高等数学——三重积分的计算

1、编辑ppt三重积分的概念三重积分的概念三重积分的计算三重积分的计算 (1)(1)利用直角坐标计算三重积分利用直角坐标计算三重积分 (2)(2)利用柱面坐标计算三重积分利用柱面坐标计算三重积分 (3)(3)利用球面坐标计算三重积分利用球面坐标计算三重积分编辑ppt12ni:,.,nvvvvi将闭区域 任意分成 个小闭区域表示第 个小区域 也表示其体积.1( ,),( ,)(1,2, )( ,).iiiiiiiiniiiiivfv infv 在上任取一点作乘积作和01lim( ,)niiiiifv 存在( 是n个小区域直径的最大值).01( , , ),( , , ).: ( , , )lim(

2、,).niiiiif x y zf x y z dvf x y z dvfv 称此极限为在 上的三重积分 记为即:( , , ).Deff x y z设是有界闭区域 上的有界函数编辑ppt:注(2)( , , )( , , );zf x y zf x y z dv若在 上连续 存在(1),;dvdxdydz在直角坐标系下(3)?dv=.-积分区域 的体积编辑ppt方法：三重积分方法：三重积分 三次积分三次积分 利用直角坐标计算三重积利用直角坐标计算三重积 利用柱面坐标计算三重积分利用柱面坐标计算三重积分 利用球面坐标计算三重积分利用球面坐标计算三重积分编辑ppt “穿线法” “先一后二法”（依

3、次计算一个单积分及一个二重积分） “截面法” “先二后一法”（依次计算一个二重积分及一个单积分）编辑pptxyzo D1z2z2S1S),(1yxzz ),(2yxzz ab)(1xyy )(2xyy ),(yx如图，如图，,Dxoy面上的投影为闭区域面上的投影为闭区域在在闭区域闭区域 ),(:),(:2211yxzzSyxzzS ,),(作作直直线线过过点点Dyx 穿出穿出穿入，从穿入，从从从21zz编辑ppt函函数数，则则的的只只看看作作看看作作定定值值，将将先先将将zzyxfyx),(, ),(),(21),(),(yxzyxzdzzyxfyxF上上的的二二重重积积分分在在闭闭区区间间计

4、计算算DyxF),(.),(),(),(),(21 DyxzyxzDddzzyxfdyxF ,),()(:21bxaxyyxyD 得得编辑ppt dvzyxf),(.),()()(),(),(2121 baxyxyyxzyxzdzzyxfdydx注意注意于两点情形于两点情形相交不多相交不多的边界曲面的边界曲面直线与闭区域直线与闭区域内部的内部的轴且穿过闭区域轴且穿过闭区域这是平行于这是平行于Sz 类似的类似的, ,若平行于若平行于y y轴的直线与轴的直线与的边界至多交于的边界至多交于两点两点, ,可将可将投影在投影在xozxoz面上面上; ;若平行于若平行于x x轴的直线与轴的直线与的边界至多

5、交于的边界至多交于两点两点, ,可将可将投影在投影在yozyoz面上面上. .编辑ppt例例 1 1 化化三三重重积积分分 dxdydzzyxfI),(为为三三次次积积分分，其其中中积积分分区区域域 为为由由曲曲面面 222yxz 及及22xz 所所围围成成的的闭闭区区域域.解解由由 22222xzyxz, 122 yx编辑ppt故故 ： 22222221111xzyxxyxx,.),(11221122222 xyxxxdzzyxfdydxI编辑ppt2. 0,0,021.vIxdxdydzvxyzxyz例 求其中 由及围成编辑ppt, 1:222zyx计算计算222222ln(1)d1zxy

6、zvxyz编辑ppt截面法的一般步骤：截面法的一般步骤：(1) 把积分区域把积分区域 向某轴向某轴（例如（例如z 轴）投影，得投轴）投影，得投影区间影区间,21cc；(2) 对对,21ccz 用过用过z轴且平行轴且平行xoy平面的平面去平面的平面去截截 ，得截面，得截面zD;(3) 计算二重积分计算二重积分 zDdxdyzyxf),( 其结果为其结果为z的函数的函数)(zF；(4)最后计算单积分最后计算单积分 21)(ccdzzF即得三重积分值即得三重积分值.z编辑ppt例例 4 4 计计算算三三重重积积分分 zdxdydz，其其中中 为为三三个个坐坐标标面面及及平平面面1 zyx所所围围成成

7、的的闭闭区区域域.解解（一）（一） zdxdydz,10 zDdxdyzdz1| ),(zyxyxDz )1)(1(21zzdxdyzD 原原式式 102)1(21dzzz241 .xozy111编辑ppt zdxdydz解解（二）（二） zzydxdyzdz101010 zdyzyzdz1010)1( 102)1(21dzzz241 .xozy111编辑ppt例例 5 5 计算三重积分计算三重积分dxdydzz 2，其中，其中 是由是由 椭球面椭球面1222222 czbyax所成的空间闭区域所成的空间闭区域.: ,| ),(czczyx 1222222czbyax 原式原式,2 zDccd

8、xdydzzxyzozD解解编辑ppt)1()1(222222czbczadxdyzD ),1(22czab ccdzzczab222)1(.1543abc | ),(yxDz 1222222czbyax 原式原式编辑ppt123( , , ),.( )( )( )?x y z axb cyd ezff x fy fz dv 设则编辑ppt三重积分的定义和计算三重积分的定义和计算在直角坐标系下的体积元素在直角坐标系下的体积元素dxdydzdv （计算时将三重积分化为三次积分）（计算时将三重积分化为三次积分）小结小结编辑ppt作业：作业：93(106)1.(2)(3); 2; 5; 8.第页 ：

9、编辑ppt,0 r,20 . z的的柱柱面面坐坐标标就就叫叫点点个个数数，则则这这样样的的三三的的极极坐坐标标为为面面上上的的投投影影在在为为空空间间内内一一点点，并并设设点点设设MzrrPxoyMzyxM,),( 规定：规定：xyzo),(zyxM),(rPr编辑ppt .,sin,coszzryrx 柱面坐标与直角坐柱面坐标与直角坐标的关系为标的关系为为常数为常数r为常数为常数z为常数为常数 如图，三坐标面分别为如图，三坐标面分别为圆柱面；圆柱面；半平面；半平面；平平 面面),(zyxM),(rPrzxyzo编辑ppt dxdydzzyxf),(.),sin,cos( dzrdrdzrrf

10、 drxyzodzdr rd如图，柱面坐标系如图，柱面坐标系中的体积元素为中的体积元素为,dzrdrddv 编辑pptcossinxyzz(cos ,sin , ).fzd d dz 柱面坐标系下的体积元素：柱面坐标系下的体积元素：柱面坐标与直角坐标的关系：柱面坐标与直角坐标的关系：dvd d dz 转换公式转换公式：( , , )f x y z dv编辑ppt例例1 1 计算计算 zdxdydzI，其中，其中 是球面是球面 4222 zyx与抛物面与抛物面zyx322 所围的立体所围的立体.解解由由 zzryrx sincos, zrzr34222, 3, 1 rz知交线为知交线为编辑ppt

11、 23242030rrzdzrdrdI.413 面面上上，如如图图，投投影影到到把把闭闭区区域域xoy .20, 3043:22 rrzr，编辑ppt三重积分有以下情形之一三重积分有以下情形之一, ,则适用于利则适用于利用柱面坐标来计算用柱面坐标来计算: :(1)积分区域是圆柱体或其一部分;(2)积分区域在xoy面的投影域是一个圆域或其一部分;22(3).xy被积函数含有关于的函数编辑ppt22. 4.vIzdxdydzvzxyz例求其中 由与围成编辑ppt作业：作业：93(106)9.第页 ：编辑ppt的球面坐标的球面坐标就叫做点就叫做点，个数个数面上的投影，这样的三面上的投影，这样的三在在

12、点点为为的角，这里的角，这里段段逆时针方向转到有向线逆时针方向转到有向线轴按轴按轴来看自轴来看自为从正为从正轴正向所夹的角，轴正向所夹的角，与与为有向线段为有向线段间的距离，间的距离，与点与点点点为原为原来确定，其中来确定，其中，三个有次序的数三个有次序的数可用可用为空间内一点，则点为空间内一点，则点设设MrxoyMPOPxzzOMMOrrMzyxM ),(编辑ppt,r 0.20 ,0 规定：规定：为常数为常数r为常数为常数 为常数为常数 如图，三坐标面分别为如图，三坐标面分别为圆锥面；圆锥面；球球 面；面；半平面半平面编辑ppt .cos,sinsin,cossin rzryrx球面坐标与

13、直角坐标的关系为球面坐标与直角坐标的关系为如图，如图，Pxyzo),(zyxMr zyxA，轴轴上上的的投投影影为为在在点点，面面上上的的投投影影为为在在设设点点AxPPxoyM.,zPMyAPxOA 则则编辑ppt dxdydzzyxf),( .sin)cos,sinsin,cossin(2 ddrdrrrrf球面坐标系中的体积元素为球面坐标系中的体积元素为,sin2 ddrdrdv drxyzodr dsinr rd d d sinr如图，如图，编辑ppt球面坐标与直角坐标的关系球面坐标与直角坐标的关系：sincossinsincosxryrzr球面坐标系下的体积元素球面坐标系下的体积元素：2sindvrdrd d 转换公式转换公式：( , , )f x y z dv2( sincos , si