口+3。_i+（一上）哈+（一0*）n我】口+匚）+上们口口崩）?.+2口力的+口二）+土一们口口胡*222口口口（*,*）两°°口M一口口口.日口+（+口。）口（口力+匚力）"f）1】）+（们力h-+（一口）站.一口力？戚口口+日匚）+二一仞口口二+h我口口+）+：和口口»（口口损IA+。力口f代甲+口口）亍圳幻D*2+0力我口+I）+口幻口口-八一+Dh_口口h0h被+0力h一口口+（）Jo）+口口口口如果满足夜金+口口）+日口

20、一0由亦0>0,可知口22<0.因此，011+D22V0并且D11-D22-D12-D21>0,即（16）的所有特征值都具有负实部，则口口；2是局部渐近稳定的.2.4-全局的动力学行为我们己经研究了口】如区域以及口2口力区域的动力学行为，并给出了滑模的存在性证明及其动力学分析，接下来我们将讨论口0>1,1,2时系统（6）的全局动力学行为.值得注意的是，选择不同的阈值系统（6）将呈现不同的动力学行为.根据咯，勇,D*2以及/2的关系，系统（6）的动力学行为可以分为三种情况.为了进一步证明理论结果，我们进行了一些数值模拟，并且数值模拟中所用参数的数值已在表1中给出.2.4.

21、1.Case1：=+或、<,D*2+u/2<如果满足+oAv且唯+羸*2V0D,此时口口；和口"都落在口小区域内，并且没有平衡点落在口2h区域，则:是一个真平衡点，:是一个假平衡点，我们将其分别记为口药和口口口下面我们来说明，在这种情况下口口将达到稳定.21定理如果满足*!+饥v口且1*2+侦2vu，则aqc是稳定的.证明.在这种条件下，口1匚力区域内只有一个平衡点口气根据定理2.1.1可知，口口口是稳定11的.Figure1.isstablewhenD*i-f*<jand*+*v口口，where=2201h1Q2hi图1.当口丑+D/xVL且峪2+力

22、*2V时，口或n是稳定的，其中=220图1展示了二+:/xv且：*2+:/2v:的情况下，=220时可能的轨迹情况：(a) 从口】区域出发的轨线直接稳定到真平衡点口口、(b) 从口2口力区域出发的轨线穿过流形口.进入到口】区域，并在口】区域中稳定到真平衡点七(c) 从区域出发的轨线先击中滑动段&U口并在滑动段上滑到其边界如，然后进入1%区域并最终稳定到真平衡点+(d) 从5区域出发的轨线先击中滑动段&并滑到其边界口】，然后进入口】/区域并最终稳定到真平衡点+2.4.2.Case2:+/xQ*2+D/2>当Ml+U/1>且0*2+侦2>口口时,口口；和口口；都落

23、在口2匚力区域,并且没有平衡点位于土力区域.在这种情况下，是假平衡点而口口；是真平衡点，我们将其分别记为口?和.下面我们通过定理242.1来说明能够达到稳定.定理如果满足口；1+：A>而且府+>则口口是稳定的.r/2证明.在这种情况下，口2*区域中只有一个平衡点口?.在定理2.2.1中我们已经证明了是稳定的.下面我们通过图2来进一步说明.Figure2.口崟isstablewhen+叽岛and图2.当+戋*1>口门且02+0/2>时，口身口是稳定的，其中=8o>,where=80口;2*2图2展示了喑+此>口口且D*2+D/2>的情况下,

24、=80时可能的轨迹情况：(a) 从口2口力区域出发的轨线直接稳定到真平衡点第(b) 从如区域出发的轨线穿过流形口©并在区域口2口力中稳定到真平衡点(C)从口】力区域出发的轨线首先击中滑动段£2并滑到其边界口2,然后进入口2口力区域，最终在口2h区域中稳定到真平衡点(d)从口2%区域出发的轨线首先击中滑动段扁并滑到其边界口2,最终在区域口2口力中稳定到真平衡点.2.4.3Case3：,*2+>当+0/1>M唯+侦2V时，落在口2由区域内，口口；落在项区域内，此时1和口口；都是假平衡点，我们将其分别记为口和口砂.如果如Wu匚©则口口*是一个伪平衡点.下面我

25、们通过定理来说明，如果满足二+一点>而且+侦2V口口，则口；存在时稳定.Figure3isstablewhenD*i+D/i>and0*2+口力*2<,where=170图3.当On+D/i>且0*2+侦2<时，是稳定的，其中=170定理2.4.3在noi+Q/i>H站2+1/2v的条件下，如果满足+)+nD-Dn>0,则口口；存在时稳定证明.在流形口的两边没有平衡点存在.此外，在定理2.3.1中已经证明了口口；的稳定性.下面我们通过图3来进一步说明.图3展示了D*x+E/i>口口且0*2+C/2V的情况下，=170时可能的轨迹情况

26、：(a) 从口血区域出发的轨线击中滑模域£2,并最终在滑模域£2uJ。上收敛到伪平衡点口口;.(b) 从2W区域出发的轨线击中滑模域£2,并最终在滑模域£2U口。上收敛到伪平衡点飞(c) 从口】方区域出发的轨线穿过流形口6进入口2%区域，然后再次击中口©并在滑动段£2U.上收敛到伪平衡点口口；.(d) 从&力区域出发的轨线穿过流形口©进入口】口力区域，然后再次击中口©并在滑动段£2U上收敛到伪平衡点口口;.3.结论与展望在禽流感爆发的最初阶段，许多人不知道这种疾病的存在，因此不会采取任何预防措施，

27、这将会导致疾病迅速爆发.当禽流感发展到一定程度即所谓的阈值水平时，人们便开始采取一定的措施以防造成更大的损失.根据阈值选取的不同，系统(1)呈现出了不同的动力学行为.通过对非光滑系统的定性分析，我们得到了模型的滑模动力学及其全局动力学：针对阈值口口的不同，模型的解要么收敛到一个真平衡点(即或要么收敛到一个伪平衡点(即口口为了抑制爆发或将感染的数量稳定到可接受的水平，我们必须选择合适的阈值从而使系统(1)的解轨线收敛到口】区域的口口；或者滑模域&U口0上的口口;综上所述，一个良好的阈值策略是防止疾病爆发或将感染的数量控制在可接受水平的关键因素.在本文中值得注意的是,我们假设人类的免疫力是

28、永久性的(即恢复后的人类不会再次被感染).对于禽类种群，已感染的禽类被假定保持受感染(即受感染的禽类不会移动到其他类别).此外，对于系统中伪平衡点存在性的分析，在本文中我们只展开了一种情况(即引理2.3.2),实际上它有更丰富的结果,我们将这一问题作为未来的研究.参考文献1Henzler,D.J.,Kradel,D.C.,Davison,S.,etal.(2003)Epidemiology,ProductionLosses,andControlMeasuresAssociatedwithanOutbreakofAvianInfluenzaSubtypeH7N2inPennsylvania(19

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