重积分及其计算和多重积分

1、三重积分和多重积分方法 在第三节中我们讨论了二重积分，本节将之推广到一般的 n 维空间中去 . 类似于第三节，我们先定义一个R3中集合的可求体积性.同样可以给出一列类似的结论 . 读者自己推广 . 这里将不再赘述 . 一、 引 例 设一个物体在空间 R3 中占领了一个有界可求体积的区域 V ，它的点密度为 f x,y,z ， 现在要求这个物体的质量假设密度函数是有界的连续函数，可以将区域 V 分割为若干个 可求体积的小区域 V1,V2,.,Vn， 其体积分别是 V1, V2,., Vn， 直径分别是d1 ,d2 ,., dn ， 即 di sup|WQ|W,Q Vj , (i=1,2,，n)

2、, |WQ| 表示 W, Q 两点的距离.设 max dhd2,.,dn,则当 很小时，f x, y, z在Vi上的变化也很小.可以用这个小 区域上的任意一点 xi , yi ,zi 的密度 f xi, yi ,zi 来近似整个小区域上的密度，这样我们可 以求得这个小的立体的质量近似为 f Xi, yi,Zi Vi,所有这样的小的立体的质量之和即为 这个物体的质量的一个近似值即 n M f xi , y i , zi Vi i1 当 0 时，这个和式的极限存在，就是物体的质量即 n M lim f xi , yi ,zi Vi 0i1 从上面的讨论可以看出， 整个求质量的过程和求曲顶柱体的体积

3、是类似的， 都是先分割， 再求和，最后取极限所以我们也可以得到下面一类积分 二、 三 重积分的定义 3 设f x,y,z是空间R中的一个有界可求体积的闭区域 V上的有界函数，将V任意分割 为若干个可求体积的小闭区域 V1,V2,.,Vn,这个分割也称为 V的分划，记为P V1,V2,.,Vn. Vio Vjo (空，i j ),其体积分别是 Vi, V2,., Vn，直径分别是di,d2,.,dn 设 max d1,d2,., dn ,或记为 | P|. 在每个小区域中任意取一点 f xi , yi ,zi Vi （称为 Riemann 和 ），若当 i1 限为函数 f x, y,z 在区域

4、V 上的 三重积分 ，记为 f x, y, z dV 并称函数 f x, y,z 在 V 区域V上可积.f x,y,z称为被积函数，x,y,z称为积分变量.,V称为积分区域. 特别地，在直角坐标系下，可以记为 f x, y, z dxdydz V 我们同样可以引入 Darboux 大 ,小和 来判别可积 , 也有同样的结论 （略 ）. 1 . 若 f x, y, z 是有界闭区域 V 上的连续函数，则函数 f x, y, z 在区域 V 上可积 2 .若 f x, y, z =1 时， dxdydz V 的体积. V 3 . 若 f x, y,z 在有界闭区域 V 上的间断点集合是0 体积时

5、, f x, y, z 在 V 可积 . 三重积分有着与二重积分类似的性质下面简单叙述一下 4 .可积函数的和（或差）及积仍可积 .和（差）的积分等于积分的和 （差）. 5 .可积函数的函数 k倍仍可积.其积分等于该函数积分的 k倍. 6 .设 是可求体积的有界闭区域， f x,y,z在 上可积， 分为两个无共同内点的 可求体积的闭区域 1, 2之并，则 f x, y,z 在 1, 2 上可积，并有 f x, y, z dV f x, y, z dV f x, y, z dV 12 等等 . 三、三重积分的计算 方法同二重积分一样 , 我们这里给出三重积分的计算方法 ,理论上的证明读者自己完成

6、 . 1. 利用直角坐标系计算三重积分 xi, yi ,zi Vi ，作和 0 时，这个和式的极限存在，则称其极 先给一个结论 . 定理 若函数f x, y,z是长方体 V=a,b x c,dx e,h上的可积，记D=c,dx e,h,对任 意xCa,b,二重积分 这时右边称为三次积分或累次积分，即三重积分化为三次积分 证明 分别中a,b, c,d, e,h插入若干个分点 c yo yi y2 ym d ； e zo zi z2 zs h zk,(i=0,1,2,n; ,j i =0,1,2,，m; k=0,1,2,s,)得到 V 的一个分划 P.令 vijk xi 1, xi Yj 1, Y

7、j zk 1,4, (i=1,2，,n; ,j i=1,2，,m; k=1,2，,s,), Mijk,mjk分别是f x, y,z在vjk上的上，下确界.那么在Djk yj 1, yj位7门上有 mijk yj zk f ( i ,y,z)dydz M 胀 yj zk Djk 其中 A 为,=x - xi-1 , A yj ,= y j- y j -1 , Az ,= zk - zk-1 , (i=1,2，n; ,j i=1,2，m; k=1,2，s,). f( i,y,z)dydz f ( i,y,z)dydz I( i) j，k Djk D n mijk xi yj zk I ( i) x

8、i Mijk xi yj zk i,j,k i 1 i,j,k 因可积，所以当| P|趋于0时，Darboux大，小和趋于同一数，即三重积分 故定理得证. 如果V如右图， I(x) f x, y, z dydz 存在,则 I (x)dx a a D 也存在，且 f x, y,z dV V f x, y, z dydz dx (记为 b dx f x,y, z dydz a D dx f x, y, z dydz) a D b d h dx dy f x, y, z dz. ace a x0 x1 x2 xn b ； 作平面x xi, y yj, z e z h, z=z与V的截面 h 若函数f

9、 x, y, z在V上的可积,那么 f x, y, z dV dz f x, y, z dxdy . V e Dz 卜面给出一般三重积分的具体计算方法， 理论证明读者可参照二重积分自己完成. 续，我们先讨论一种比较特殊的情况. xy,z|x,y D,4 x,y z4乂y,其中 Dxy为 在xoy平面上的投影，且Dxy x, y|a x b,y（x） y y?*.如图12. 我们现在z轴上做积分，暂时将 x, y看成是常数.把函数 f x,y,z看作是z的函数， 将它在区间z1 x,y ,z2 x, y 上积分得到 面积为Dz 图 12-4-1 设函 图 12-4-2 x 显然这个结果是 x,

10、y的函数，再把这个结果在平面区域 Dxy上做二重积分 Z2 x,y f x, y, z dz dxdy. Zi x,y Dxy 在利用二重积分的计算公式便可以得到所要的结果.若平面区域 a x b, yi x y y2 x 表示，贝U b x z2 x,y f x,y, z dV dx dy f x, y, zdz. yi x ，x,y a 这个公式也将三重积分化为了三次积分. 如果积分区域是其他的情形，可以用类似的方法计算. 例1计算三重积分 xdV ,其中 是由三个坐标面和平面 x y z 1所围的立体区 域. 解 积分区域如图所示，可以用不等式表示为 Z2 x,y f x, y, z d

11、z. Dxy可以用不等式 0 x 1,0 y 1 x,0 z 1 x y , 所以积分可以化为 xdV 1 1 x 1 x y dx dy xdz 0 0 0 1 1 x dx x 1 x y dy 0 0 2 . x dx 1 1 3 1 2 -x _ x 1 24 四、三重积分的积分变换 和二重积分的积分变换一样，有如下的结果 定理 设V是uvw空间R3中的有界可求体积的闭区域，T：x=x(u,v,w), y=y(u,v,w), z=z(u,v,w), 是V到xyz空间R3中的一一映射，它们有一阶连续偏导数，并且 如果f(x,y,z)是T(V)上的可积函数，那么 f (x, y, z)dx

12、dydz f (x(u,v,w), y(u, v,w),z(u,v, w) T(V) V 在R3中有两种重要的变换柱面坐标和球面坐标 1.利用柱面坐标计算三重积分 前面我们可以看到，由于积分区域与被积函数的特点， 二重积分可以用极坐标来计算. 同 样对于三重积分可以用柱面坐标和球面坐标计算.我们先讨论用柱面坐标来计算三重积分. 设空间中有一点 M x, y, z ,其在坐标面xoy上的投影点M 的极坐标为r,这样 三个数z,r,就称为点M的柱面坐标(如图12-4-4). (x,y,z) x u y u z u v y v z z y z z 0, (u, v, w) V (称为 Jacobi)

13、. (x,y,z) (u,v,wdudvdw M 这里规定三个变量的变化范围是 注意到，当r 常数时，表示以z轴为中心轴的一个柱面. 当=常数时，表示通过 z轴，与平面xoy的夹角为 的半平面. 当z 常数时，表示平行于平面 xoy,与平面xoy距离为z的平面. x r cos y r sin z z 故容易得到：如果f(x,y,z)是R3中的有界可求体积的闭区域 V上的可积函数，则 f x,y,zdV f r cos , r sin , z rdrd dz, V V 其中，变换前后区域都用 V表示. 我们也可以从几何直观的意义来描述这个公式的由来 用三组坐标面r CI, CI,Z C3将积分

14、区域划分为若干个小区域，考虑其中有代 表性的区域，如图12-4-5所示的区域可以看成是由底面圆半径为 r和r dr两个圆柱面，极 角为和 d的两个半平面，以及高度为z和z dz的两个平面所围成的.它可以近似的 看作一个柱体，其底面的面积为 rdrd ，高为dz.所以其体积为柱面坐标下的体积元素， 即 dV rdrd dz. 再利用两种坐标系之间的关系，可以得到 图 12-4-4 图 12-4-5 空间的点的直角坐标与柱面坐标之间的关系 即是R3到R3的映射： 所以其Jacobi为 (x, y, z) (r, , z) cos sin r sin 0 r cos 0 r, 0 1 xoy上的投影

15、M,其中r |OM |, 为x轴到射线OM 转 角. 为向量OM与z轴的夹角.如图12-4-7.规定三个变量的变化范围是 0 r 0 2 . 0 我们可以看到， 注意到，当r 常数时，表示以原点为球心的球面. 当=常数时，表示通过 z轴的半平面. 当 常数时，表示以原点为顶点， z轴为中心的锥面. 两种坐标系之间的关系如下： x r sin cos y r sin sin f x,y,zdV f rcos , r sin ,zrdrd dz . V V 在柱面坐标下的三重积分的计算也是化为三次积分. 例2计算三重积分 x2 y2 dV ,其中 是由椭圆抛物面z 4 x2 y2和平面 z 4所围

16、成的区域. 解 如图所示，积分区域 在坐标面xoy上的投影是一个圆心在原点的单位圆.所 0 r 1,0 2 ,4r2 z 4 .于是 2 2 2 x y dV r rdrd dz 2 1c 4 d r rdr 2 dz 0 0 4r2 2 1 3 5 2 d 4r 4r dr 一 2.利用球面坐标计算三重积分 我们知道球面坐标用数 r, 来表示空间的一个点.设有直角坐标系的空间点 M x, y, z ,点M在坐标面 图 12-4-7 图 12-4-6 z r cos即又是一个即是 R3到R3的映射.它的Jacobi是 由一般的重积分变换公式容易得到 ： 如果f(x,y,z)是R3中的有界可求体

17、积的闭区域 V上的可积函数，则 2 f x, y,zdV f rsin cos ,rsin sin ,r cos r sin drd d , V V 其中，变换前后区域都用 V表示. 用几何直观的意义可以如下理解 ：已知f(x,y,z)闭区域V上的可积函数. 用三组坐标r 常数， 常数， 常数，将积分区域 V划分为若干个小的区域.考 虑其中有代表性的区域，此小区域可以看成是有半径为 r和r dr的球面，极角为 和 d的半平面，与中心轴夹角为 和 d的锥面所围成，它可以近似的看作边长分别 是dr, rd , r sin d的小长方体，从而得到球面坐标系下的体积元素为 2 dV r sin drd

18、 d . 再由直角坐标系与球面坐标之间的关系，可以得到下面的公式 2 f x, y, z dV f r sin cos ,r sin sin ,r cos r sin drd d . V V 例3计算三重积分 x2 y2 dV ,其中 是右半球面x2 y2 z2 a2, y 。所 围成的区域. 解在球面坐标下，积分区域可以表示为 (x,y,z) sin cos sin sin cos r cos sin r cos cos r sin r sin sin rsin cos 0 2 . r sin 所以 0 r a,0 ,0 2 2 2 2 2 x y dV r sin r sin drd d

19、, ,a 4 . 3 , d d r sin dr 0 0 0 a 3 1 5 , d sin r d o o 5 o 5 1 3 4 5 一 a cos cos a 5 3 0 15 当V是R n中的有界闭区域.依照可求面积白方法定义 V的可求“体积”或可测(略).设 f(X1, X2,，xn,)是Rn中的有界可测闭区域 V上的函数，任取V的分划 凡 即把分成若干个可 测小区域V1,V2, ,Vm ,它们的“体积”或测度分别记为 V1, V2, , Vm，当令 di SUP|QIQ2 | |QI,Q2 Vi , |QIQ2 | 表示两点的距离， |P| max d1,d2, ,dm ,对任取

20、(xfLx” M)Vi,(i 1,2, ,m),如果 m limo f (XI，x21 ,xni) Vi存在，称f(x1, x2,，xn,)是V上的可积函数.其极限值称为 i 1 f(x1, x2,xn,)在V上的n重积分，记为 若V上有一一映射T XI XI(UI,U2, ,Un) T : X2 X2(UI，U2, ，Un),其每个分量的函数有连续偏导数, Xn Xn(U1,U2, ,Un) 与二重积分，三重积分一样可以定义一般 n重积分.我们这里只是简单介绍 n f (XI , x2 , ,xn)dV 或 V 特别 当 V=a1,b1x a2,b2x x an,bn时, n f (XI ,

21、 x2, ,xn)dxdx2n f(X1,X2, ,Xn)dXdX2 dXn. V 储 b2 bn dX1 dX2 f (XI,X2 , , Xn )dXn. a1 a2 an 当V是有界可测区域，f(x1, X2,，xn,)在T(V)上可积，并且Jacobi 那么 (XI,X2, ,Xn) (U1,U2, ,Un) f (XI , X2 , T(V) f (XI (UI,U2, 特别是 T ：XI XI XI XI UI U2 u n X2 X2 X2 UI U2 u n Xn Xn Xn UI U2 u n ,Xn)dXdX2 dXn ,Un),X2(Ui,U2, (XI,X2, ,Xn)

22、 (UI,U2, ,Un) R n中的球坐标变换 0, (UI,U2, ,Un) V dudU2 r cos 1, x2 r sin 1 cos xn r sin 1 sin 2 sin sin Xn rsin sin 2 sin sin 在Rn中，0 ,0 这时的Jacobi是 (XI,X2, ,Xn) (r, ,Un), dUn r sin ,Xn(Ui,U2, n 2 COs 2 sin ,0 1 sin 2 cos ，Un ) 3, XI XI XI r 1 n 1 X2 X2 X2 r 1 n 1 xn xn xn r 1 n 1 n r 1 , , n 1 ) 1 . n sin _ - _ n 3 . 1 sin 2 sin n 2 同样可以得到相应的公式 例4求 2 XI 2 X2 dx1 dx2 “2 R2 解用球坐标.这时，0 r R,0 1, 2, 3 , n2 ,0 n 1 2 n n n n n dx1 dx2 dxn 2 2 2 c2 X1 X Xn R 2 n 1 , - n 2 一 d n 2 r sin 1 sin 0 0 - k 其中 k sin xdx,k 1,2, 0 n 从而有 dx1dx2 dxn 2 2 2 R2 x1 x2 xn R R 2m m! 2R2m 1 (2m 1)! (2 )m ,n 2m ,n 2m 1 R