最详细全面六年级奥数-数论教师版word

1、数论问题本身范围很广，我们考察小学奥数的内容，完全平方数等知识点跟基础课内容结合很紧密，但又是小 奥的重难点，我们有必要加以重视本讲需要学生掌握的知识点有：平方数性质、平方差公式、约数个数定理、约数 和定理、辗转相除法等本讲内容中，平方数部分是数论中最基本的部分，学生应当学会熟练运用平方差公式，对于约数和倍数部分， 老师应当更注重其中的逻辑过程，可以适当用一些代数的方法将题目讲的更明白和透彻【例1】一个5位数，它的各位数字和为43,且能被11整除，求所有满足条件的5位数.【分析】现在我们有两个入手的选择，可以选择数字和，也可以选择被11整除，但我们发现被11整除性质的运用要有具体的数字，而现在

2、没有，所以我们选择先从数字和入手.5位数数字和最大的为9 >5=45,这样43的可能性只有9, 9, 9, 9, 7或9, 9, 9, 8, &这样我们接着 用11的整除特征，发现符合条件的有99979, 97999 , 98989.【例2】已知ABCA是一个四位数，若两位数AB是一个质数，BC是一个完全平方数，CA是一个质数与一个不为1的完全平方数之积，则满足条件的所有四位数是.【分析】本题综合利用数论知识，因为 AB是一个质数，所以B不能为偶数，且同时BC是一个完全平方数，则符合条件的数仅为16、36,当B1时，满足AB是一个质数的数有11 , 31 , 41 , 61, 7

3、1,时， 此时同时保证CA是一个质数与一个不为1的完全平方数之积，只有3163符合；当B3,满足AB是一个质数的数有13, 23, 43, 53, 73, 83,此时同时保证CA是一个质 数与一个 不为1的完全平方数之积，只有8368符合.专题精讲分解质因数【例1】2001个连续的自然数之和为abed,若a、b、c、d都是质数，则abed的最小值是多少?【分析】遇到等量关系的表述时，先将其转化为数学语言.设这2001个连续自然数中最小的一个是A,则A A 2000 2001A 10002001 A 10003 23 29,贝 UA 1000 是质数，所以 A 的最大的一个是A 2000(遇到多

4、个连续自然数问题，转化时一般均采用假设法，自己需要的量，题目中没有 时，可以设未知数),则它们的和是：2最小值是9. a bed的最小值是：1009 3 23 29 1064.拓展101个连续的非零自然数的和恰好是四个不同的质数的积，那么这个最小的和应该是分析设这101个自然数中最小的数为 a,则101个连续自然数的和为：a+( a +1)+( a +2)+( a +100)=(a+ a+100) M012=( a+50) M01因为101是质数，所以a+50必须是3个质数的乘积，要使和最小.经检验a+50=66=2 3F1最小，所以和最小为66为01=6666.铺垫已知口=口口 口,其中口、

5、。、分别表示不同的数字，那么四位数。口是多少？分析因为口、口工 口 10101，所以在题述等式的两边同时约去口即得Zx口八©10101 .作质因数分解得10101 3 7 13 37,由此可知该数分解为3个两位数乘积的方 法仅有2113 37.注意到两位数匚的十位数字和个位数字分别在另外的两位数和中出现，所以 口=3, 口。=37,=21 .即 0=7, =1 , 口=， =2,所求的四位数是 7132.【例2】N为自然数，且N1, N2、N 9与690都有大于I的公约数.N的最小值为.【分析】690 2 3 523,连续9个数中，最多有5个是2的倍数，也有可能有4个是2的倍数，如果

6、有5个连续奇数，这5个连续奇数中最多有2个3的倍数，1个5的倍数，1个23的倍数，所以必然 有一个数不是2、3、5、23的倍数，即与690没有大于I的公约数.所以9个数中只有4个奇数，这个数中，有2个3的倍数，1个5的倍数，1个23的倍数，则N1、N3、N5、N7、N 9是偶数，剩下的4个数中N 2、N 8是3的倍数(5个偶数当中只有N 5是3的倍数)，还有N4、N 6一个是5的倍数，一个是23的倍数.剩下的可以用中国剩余定理求解, 一个是5的倍数，显然N5约数、倍数23的倍数，另N 5是2和3的倍数，且相邻两个数中一个是 24是最小解，所以N的最小值为19.288,最大公约数是4,甲乙两数不

7、是288和4中的数，那么甲甲乙两数的最小公倍数是 乙两数的乘积为多少？和为多少？【分析】设甲乙两个数为4x, 4y, （X和y都不等于1或72）,则X, y两数互质，于是4x , 4y的最小公28832倍数为4xy,所以xy72, 72 23 32,由于x, y互质，所以2或3不可能在x, y的因子中都出现，所以x, y一个是81个是9,所以两数的乘积等于4y 4x 4 4xy 1152,和为4x4y4 8 968.【例4】有15位同学，每位同学都有编号，它们是1号到15号.1号同学写了一个自然数， 2号说：这个数能被2整除” 3号说这个数能被3整除”，依次下去，每位同学都说，这个数能被 他的

8、编号数整 除，1号作了一一验证，只有编号相邻的两位同学说得不对，其余同学都对，问：说得不对的两位同学， 他们的编号是哪两个连续自然数？如果告诉你，1号写的数是五位数，请求出这个数. 【分析】首先可以断定编号是2, 3, 4, 5, 6, 7号的同学说的一定都对.不然，其中说的不对的编号乘以2后所得编号也将说得不对，这样就与只有编号相邻的两位同学说的不对”不符合因此，这个数能被2, 3, 4, 5, 6, 7都整除.其次利用整除性质可知，这个数也能被2 >5, 3 >4, 2 >7都整除，即编号为10, 12, 14的同学说的也对.从而可以断定说的不对的编号只能是8和9.这个数

9、是 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15 的公倍数,由于上述十二个数的最小公倍数是60060,因为60060是一个五位数，而十二个数的其他公倍数均不是五位数，所以1号同学写的数就是60060.拓展一个两位数有6个约数，且这个数最小的3个约数和为10,那么此数为几？分析最小的三个约数中必然包括约数1,除去1以外另外两个约数和是9,由于9是1个奇数，所以这两个约数的奇偶性质一定是相反的，其中一定有一个是偶数，如果一个数包含偶约数，那么它一定是2的倍数，即2是它的约数于是显然的，2是这个数第二小的约数，而第三小的约数是乙所以这个两位数是14的倍数，由于这个

10、两位数的约数中不含3、4、5、6,所以这个数只能是14或98,其中有6个约数的是98.约数个数定理：设自然数n的质因子分解式如a% a31 -OnPnD . d d I那么n的约数个数为dn1a2 1a31 L an 1自然数n的约数和为SnRa Ra11 L 2 p p 1 R a2 P?321 LP22 P211 Lan 121L Pnan Pnn L R Pn 1【例5两数乘积为2800,而且己知其中一数的约数个数比另一数的约数个数多1 ,那么这两个数分别是【分析】2800 24 52 7 ,由于其中一数的约数个数比另一数的约数个数多1 ,所以这两个数中有一个数的约数为奇数个，这个数为完

11、全平方数.故这个数只能为22、2 52、22 52或2452 .经检验，只有两数分别为24和52 7时符合条件，所以这两个数分别是 16和175.铺垫在三位数中，恰好有9个约数的数有多少个？分析91933,所以9个约数的数可以表示为一个质数的8次方，或者两个不同质数的平方的乘积，前者在三位数中只有256符合条件，后者中符合条件有 100、196、484、676、225、441, 所以符合条件的有7个【例6】两个整数A、B的最大公约数是C,最小公倍数是D,并且已知C不等于1,也不等于A或B, CD 187,那么AB等于多少？【分析】最大公约数C,当然是最小公倍数D的约数，因此C是187的约数，1

12、8711 17, C不等于1,只能是 C11或者C17 .如果C11,那么D 187 11 176. A和B都是176的约数，A和B不能是11,只能是22, 44, 88, 176这四个数中的两个，但是这四个数中任何两个数的最大公约数都不是11,由此得出C不能是 11.现在考虑C 17,那么D 187 17 170, A和B是170的约数，又要是17的倍数，有34 , 85, 170三个 数，其中只有34和85的最大公约数是17,因 此，A和B分别是34和85, A B 34 85 119.【例7】已知A是一个有12个约数的合数，8A、10A有24个约数，12A有40个约数，求15A有多少个约

13、数?【分析】设A 2a 3b 5Cd, d中不含有2、3、5因子，那么A的约数个数有a1 b1 c1 N12LLLL（其中N为d的约数个数）a 48A的约数个数为a4b1 c1 N24,与比较得到2，于是a 2 ,a 13，于是C1, 2c210A的约数个数为a2b1c2N4b1c2N24,与比较c 112A的约数个数为a3b2c1N10b2N 40,与比较得到2,于是b 0 , b1 将a、b、c代入得到N2, 15A的约数个数为a 1 b 2 c 2 N 36.铺垫已知偶数A不是4的整数倍，它的约数的个数为 12,求4A的约数的个数分析将A分解，A2B,其中B是奇数，它的约数的个数为1 1

14、 N12,（其中N为B的约数个数），则4A的约数个数为13N24.【例8】要使12m 9n这个积是65的倍数，并要使mn最小，贝U m _,n【分析】分析题意，为同一个数可以由两种乘积的形式表示关于因数乘积表示形式，类比联系我们所学的知识点：质因数的唯一分解式:Pn、Pl,P2.Pn为质因数,bg.，bn为自则12m则得至I9n 22m 3m 2n 是 6525 35 的倍数，2m 5一 厂m. n为整数，使mn最小,m 2n 5番件完全平方数一【例9】从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？ 【分析】完全平方数，所有质因数必成对出现.72 23 32 2 6 6,

15、所以满足条件的数必为某个完全平方数的2倍，2 31 31 1922 2008 2 32 32 2048,共 31 个.铺垫有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的最小值为. 分析考查平方数和立方数的知识点，同时涉及到数量较少的连续自然数问题，设未知数的时候有技巧设中间数是x,则它们的和为5x,中间三数的和为3x - 5x是平方数,设5x52a2,则22222x5a. 3x15a3 5a是立方数，所以a至少含有3和5的质因数各2个，a至少是225,中间的数至少是1125 .最小数的最小值为1123.【例10】志诚小学三四年级的学生人数比一二年级的学生人数

16、多100人，但比五六年级的学生人数少53人，已知五六年级的学生人数和一二年级的学生人数都是完全平方数，那么志诚中学总的学生人数有多少人？（请写出最现实的答案）【分析】五六年级的人数和一二年级的学生人数都是完全平方数，所以可以设五六年级的学生人数为A2,一二年级的学生人数为B2,贝U153ABAB,而15333 17,所以，AB与A B可能为153和1; 17和9 ； 51和3,由这三个答案得到的A和B的值分别为：77和76, 13和4, 27和24,显然由前两组答案得到的 学校人数不符合现实，所以A 27, B 24为最佳结果此时五六年级的学生人数为729人，一二年级的学生人数为576人，三四

17、年级的学生人数为676,学校的总人数为729 576 676 1981人铺垫能否找到这么一个数，它加上24,和减去30所得的两个数都是完全平方数？分析假设能找到，设这两个完全平方数分别为A?、B2,那么这两个完全平方数的差为54ABAB,由于A B和A B的奇偶性质相同，所以A B A B不是4的倍数，就是奇数，所以54不可能 等于两个平方数的差，所以这样的数找不到【例11】一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个数为 智慧数”比如16= 5232,16就是一个智慧数”那么从1开始的自然数列中，第2003个智慧数”是.【分析】a b = a b a b .因为a b与a b同奇同偶，所

18、以智慧数”是奇数或是4的倍数.对于任何大于1的奇数2nl （ n 1）,当a n 1 , b n时，都有a 有n个自然数相加：123Lnaaa （和恰好是三个相同数字组成的三位数），那么n .【分析】1 23 L n凹耳aaa, n （n 1） 2aaa 2 111 a 2 3 37 a,由于a是个一位数，2n与n 1是两个相邻的整数，只有当a 6, n 36时满足题意，所以所求的n为36. 已知A有12个约数，9A有24个约数，15A有36个约数，5A有多少个约数？ b2 = （n 1） 2n2 = 2n 1,即任何大于1 的奇数都是智慧数”.2222对于任何大于4的4的倍数4n （n 2）

19、,当a n 1 ,b n 1时，都有ab= （n 1） （n 1） =4n .即任何大于4 的4的倍数都是智慧数”除了 1和4以外，非智慧数”都是不能被4整除的33偶数，智慧数”约占全部正整数的2003 -2671,为2672 4 668,加上1和4这两个非44智慧数”，在12672中共有非 智慧数” 668+2=670个），有智慧数” 2672 670=2002（个）.所以 第 2003个智慧数”是2673.【例12】（2008年清华附中入学考试题）有两个两位数，它们的差是14,将它们分别平方，得到的两个平方数的末两位数（个位数和十位数）相同，那么这两个两位数是 （请写出所有可能的 答案）.

20、【分析】（法一）设这两个数分别是a和a 14,则a?与a 14 2两个数的末两位相同，即a?与2a 28al96的末两位相同，所以28al96是100的倍数，a个位只能是3或8 先设a 10k 3,贝ij 28al 96 280k 280,当k 4,9时满足条件，但k9时较大的两位数大于100不合题意再设a10k8,可求得k1, 6时满足条件.所以一共有（43,57）、（18,32）、（68,82）三组答案.（法二）a14 2a2 a 14aa14a 28 a 7,28a7是100的倍数，所以a7是25的倍数，符合条件的a只 有 18、43、68 .1.两个连续自然数的平方和等于365,又有三个连续自然数的平方和等于365,则这两个连续自然数为，这三个连续自然数为.22222【分析】13 14365,所以这两个连续自然数为13、14, 10 1112 365,所以这三个连续自