期末复习(静电学部分)之大题整理00-12

1、圆筒间任一点的电场强度为则两圆筒的电势差为 U解得ER2E drR120 rr20 rUlnR2R1于是可求得A点的电场强度为EaURln(R2 /R1)lnR20 rR112A 4 （1182）（本题 10 分）一电容器由两个很长的同轴薄圆筒组成，内、外圆筒半径分别为R1 = 2 cm , R2 = 5 cm ,其间充满相对介电常量为r的各向同性、均匀电介质.电容器接在电压U = 32 V的电源上，（如图所 示）,试求距离轴线 R = 3.5 cm处 的A点的电场强度.4：解：设内外圆筒沿轴向单位长度上分别带有电 荷+和，根据高斯定理可求得两=998 V/m 方向沿径向向外11A4. (13

2、74)(本题 10 分)一半径为R的带电球体，其电荷体密度均匀分布，总带电 量为q.试求：（1）球内、外各点的电场强度；（2）球内、外各点 的电势.4解：（1）在球内作一半径为r1的高斯球面,按高斯定理有413-q433313 qr在球体外作半径为（3）球内电势R5EiE1qr14oR3r2的高斯球面，按高斯定理有drRE2E2q2o2qr4 oRR3(riWR),(r2 >R),3 drE1方向沿半径向外.q/ oE2方向沿半径向外._q_R 4 or3qqr；oRq8 oR23R2r1 R球外电势U2RE2r2r2 4q2 orq4 Or2r2R10A4 (1519)(本题10分)图

3、示为一个均匀带电的球层,其电荷体密度为,球层内表面半径为R1,外表面半径为 R2.设无穷远处为电势零点，求空腔内任一点的电势.ROR4解：由高斯定理可知空腔内E = O,故带电球层的空腔是等势区，各点电势均 为U .在球层内取半径为r-r + dr的薄球层.其电荷为dq = 4 r2dr该薄层电荷在球心处产生的电势为dUdq/40r rdr/02 分整个带电球层在球心处产生的电势为R299一八Uo dUo rdr R22 Ri23 分0 R2 o因为空腔内为等势区所以空腔内任一点的电势U为U U 0 R22 Ri23 分2 0若根据电势定义U E dl计算同样给分.09A如图所示，一内半径为a

4、、外半径为b的金属球壳，带有电荷Q, 在球壳空腔内距离球心 r处有一点电荷q.设无限远处为电势零 点，试求：(1)球壳内外表面上的电荷.-q,外表面上带电荷 q+Q.(2)球心O点处，由球壳内表面 上电荷产生的电势.(3)球心。点处的总电势.4解：(1)由静电感应，金属球壳的内表面上有感生电荷O点的(2)不论球壳内表面上的感生电荷是如何分布的，因为任一电荷元离 距离都是a,所以由这些电荷在 O点产生的电势为dq40a 40a(3)球心O点处的总电势为分布在球壳内外表面上的电荷和点电荷产生的电势的代数和3分Uo Uq U q Uq qq q Q q q 111 Q ( ) 40r 40a40b4

5、0 r a b 40b08级A4. (1653)(本题 10 分)cm300电荷以相同的面密度 分布在半径为 门=10 cm和r2= 20 的两个同心球面上.设无限远处电势为零，球心处的电势为U0= V.(1)求电荷面密度 .(2)若要使球心处的电势也为零，外球面上应放掉多少电 荷？0=8.85X10-12 C2/(N . m2)Uo1 生曳40r1r2解：(1)球心处的电势为两个同心带电球面各自在球心处产生的 电势的叠加，即2214 r14 r24012r1r23 分oU = 8.85X 10-9 C / m22 分r r2(2)设外球面上放电后电荷面密度为，则应有.1U 0 一12 = 0

6、0r2外球面上应变成带负电，共应放掉电荷22riq 4 r24 r 21 242i 24 。52 =6.67X 10-9 C08B 4.（本题 10 分）（1866）两个同心的导体球壳， 半径分别为 R = 0.145 m和R2=0.207 m, 内球壳上带有负电荷 q=-6.0X10-8 C. 一电子以初速度为零自 内球壳逸生.设两球壳之间的区域是真空，试计算电子撞到外 球壳上时的速率.（电子电荷 e=-1.6X 10-19 C,电子质量 me= 9.1 X10-31 kg, 0=8.85 X10-12 C2 / N m2）解：由高斯定理求得两球壳间的场强为E 二 R1方向沿半径指向内球壳.

7、rR2电子在电场中受电场力的大小为F eE 受 40r方向沿半径指向外球壳.2分电子自内球壳到外球壳电场力作功为R2eqR2 d rA F dr-eqrR14 0 R1 r 2eq11eqR2 R1M 二 2 分40R1R240R1R22 刀1 2 eq R2 R1由动能定理2mev-丁丁2分2 40 R1R2eq R2 R1得到 vrTo = 1.98X 107 m/s 2 分20 R1 R2me073. (1010)(本题 10 分)带电细线弯成半径为 R的半圆 形，电荷线密度为=0sin ,式中0为一常数，为半径R与x 轴所成的夹角，如图所示.试求 环心。处的电场强度.解：在 处取电荷元

8、，其电荷为dq = dl = 0Rsin d它在O点产生的场强为dq 0 sin dd E740R240R在x、y轴上的二个分量dEx=dEcos1 分dEy= dEsin1 分对各分量分别求和Ex 0- sin cos dEy0. 2sin d40R 008 0Rx 4 0R 002分8 oR4. (1653)(本题 10 分)电荷以相同的面密度 分布在半径为 门=10 cm和2=20 cm 的两个同心球面上.设无限远处电势为零，球心处的电势为Uo= 300 V.(1)求电荷面密度.(2)若要使球心处的电势也为零，外球面上应放掉多少电 荷？0=8.85X10-12 C2/(N . m2)解：

9、(1)球心处的电势为两个同心带电球面各自在球心处产生的 电势的叠加，即2, 2L 2组 14r14 r2U0/40r1r24。 r1211123 分0U 0 0r r =8.85X10-9 C / m22 分r1r2(2)设外球面上放电后电荷面密度为，则应有U 0 r1r2 = 00即-2外球面上应变成带负电，共应放掉电荷q 4 r224 r22 1 以24r2 r1 r24 0U0r2 =6.67x 10-9 c06A 4.（本题 10 分）（1025）电荷面密度分别为十和一 的两块“无限大”均匀带电平行平面， 分别与x轴垂直相交于X1 = a, X2=a两点.设坐标原点 O处 电势为零，试

10、求空间的电势分布表示式并画由其曲线.-十T> X-a o +a4.解：由高斯定理可得场强分布为：E =- / 0（avxva）E = 0（一0°vxva , avxv+0°由此可求电势分布：在一0°v xwa区间0a0U Edx 0dx dx/ 0 a/xxa在一a<x< a区间02分0d xx00U Edxx在a<xv0°区间0a0Edx0d xd xxxa0006B 4.（本题 10 分）（1521）图示一个均匀带电的球层， 其电荷 体密度为 ，球层内表面半径为 Ri,外表面半径为 R2.设无穷远 处为电势零点，求球层中半径为

11、r处的电势.解：r处的电势等于以r为半径的球面以内的电荷在该处产生的电势Ui和球面以外的电荷产生的电势U2 ,其中U2之和,U= Ui +Ui=qi / (4 or)4 /3 r3 R34 or为计算以r为半径的球面外电荷产生的电势.在球面外取rdq=r 2d r> r +dr的薄层.其电荷为 它对该薄层内任一点产生的电势为dU2 d q/ 4 orU2 dU2r dr / 0R2 r d r r0于是全部电荷在半径为r处产生的电势为U U1U2r2123o 03R1R； r2 2 02R3 r r若根据电势定义直接计算同样给分.054.（本题 10 分）（1866）两个同心的导体球壳，

12、半径分别为Ri = 0.145 m和R2= 0.207 m,内球壳上带有负电荷q=-6.0X10-8 C. 一电子以初速度为零自内球壳逸生.设两球壳之间的区域是真空，试计算电子撞 到外球壳上时的速率.（电子电荷e =-1.6X 10-19 C,电子质量 me= 9.1X10-31 kg, 0=8.85X10-12 C2 / N m2） 4.（1866）（本题 10 分）解：由高斯定理求得两球壳间的场强为q20rR1 rR2方向沿半径指向内球壳.电子在电场中受电场力的大小为F eE已方向沿半径指向外球壳.电子自内球壳到外球壳电场力作功为ReqR2 d rA F d r eq - eq 11eq

13、R2 RR14 0 R1 r2 二 A R24 oR-1 2 eq R2 Ri由动能定理-mev-丁丁2分2 40 R1 R2得到v J：q R2J = 1.98X 107 m/s 2 分,2 oRme043 .（本题 10 分）（1011）半径为R的带电细圆环，其电荷线密度为 =0sin ,式中0 为一常数， 为半径R与x轴所成的夹角，如图所示.试求环心。处的电场强度.dE d fdq= dl,它在。点产生的场强为:3分它沿x、y轴上的二个分量为:dEx= dEcos dEy= - dEsin对各分量分别求和cos2 d =40R 0 4 0REy4 oR 0sind(sin )故O点的场强

14、为:E Exi xi 4 0R4 .(本题 8 分)(1651)如图所示，一内半径为 a、外半径为b的金属球壳，带有电 荷Q,在球壳空腔内距离球心 r处有一点电荷q.设无限远处为 电势零点，试求：(1)球壳内外表面上的电荷.(2)球心O点处，由球壳内表面上电荷产生的电势.(3)球心。点处的总电势.解：(1)由静电感应，金属球壳的内表面上有感生电荷-q,外表面上带电荷q+Q.(2)不论球壳内表面上的感生电荷是如何分布的， 因为任 电荷元离O点的距离都是a,所以由这些电荷在 。点产生的电势为dq4 0aq40a(3)球心O点处的总电势为分布在球壳内外表面上的电荷和点电荷q在。点产生的电势的代数和U

15、。 Uq U q Uq qq q40r 40aQ q40bQ40bq 111(-4 0 rab033 (1024-8)有一电荷面密度为的“无限大”均匀带电平面.若以该平面处为电势零点，试求带电平面周围空间的电势分布.解：选坐标原点在带电平面所在处，x轴垂直于平面.由高斯定理可得场强分布为E=± / (2 0)(式中“ + ”对x>0区域,“”对xv0区域.平面外任意点x处电势：在xW0区域0U Edxx在xA0区域x 2T0U Edxxd xx 2 04 (1531)两个同心金属球壳，内球壳半径为Ri,外球壳半径为R 2,中间是空气，构成一个球形空气电容器.设内外球壳上分别带