有理数的乘方及混合运算

1、1.6有理数的乘方及混合运算式子特点也可按大括号、 中括号、小括号的顺序 进行.(3)在运算过程中注意运算律的运用.【典型例题】【学习目标】1 .理解有理数乘方的定义；2 .掌握有理数乘方运算的符号法则，并能 熟练进行乘方运算；3 .进一步掌握有理数的混合运算.【要点梳理】要点一、有理数的乘方定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方， 乘方的结果叫做哥(power).类型一、有理数乘方1.把下列各式写成哥的形式:(1)即有:an.在an中，a叫做底数，n叫做指数.要点诠释：(1)乘方与哥不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，哥是乘方运算的结果.(2)底数一定是相同的因数，当底数不 是单纯的一个数

2、时，要用括号括起来.(3) 一个数可以看作这个数本身的一次方.例如，5就是51,指数1通常省略不写.要点二、乘方运算的符号法则(1)正数的任何次哥都是正数；(2)负数的奇次哥是负数，负数的偶次哥是正数；(3) 0的任何正整数次哥都是 0; (4)任何一个数的偶(2)(- 3.7) X (- 3. 7) X(-3. 7) X(- 3. 7) X5X5；(3) xxxxxxyy.【答案与解析】(1)22225555指数底数42 455(2)(- 3.7) X (- 3.7) X (- 3. 7) X (- 3. 7) X 5X5=(- 3.7)4X52；6 2(3) xxxxxxyy x y【总结

3、升华】 乘方时，当底数是分数、负数时,应加上括号次哥都是非负数，即 以之0 .(D ( 4)3(2) 43(3)要点诠释：(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘 除运算一样，首先应确定哥的符号， 然后再计算 哥的绝对值.(2)任何数的偶次哥都是非负数.要点三、有理数的混合运算有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘 除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行； (3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、 中括号、大括号依次进行.要点诠释：(1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行 运算，加减法是第一级运算， 乘除法是第二级 运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算； (2)在含有多重括号的

4、混合运算中，有时根据(3)4(4)343 33533 (6)5(2X3) 22(8) 2X3【答案与解析】3(1) ( 4)( 4) ( 4) ( 4)64 .3(2) 434 4 464 .(3)_ 4-一(3) ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) 81.0；结一4一 一 一 一一33 3 3 381 .3333327(5)5555125272o(2 3)62 36;(8) 2X32 2 9 18-(-2) 2010【答案与解析】根据乘方的符号法则直接判断，可得：(-2)7运算的结果是负；(-3) 24运算的结果55为正；(-1. 0009)2009运算的结果是负；- 运3算的结果是正；

5、-(-2) 2010运算的结果是负.【总结升华】“一看底数，二看指数”，当底数是 正数时，结果为正；当底数是 0时，结果是 当底数是负数时，再看指数，若指数为偶数, 果为正；若指数是奇数，结果为负.n .n【总结升华】(a)与 a不同，(a)n 1 加北/)4g4 43a 而n【变式】(南充)计算：(-1) 2009的结果是A. -l B. 1 C. -2009【答案】A类型三、有理数的混合运算(D.).20094. 计算an 114 g 4 43a表示a的n次幕的相n反数.举一反三/， c 1C1- 1- 0.5X- X 232-31 】计算：(1)(- 4)43(2)2(3) 2 2(2)

6、 -14(4)(- 1.5) 21x 22 -63-3-2(3) 5253(-0.1)(-0.2)2+1-23|(4) (-1.5)2=(-1.5) X(-1.5)=2.25【变式2】比较(-5) 3与-5 3的异同.【答案】相同点：它们的结果相同，指数相同；不同点：(-5) 3表示-5的3次方，即(-5) X (-5) X (-5) =-125 ,而-5 3表示5的3次方的相反数， 即-53=-(5 X5X5).因此，它们的底数不同， 表示的意义不同.【答案与解析】(1(16)法7)法6(7)=(1 1类型二、乘方的符号法则.不做运算，判断下列各运算结果的符号.=-1-3)22-(29)-2

7、7=-1-原(7) i原1 2义 29 =-6工,35655(- 2)7, (- 3) 24 , (- 1.0009) 2009 ,311、,-)X(-24)-1-8 =-32-3+66-9=22【答 案】 (1)(- 4)4=(- 4) X (- 4) X (- 4) X (-4)=256;(2)23=2X 2X2=8112011(13 /-2.75) X(-24)+(-1)原式11-+|-8 - 3|-0.0010.04 = -1000-25+11 =-1014【总结升华】有理数的混合运算，确定运 算顺序是关键，细心计算是运算正确的前 提.举一反三：1C【变式1】计算：14 (1 0.5)

8、 2 ( 3)23案】 原 式111-(2 9)1-(7)1 -3 66，1c【变式2】计算：(2)4 ( 4)112【答 案】 原 二11116 ( 4)116124 4 4Q 5.( 2 ) 2003 ( 2 ) 2004( )(A)2(B) ( 2)4007(C)22003(D)22003逆用分配律可得2003200420032003、(2)( 2)(2)1( 2)( 2),所以答案为：C【总结升华】当几项均为哥的形式，逆用分配律 提出共同的因数时，要提指数较小的哥的形式【变式】计算：(3 r【答案】(3)73)7( 4)743(4)7 ( 4) ( 3)7类型四、探索规律C 6.你见过

9、拉面馆的师傅拉面吗？他 们用一根粗的面条，第1次把两头捏在一 起抻拉得到两根面条，再把两头捏在一起 抻拉，反复数次，就能拉出许多根细面条， 如下图，第3次捏合抻拉得到 根 面条，第5次捏合抻拉得到 根面 条，第n次捏合抻拉得到根面条,要想得到64根细面条，需 次捏合抻 拉.第 1 次 第2次第3次7 哈案】8; 32;2n; 6【解析】由题意可知，每次捏合后所得面 条数是捏合前面条数的2倍,所以可得到：第1次：21 2;第2次：22 4;第 3 次：23 8;；第 n 次：2n.第3次捏合抻拉得到面条根数：23,即8 根；第5次得到：25,即32根；第n次捏 合抻拉得到2n ;因为26 64

10、,所以要想得到64根面条， 需要6次捏合抻拉.【总结升华】解答此类问题的方法一般是：从所 给的特殊情形入手， 再经过猜想归纳，从看似杂 乱的问题中找出内在的规律，使问题变得有章可 22003.举一反三：【变式】(2009 肇庆)已知21 = 2, 22 = 4, 23 =8, 24= 16, 25 = 32,，观察上面的规律， 试猜想22008的末位数字是.【答案】6【巩固练习】一、选择题1 .下列说法中，正确的个数为().对于任何有理数my都有m20;对于任何有理数 m,都有吊=(、2m);2,-4, 8, -16, 32, -64,对于任何有理数(m n)20；对于任何有理数 m都有m3=

11、( m)3.A. 1 B . 2 C . 32.下列说法中，正确的是()A. 一个数的平方一定大于这个数；B . 一个数的平方一定是正数；C. 一个数的平方一定小于这个数；D . 一个数的平方不可能是负数.3.下列各组数中，计算结果相等的是().A . -23 与(-2)3 B . -22 与(-2)22 o , 22C. (-)2 与-D.( 2)与 | 2552. 一个数的平方等于它本身的数是数的立方等于它本身的数是D. 0 3.3；251 322=； 354.(3)3 32 ( 2)3 25.13 ,1 3 54 .式子的意义是()5A. 4与5商的立方的相反数B.4 的立方与5的商的相

12、反数C.4的立方的相 反数除54 一 、D. -的立方55 . (2010浙江杭州)计算(-1)2+(- 1)3=()A. -2 B. - 1C. 0 D. 26 .观察下列等式：71=7, 72 = 49, 73=343, 74 = 2401, 75= 16807, 76 = 117649由此可判断 7100的个位数字是().A. 7 B. 9C. 3 D. 17 .一根1米长的绳子，第一次剪去一半，第二 次剪去剩下的一半，如此下去，第6次后剩下的 绳子的长度为().56B.1米 C.1米22D.一 米2二、填空题1 .在(-2)4中，指数是,底数是,在-23中，指数是,底数是1 3 5 7

13、 ,从而猜想：1 3 52005 2.1 26. ( 21)2 3三、解答题1 .计算下列各式：(1)- 23+(3-6) 2-8X(- 1)4;2(2) ( 3)3 2-4 221 ;433(3) ( 5)110,8 ( 2.25) 7 ;(4) 18 1.45 6 3.95 6 9 6 182.已知x的倒数和绝对值都是它本身，y、z是有理数，并且|y 3| (2x 3z)2 0 ,求5x 2yz 皿土一3/一的值.x y 53.探索规律：观察下面三行数，-2,-8,4,-20,28,-68,-1,2,-4,8,-16,32,(1)第行第10个数是多少？(2)第行数与第行数分别有什么关系？(

14、3)取每行第10个数，计算这三个数的和.【答案与解析】一、选择题1 .【答案】B【解析】错：当m为。时，不满足；对； 错：次数为3,互为相反数的两个数的奇数次 方的结果也互为相反数.2 .【答案】 D【解析】一个数的平方与这个数的大小不定，一， 212112例如：242；而(万)-；00,从而A, C均错；一个数的平方是正数或 0,即非负数， 所以B错，只有DX.3 .【答案】A【解析】-23=-8, (-2) 3= -8.4 .【答案】B43 , 一 【斛析】一表小4的立方与5的商的相反5数5 .【答案】C【解析】(- 1)2=1, (- 1)3=- 16 .【答案】D【解析】个位上的数字每

15、 4个一循环，100是 、_25.【答案】1003【解析】1 3 221 3 5 7 42,从而猜想：每组数中，右边的哥的底数a与左边的最后一个数n的关系2005 (1 200522)1003 .254 91 2(2-)(23解1)2(f)2析499三、解答题1.【解析】(1)- 23+(3-6)2-8X (- 1)4 = -8+9-8=-7;(2) ( 3)3(3)( 5)24221630;1270.8 (2.25)(4) - 59 62181；181.456 3.95 64的倍数，所以7100的个位数字应为1.7.【答案】C二、填空题1 .【答案】4 , -2 , 3 , 2,2,2【解析】依据乘方的定义解答2 .【答案】0,1 ; 0,1,-1;1 43 .【答案】3,-32,27 51415 22.51 15 16 .2.【解析】因为x的倒数和绝对值都是它本身,所以 x=1,又因为 |y+3|+(2x+3z)2=0, y+3 = 0 且 2x+3z = 0.所以y=-3.5x 2yz-2Zx y 5所以当x= 1时,2x+3z = 0, z5 2(3)2 八、一代入得：34.【答案】-27, 72313 ( 3)2 51 9 533.【