大脑的耳叶中,有一部分叫做海马,它是记忆中枢有

1、1 大脑的耳叶中，有一部分叫做大脑的耳叶中，有一部分叫做“海马海马”，它是记忆中枢。有趣的是：，它是记忆中枢。有趣的是：左脑的海马，是记忆最近的事情，记左脑的海马，是记忆最近的事情，记得快忘得也快（短时记忆）；右脑的得快忘得也快（短时记忆）；右脑的海马，是保存自出生以来的一切事物，海马，是保存自出生以来的一切事物，而且永不丢失（永久记忆）。不过，而且永不丢失（永久记忆）。不过，它却象是被挤在了仓库的角落里，尘它却象是被挤在了仓库的角落里，尘封了起来。封了起来。2dxxfVba2)( dcdyyV2)( badxxAV)(一、旋转体的体积一、旋转体的体积 二、平行截面面积为已知二、平行截面面积为

2、已知 的立体的体积的立体的体积xyoabxdxx )(xAxyoabxdxx )(xfy xyo)(yxcd3这直线叫做这直线叫做旋转轴旋转轴。 就是由一个平面图形绕平就是由一个平面图形绕平 面内一条直线旋转一周而成的立体，面内一条直线旋转一周而成的立体， 及球体都是旋转体。及球体都是旋转体。 如图所示圆柱体、圆台体、圆锥、如图所示圆柱体、圆台体、圆锥、 4dxxfVba2)( 所以所以 dxxfdV2)( 围成的曲边梯形绕围成的曲边梯形绕 x 轴旋轴旋转一周转一周 0,),(ybxaxxfy求由求由而成的而成的立体的体积。立体的体积。 积分变量为积分变量为 ,x积分区间为积分区间为 ,b,a

3、在在 b,a上任取小区间上任取小区间 ,dxx,x 相应的窄曲边梯形相应的窄曲边梯形 绕绕x轴旋转而成的薄片的体积，轴旋转而成的薄片的体积， 用圆柱体的体积近似代替，用圆柱体的体积近似代替， 圆柱体的体积即圆柱体的体积即： yOb)(xfy xaxdxx yOab)(xfy xxdxx 5xyo)(yx cddcdyyV2)( )(yx 由曲线由曲线 和直线和直线 dy,cy 与与 y 轴所围成的曲边梯形，轴所围成的曲边梯形， 旋转一周而成的旋转体的体积为：旋转一周而成的旋转体的体积为： 绕绕 y 轴轴 例例1 求以求以 为底半径，为底半径， 为高的圆锥的体积为高的圆锥的体积 。 rh当然这个

4、题可以用元素法来解。当然这个题可以用元素法来解。xhry OP的直线方程为：的直线方程为： 于是所求圆锥体的体积为：于是所求圆锥体的体积为： 3032322hrhxhr hdxxhrV02 rOhxyP(h,r)建立坐标系如图建立坐标系如图 解：解：6当当 a=b时，旋转椭球体就成为半径为时，旋转椭球体就成为半径为 a 的球体的球体,它的体积为它的体积为 334aV 例例2 2 计算由椭圆计算由椭圆 12222 byax所围成的图形绕所围成的图形绕x轴旋转而成的旋转体轴旋转而成的旋转体 （叫做旋转椭球体）的体积。（叫做旋转椭球体）的体积。 及及 x 轴围成的图形绕轴围成的图形绕 x 轴旋转而成

5、的立体，轴旋转而成的立体， 这个椭球体可以看作是由上半个椭圆这个椭球体可以看作是由上半个椭圆解：解：22xaaby上半个椭圆的方程为：上半个椭圆的方程为： 23222343abaaxxaab 所以：所以： aadxyV2 aadxxaab)(2222 若绕若绕 y 轴旋转轴旋转 baV234 x xy yo o7 2200)cos1(.cos1 )sin(taxtxdttadxtayttax时，时，当当时，时，当当则则，令令图形绕图形绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积为轴旋转而成的旋转体的体积为 20323)coscos3cos31(dtttta 解：解： axdxxyV 202)( 2022)

6、cos1()cos1(dttata例例3 3 计算由摆线计算由摆线 )cos1()sin(tayttax的一拱、直线的一拱、直线 y =0所围成的图形分别绕所围成的图形分别绕 x 轴、轴、y 轴旋转而成的轴旋转而成的 旋转体的体积。旋转体的体积。a2a a 2a2)(xyy xyO325a 8 aydyyxV2022 2 22sinsintdtatta 2023sin)sin(tdttta adyyx2021 0 22sinsintdtatta图形图形绕绕 y 轴轴旋转而成的旋转而成的 旋转体的体积为旋转体的体积为 a a 2ACx =x1(y) x=x2(y) x yO Btdtadytta

7、xtaysinsin )cos1(则则，令令 taytyyxx时，时，当当时，时，当当对于对于2001 .2;20,2 taytyyxx时，时，当当时，时，当当对于对于 2032022023sinsin2sintdttdtttdtta 2 22sinsintdtatta周期函数周期函数奇函数奇函数)2sin2sin(21sin2sin262020202023 tdttttdttta336a 9所以所以 badxxAV)(dxxAdV)(则体积元素为：则体积元素为： )(xA表示过点表示过点 x 且垂直于且垂直于x 轴的截面面积（已知）。轴的截面面积（已知）。 用用 积分变量为积分变量为 ,x积

8、分区间为积分区间为 ,b,a,dxx,x在在 上任取上任取小区间小区间 ba,)(xAxbx+dxxaOy10圆柱体所得立体的体积。圆柱体所得立体的体积。例例4 4 一平面经过半径为一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，并与的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角底面交成角 , 计算这平面截计算这平面截因而截面积为因而截面积为 tan)(21)(22xRxA 解：解：222Ryx建立直角坐标系如图：建立直角坐标系如图：则底圆的方程为：则底圆的方程为：作垂直于作垂直于 x 轴的截面，轴的截面，过任意点过任意点,RRx截面为一直角三角形，截面为一直角三角形，,22xR 它的两条直角边的长分别为它的两条直

9、角边的长分别为,tan22 xR 及及于是所求立体体积为：于是所求立体体积为：RRdxxRV tan)(2122 tan3231tan21332RRRxxR222Ryx XRR-R-RO OYx11例例5 5 求以半径为求以半径为R的圆为底，的圆为底， 平行且等于底圆直径的线段为顶、平行且等于底圆直径的线段为顶、 高为高为h的正劈锥体的体积。的正劈锥体的体积。 解：解： 使使 x 轴与正劈锥的顶平行，轴与正劈锥的顶平行， 建立底面直角坐标系如图，建立底面直角坐标系如图， 222Ryx则底圆的方程为：则底圆的方程为： 22)(xRhyhxA这截面的面积为：这截面的面积为：过过 x轴上的点轴上的点

10、 x 作垂直于作垂直于 x 轴的平面，轴的平面， 截正劈锥体得等腰三角形。截正劈锥体得等腰三角形。 正劈锥体的体积等于同底同高的圆柱体体积的一半。正劈锥体的体积等于同底同高的圆柱体体积的一半。 于是所求正劈锥体得体积为：于是所求正劈锥体得体积为： 2cos220222hRdhR RRRRdxxRhdxxAV22)(-RRRRYYO OXxh h12一、平面曲线弧长的概念一、平面曲线弧长的概念AB在弧在弧 上任取分点上任取分点 设设A、B是曲线弧上的两个端点，是曲线弧上的两个端点， 并依并依 次连接相邻的分点得一内接折线。次连接相邻的分点得一内接折线。 当分点的数目无限增加且每个小段当分点的数目

11、无限增加且每个小段 niiiMM11的极限存在，的极限存在，则称此极限为曲线弧则称此极限为曲线弧 AB 的弧长，的弧长， 并称此曲线弧并称此曲线弧 AB是可求长的。是可求长的。 、210MMMA ,11BMMMMnnii、都缩向一点时，都缩向一点时，如果折线的长如果折线的长 iiMM1（0MA2M1M1nMnMB 1iMiMOxy光滑曲线弧光滑曲线弧( (即弧上任意点具有一阶连续导数）即弧上任意点具有一阶连续导数）是可求长的。是可求长的。 13于是所求于是所求弧长为弧长为 badxys21设曲线弧由设曲线弧由 )(xfy )(bxa给出，给出， 上具有一阶连续导数，上具有一阶连续导数，现在来现

12、在来 其中其中f（x）在在 a，b 上上 计算这计算这曲线弧的长度曲线弧的长度。 从而得从而得弧长元素：弧长元素： ba,在在 上任取小区间上任取小区间 ,dxxxdx y21 ds 22dydx- -弧微分公式弧微分公式 dydxx)(xf)(xfy axbxyOdx14dxxdxxds1)(1221 21xy 解解因此所求弧长为：因此所求弧长为：abxdxxsba23)1(3212323)1()1(32ab例例1 1 计算曲线计算曲线 上相应于上相应于 从从 a 到到 b的一段弧的长度。的一段弧的长度。 2332xy 15(其中其中 c为常数为常数)方程为：方程为：cxchcy计算悬链线上

13、介于计算悬链线上介于 与与 之间一段弧的长度之间一段弧的长度.例例2 2 两根电线杆之间的电线，由于其本身的重量，下垂成两根电线杆之间的电线，由于其本身的重量，下垂成曲线形，这样的曲线叫曲线形，这样的曲线叫悬链线悬链线，适当选取坐标系后，悬链线的，适当选取坐标系后，悬链线的bxbx 解解 cxsh y dxcxchdxcxshds21因此所求弧长为：因此所求弧长为：bbcxdcxchcdxcxchs0022cbshcbcxshc202bbcX XYYO O16 于是所于是所求求弧长为弧长为 dttts22弧长元素为弧长元素为:dttt)()(22 22dydxds 2222dttdtt 取取

14、t 为积分变量，它的变化区间为为积分变量，它的变化区间为, 设曲线弧由参数方程设曲线弧由参数方程)()(tytx )( t给出，其中给出，其中)(t )(t ,现在来计算这现在来计算这曲线弧的长度曲线弧的长度。、在在上具有连续导数。上具有连续导数。 17aadas8022cos222sin220 解解: sin)cos1(ayax daads2222sin)cos1( dada2sin2)cos1(2例例3 3 计算摆线计算摆线 )20( )cos1()sin( ayax的长度。的长度。 的一拱的一拱 a2a a 2a2)(xyy xyO18弧长元素为：弧长元素为： drrdyxds2222所

15、求弧长为：所求弧长为： drrs22 cos)(sin)( sin)(cos)( rryrrx sin)(sincos)(cosrryrrx)( 现在来计算这曲线弧的长度，现在来计算这曲线弧的长度，由直角坐标与极坐标的关系可得：由直角坐标与极坐标的关系可得： , ryx, yxyOx r可看作可看作以以 为为参数的情形参数的情形设曲线弧由极坐标方程设曲线弧由极坐标方程 在在 ,)( )( rr )( r给出，其中给出，其中 上具有连续导数上具有连续导数 。 19xoa 2例例4 4 求阿基米德螺线求阿基米德螺线 相应于相应于 从从 到到 )0( ,aar 0 2一段的弧长。一段的弧长。 于是所

16、求弧长为于是所求弧长为 2021das22412ln4122 a daads222弧长元素为弧长元素为解解a r da2120小小 结结 dxydxxfVbaba22)( 利利用用曲曲线线参参数数方方程程时时一、旋转体的体积一、旋转体的体积 绕绕x x轴旋转轴旋转 绕绕y y轴旋转轴旋转 二、平行截面面积为已知的立体的体积二、平行截面面积为已知的立体的体积badxxAV)(dyxdyyVdcdc22)( 利利用用曲曲线线参参数数方方程程时时换换限限按按照照)(tx 换换限限按按照照)(ty 21badxys21(1) 直角坐标直角坐标 dttts)()(22(2) 参数方程参数方程 drrs)()(22(3) 极坐标极坐标三、平面曲线的弧长三、平面曲线的弧长思考题：思