高等数学b学习资料-2-5函数的微分

1、一、微分的定义一、微分的定义二、微分公式与运算法则二、微分公式与运算法则三、微分的意义与应用三、微分的意义与应用一、微分的定义一、微分的定义1、引例、引例 ：一块正方形金属薄片受温度变化的影响一块正方形金属薄片受温度变化的影响, ,其边长由其边长由 x0 变到变到 x0+ x , 问此薄片面积改变了多少问此薄片面积改变了多少 ? 20 xA 0 x0 x2020)(xxxA .)(220 xxx )1()2(;,的主要部分的主要部分且为且为的线性函数的线性函数Ax :)1(.,0很小时可忽略很小时可忽略当当的高阶无穷小的高阶无穷小时时当当xxx :)2(x x 2)( x xx 0 xx 0设

2、薄片边长为设薄片边长为 x , 面积为面积为 A , 则则,2xA 当当 x 在在 x0 取得增量取得增量 x时时 , 面积的增量为面积的增量为.20 xxA 再例如再例如,.,03yxxxy 求函数的改变量求函数的改变量时时为为处的改变量处的改变量在点在点设函数设函数3030)(xxxy .)()(3332020 xxxxx )1()2(,很很小小时时当当 x .320 xxy ),()2(xox 的高阶无穷小的高阶无穷小是是既容易计算又是较好的近似值既容易计算又是较好的近似值问题问题: :这个线性函数这个线性函数(改变量的主要部分改变量的主要部分)是否是否所有函数的改变量都有所有函数的改变

3、量都有?它是什么它是什么?如何求如何求?2、微分的定义、微分的定义定义定义, )(,)(000仍在该邻域内仍在该邻域内处取得增量处取得增量当在当在某个邻域内有定义某个邻域内有定义在在设函数设函数xxxxxxfy 处的增量可表示为处的增量可表示为在点在点若函数若函数0)(xxfy )()()(00 xoxAxfxxfy , )0()(,0时时当当高高阶阶的的无无穷穷小小量量是是比比无无关关的的常常数数有有关关而而与与是是与与其其中中xxxoxxA ),aldifferenti()(,)(00的微分的微分相应于自变量增量相应于自变量增量在点在点称为称为可微可微在点在点则称函数则称函数xxxfyxA

4、xxfy .d,dd000 xAyfyxxxxxx 即即或或记记作作3、可微的条件、可微的条件).(,)()(000 xfAxxfxxf 且且处可导处可导在点在点数数可微的充要条件是函可微的充要条件是函在点在点函数函数定理定理证证(1) 必要性必要性,)(0可可微微在在点点xxf),( xoxAy ,)(xxoAxy xxoAxyxx )(limlim00则则.A ).(,)(00 xfAxxf 且且可导可导在点在点即函数即函数(2) 充分性充分性)()(0 xxxfy 从而从而,)(0 xfxy即即,)(0可导可导在点在点函数函数xxf),(lim00 xfxyx ,0lim0 x其其中中)

5、,()(0 xoxxf .)(,)(00Axfxxf 且且可可微微在在点点函函数数).(.0 xfA 可可微微可可导导.d)(d00 xxfyxx 即有即有编辑ppt?d,d,0,d,2)(,)(100是是几几阶阶无无穷穷小小关关于于时时问问：及及自自变变量量的的增增量量表表示示函函数数的的增增量量、微微分分分分别别、可可微微在在设设例例xyyyyxxyyxfxxf 解解例例2 2.02. 0, 23时时的的增增量量与与微微分分当当求求函函数数 xxxyxxy )(d3 .32xx 02. 02202. 023d xxxxxxy .24. 0 332)02. 02( y242408. 0 00

6、0008. 00024.24. 0 .d,d,xxxxx 即即记记作作称称为为自自变变量量的的微微分分的的增增量量通通常常把把自自变变量量.d)(dxxfy ).(ddxfxy .dd该函数的导数该函数的导数之商等于之商等于与自变量的微分与自变量的微分即函数的微分即函数的微分xy.)(d),(dd,)(xxfyxfyxxfy 即即或或记记作作微微分分称称为为函函数数的的的的微微分分在在任任意意点点函函数数.)(,)(,)(内内的的可可微微函函数数是是且且称称内内可可微微区区间间在在就就称称内内处处处处可可微微在在区区间间如如果果函函数数IxfIxfIxfy .导数也叫“微商”导数也叫“微商”.

7、的的微微分分在在任任意意点点求求函函数数例例xy 几点说明：几点说明：;d)1(的线性函数的线性函数是自变量的改变量是自变量的改变量xy ;)(d)3(高阶的无穷小高阶的无穷小是比是比xxoyy )0(x ;d,0)4(是是等等价价无无穷穷小小与与时时当当yyA .d,0)()5(0yyxfx 时时很很小小且且当当;)(,)2(0有有关关和和但但与与无无关关的的常常数数是是与与xxfxA ).0( x.d的的线线性性主主部部叫叫做做函函数数增增量量微微分分yy ( (微分的实质微分的实质) )二、微分的求法二、微分的求法xxfyd)(d 求法求法: : 计算函数的导数计算函数的导数, 乘以自变

8、量的微分乘以自变量的微分.)(d1)C.0 例如例如)(d2) x.d1xx )(cosd3)x.dsinxx )(tand4)x.dsec2xx )(arctand5)x.d112xx 1.基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式 P113xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxaxxxeexaaaxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxCaxxxxdsinh)(coshddcosh)(sinhdd11)arccot(dd11)(arctandd11)(arccosdd11)(arcsindd1)(lnddln1)(logdd)(ddln)(ddcotcsc)(cscddtan

9、sec)(secddcsc)(cotddsec)(tanddsin)(cosddcos)(sindd)(d0)(d2222221 2. 函数线性组合、积、商的微分法则函数线性组合、积、商的微分法则 P1132ddddd)(d),(dd)(dvvuuvvuvuuvuvvuvu 为常数为常数 3、复合函数的微分、复合函数的微分,)(, )(可可微微设设函函数数xuufy 的的微微分分为为则则复复合合函函数数)(xfy xxxfyd)()(d 一阶微分形式不变性一阶微分形式不变性;d)(d,)1(uufyu 是是自自变变量量时时若若则则可微函数可微函数的的是另一变量是另一变量即即是中间变量时是中间变

10、量时若若, )(,)2(xuxuu ),()(ufufy 有有导导数数设设函函数数xxufyd)()(d ,dd)(uxx .d)(duufy 结论：结论：的微分形式总是的微分形式总是函数函数是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量无论无论)(,ufyu 一阶微分形式的不变性一阶微分形式的不变性uufyd)(d 例例1 1.d),12sin(yxy求求设设 解法一解法一)12cos(2 xy.d)12cos(2dxxy 解法二解法二)12sin(dd xy)12(d)12cos( xx.d)12cos(2xx 编辑ppt例例2 2.d,sinybxeyax求求设设 解解)(sindsin)(d

11、dbxebxeyaxax )(dcossin)(dbxbxebxaxeaxax xbbxebxxaeaxaxdcossind)( .d)cossin(xbxbbxaeax 编辑ppt例例3.的的微微分分求求函函数数xxy 例例4.02的微分的微分求隐函数求隐函数 xexyy例例5 5在下列等式左端的括号中填入适当的函数在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使使等式成立等式成立.d)(d)1(2xx 练习：练习：,dln)(d)3(2xxx . )0(dcos)(d)2( ttCx 331Ct sin1( (C为任意常数为任意常数) )( (C为任意常数为任意常数) )说明说明: : 上述微分的

12、反问题是不定积分要研究的内容上述微分的反问题是不定积分要研究的内容. .注意注意: : 数学中的反问题往往出现多值性数学中的反问题往往出现多值性. .例例6 6解解在等式左端的括号中填入适当的函数在等式左端的括号中填入适当的函数,使等式使等式成立成立. )(d)()(sind2xx xxxxxxxd21dcos2)(d)(sind22 ,cos42xxx ).(d)cos4()(sind22xxxxx 2cos4xxx三、三、 微分的意义与应用微分的意义与应用)(xfy 0 xMNTdyy)( xo ）xyo x 1、微分的几何意义、微分的几何意义.d,纵坐标对应的增量纵坐标对应的增量就是切线

13、就是切线增量时增量时是曲线的纵坐标是曲线的纵坐标当当yy xx0 P .,MNMPMx可近似代替曲线段可近似代替曲线段切线段切线段的附近的附近在点在点很小时很小时当当 ( (如图如图) )2、近似计算、近似计算得近似公式得近似公式00dxxxxyy ,)(0 xxf ),()()()(000 xxxfxfxf ,0)(,0 xfx且且很小时很小时当当 （ f (x) 在在 x = x0 处的处的一次近似式一次近似式或或线性逼近线性逼近）或或使用原则使用原则: :;)(, )()100好算好算xfxf .)20靠近靠近与与xx.)0()0()(xffxf ,| ,0很小时很小时时时当当xx 工程

14、技术上常用的五个一次近似式，在课本工程技术上常用的五个一次近似式，在课本116页页, 还有该页还有该页例例7请同学们自己看。请同学们自己看。,|很很小小时时x;1x xe)1(;x xsin)2(;x xtan)3(;x )1ln()4(x.1x )1()5(x编辑ppt例例1.sin,|xxx 很很小小时时证证明明：当当例例2.29sin的近似值的近似值求求编辑ppt例例2.29sin的近似值的近似值求求,180d x解解 设设,sin)(xxf 取取300 x,6 29 x则则,18029 18029sin 6sin 6cos 21 23 )0175. 0( 485. 0 )180( 29

15、sin4848. 029sin 四、小结四、小结1、微分的概念、微分的概念2、导数与微分的联系、导数与微分的联系:.可可微微可可导导3、微分运算法则、微分运算法则微分形式不变性微分形式不变性: :uufufd)()(d 4 4、微分的应用、微分的应用 近似计算近似计算( u 是自变量或中间变量均可是自变量或中间变量均可 )编辑ppt1. 设函数设函数)(xfy 的图形如下的图形如下, 试在图中标出的点试在图中标出的点0 x处的处的yy ,d及及,dyy 并说明其正负并说明其正负 .yd0 xx00 xxyoy00yyd思考与练习思考与练习编辑pptxxee d )d(arctan. 2xe21

16、1 .d x xxee21 .sindtand. 3 xxx3sec.d2sin) (d. 4xx Cx 2cos215、因因为为一一元元函函数数)(xfy 在在0 x的的可可微微性性与与可可导导性性是是等等价价的的，所所以以有有人人说说“微微分分就就是是导导数数，导导数数就就是是微微分分”，这这说说法法对对吗吗？ 解解说法不对说法不对. 从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全不同的概念不同

17、的概念. 补充说明：补充说明：1、微分学所要解决的两类问题、微分学所要解决的两类问题:函数的变化率问题函数的变化率问题函数的增量问题函数的增量问题微分的概念微分的概念导数的概念导数的概念求导数与微分的方法求导数与微分的方法,叫做叫做微分法微分法.研究微分法与导数理论及其应用的科学研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫叫做做微分学微分学.2、导数与微分的区别、导数与微分的区别:.,)(d, )()()100000时时是是无无穷穷小小实实际际上上它它在在定定义义域域是是它它的的的的线线性性函函数数是是而而微微分分处处的的导导数数是是一一个个定定数数在在点点函函数数xxRxxxxfyxfxxf )(

18、limdlim0000 xxxfyxxxx . 0 .)(,()()()(d,)(,()()(,)200000000的的纵纵坐坐标标增增量量方方程程在在点点处处的的切切线线在在点点是是曲曲线线而而微微分分处处切切线线的的斜斜率率点点在在是是曲曲线线从从几几何何意意义义上上来来看看xxfxxfyxxxfyxfxxfyxf 一、一、 填空题：填空题：1 1、 已知函数已知函数2)(xxf 在点在点x处的自变量的增量为处的自变量的增量为0.20.2，对应的函数增量的线性全部是，对应的函数增量的线性全部是dy=0.8=0.8，那，那么自变量么自变量x的始值为的始值为_._.2 2、 微分的几何意义是微分的几何意义是_._.3 3、 若若)(xfy 是可微函数，则当是可微函数，则当0 x时，时， dyy 是关于是关