机械动力学第二章作业(答案)

1、机械动力学第二章作业（答案）-标准化文件发布号：（9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII第二章习题2-1如图2-1所示，长度为L、质量为，的均质刚性杆由两根刚度为攵的弹簧系住，求杆绕。点微幅振动的微分方程。解：设系统处于静平衡位置时势能为0,当杆顺时针偏转。角时动能：T = -J6> =-022 3势能：V = 22（sin 夕）2 +mg -（1-cos）2 22由能量守恒原理，得I（r+v）=o at化简得目8+（超+勺夕=03 2L 2）2-2如图2-2所示，质量为 ？、半径为广的圆柱体，可沿水平而作纯滚动，它的圆心。用刚度为攵弹簧相连，求系统的

2、振动微分方程。图21图2- 2解：设系统处于静平衡位置时势能为。，当杆顺时针偏转。角时1 .2 1 （ . 21动能：T =Je+ 用 r0 J = -mr22 2）2势能：V = -k（r0）22由能量守恒原理，得且（r+v）= odt化简得:We+ke = o 23如图2.3所示，质量为？、半径为R的圆柱体，可沿水平而作纯滚动，与圆心°距离为处用两根刚度为k的弹簧相连，求系统作微振动的微分方程。解：设系统处于静平衡位置时势能为0.J=-mR22动能：t2 2 )势能：V = 1(2k)(R + )e/2由能量守恒原理,得一(T + V) = O dt3 a化简得:一加六6+ 2k

3、 (R +幻2 6 = 0224求图2-4所示弹簧-质量-滑轮系统的振动微分方程(假设滑轮与绳索间无滑动)。解：设系统处于静平衡位置时势能为0动能：T = Lj82+_L/e1 9J =-Mr2 22 )2势能：7 = '.kQ6)22由能量守恒原理，得(r + v)= o dt其中，x = r&x = r8X/I化简得：(? H) x+ kx = 022- 5质量可忽略的刚性杆-质量-弹簧-阻尼器系统参数如图2-5所示，4杆处于铅垂位置时 系统静平衡，求系统作微振动的微分方程。设系统处于静平衡位置时势能为0,当杆顺时针偏转6角时1.1.1动能：T = 一im（Li。）? +

4、-m2（L2+ m3KL3 + L222势能：V = -+ La）0 2-/H2/2（l - COS 0）2i .耗散能:W = Jc.（心行df0由能量守恒原理，得幺（r+v+w）= odt化简得：?/ +miL22 + myLy + LaY 0+ cLv 0+kL + LaY miglijO = 0 2.6系统参数如图2.6所示，刚性杆质量可忽略，求系统的振动微分方程.图2- 5图2- 6解：设系统处于静平衡位置时势能为01.21/. 21动能：T = _J6+ _ M+T汕se）2,22 I J 2势能：7 = Lki（二8）2+Lk2（n8）22 h 2由能量守恒原理，得“（r + v

5、）= odt2化简得：” +M6 +mr2 ）6+（匕3"2' +2r22 ）6 = 0 2-7试用能量法确定图27所示系统的振动微分方程。（假定图示位置是图示 位置是系统的静平衡位置）解：设系统处于静平衡位置时势能为0,当杆顺时针偏转6角时1.2动能：T = (mia2 +m2a2) 2势能：V = (m2 7ni)g . cos a a(l- cos 0)由能量守恒原理，得d(r+v)= o dt9： 6很小,sin6* 8化简得：nna + mia 8+ (m2 一 "，)g cos a 8 = 02-8试确定图28所示串并联弹簧系统的等效刚度。解.：弹簧1、

6、2并联，和弹簧3串联，则等效刚度为：1 _ 11 _ k + k2 + ky_ (k + ki)k3=+ -. Ke =ke k+ki ka k3(ki + k»ki + ki + ka2- 9求跨度为L的均匀简支梁在离支承点3处的等效刚度系数。解：根据材料力学公式，均匀简支梁上处扰度：3r L 2L尸占三9-(主丫-化6LEI 3 ) 13 J 243EZ等效刚度为：匕=£=生孕y 4FL2-10系统参数如图29所示,刚性杆质量可忽略，求系统对于广义坐标x的等效刚度。解：对小车次沿工方向施加作用力尸,使小车产生位移 X。则弹,近伸长弹簧上伸长以，巾。小车受力F = F13

7、s a + E二其中芭=.fcjxcosaF2b = Fa = l&at /=>所以等效刚度T用=产/父=&cosJ a +用排/力2-11 一质量为J长度为L的均匀刚性杆，在距左端。为L处设一支承点，如图210 所示。求杆对。点的等效质量。解；设弓单簧机以速度上发生变形，则杆的质心的运动 速度为 亍_争一过_1一2M.1A - AnL In于是系统动能:x2 12，.地 /212如图211所示，悬臂梁长度为L ,弯曲刚度为耳，质量不计。求系统的等效刚度和 等效质量。举费心转动 覆费心平动而等效系统的动能：、由=6得现=初1解：当悬臂梁在自由端受到弯曲力那寸,自由端的 位

8、移为工=三,所以悬臂梁自由端的等效刚度为T _3E1v而系统的等效刚度相当于悬臂梁的等效刚度与强箸E串联竭 _ 3EIk上+电系统的等效质量L2-13如图212所示，固定滑车力学模型中，起吊物品质量为济，滑轮绕中心。的转动惯 量为,。，假定绳索与滑轮间无滑动，求系统的振动微分方程。15e k'R (k + k2)r2 0解：设洲的位移为;V,向下为正：Jo的转角为仇 顺时针为正。并假设酸（使弹簧品伸长）。则弹簧片受到的拉力为T =kx-0R）弹簧后受到的拉力为T2= k/R对滑轮利质量块分别进行受力分析：J 酒= T、R-7?R= Jad = k.xR-k.GR1 -k28R2=>

9、; mx + xkR = 0-.注：没有写重力项和弹簧静伸长，因为于是微分方程：网=",两项可抵消。（参见习题2-5）2-14用视察法建立图2-13所示链式系统的振动微分方程。简要说明必须注意的问题。1 2 1 图 2-13解：微分方程为町 0侔g0 m2 x2 J c%)d叫叫匕p图 2-14图 2-15、w、'、w' wj可等: 1-2连接mi和m 2之间的与人相连上:有弹簧所有弹雷的负数f 国+恒江& £顼俨=0 q x2 L -k3 电+%1E对角阵对称阵2-15绳索.质量系统的参数如图214所示，设质量 用刚度法建立系统作微振动的微分方程。

10、解法二：(刚度法)把他和啊竖直不 方向的位移作为广义坐标，向下为 1 正。使叫产生竖直向下的单位位移，不 机2位置不变，需要对四和小2施加的 竖直向下的力，即为刚度系数和今 七1。72Tsin =,=竺力sin 夕产 1 / L j11 LT sin 6.鼠JT.12沙=幺 上sin 6 « 1/ L JL同理，使蜂产生竖直向下的单位位移， 人12和左22 °于是微分方程72ml Olp一。JUj L-i与叫相连的对称阵所有弹簧=24各段绳索中的张力均为了，试_(J)_1Mh%位置不变，得刚度系数T卜 1 0< =。21工2,J = J 2 = J于是微分方程：J0注

11、，还可以用 刖度法列方科2-16如图215所示系统中，乂=七=公=大，犯=m2=m t=r2 = 求系统的振动微分方程。解：设4和4分别沿顺时针方Z 向旋转了必和即则弹簧内力彳 分别为（均为拉伸）:f2耳二廊,6=&（如+触），4=烟和1和，2受力分析:朴-他,4川3+如）工J202 =-为（R + & J 72 - 螭 r2 , r2图 2-162-17行车载重小车运动的力学模型如图2.16所示，小车质量为叫， 所受到两根刚度为攵弹簧的约束，悬挂物品质量为,悬挂长度为 L摆角8很小,求系统的振动微分方程。WM解；以吗水平方向的位移和吗的摆角为广彳MW卜义坐标。'E由于

12、他相对吗的速度为L0,码的速度 （即牵连速度）为小故吗的绝对速度为7<92L2 + i2+2i0Lcos0势能为系统的动能为T -yix +工牲户/? +i2 + 2i£cos0 22U =-（kJrk）x1 +gL（l-cos） 2令L = TU,列Lagrange方程:dtydx J色闵方程化简为些二。dx三二0 80dL/dx = m1 + mz）x+m9LcQS03L/ dx = -2kxdL! dO = -m2gL sin 0 tn2x0L sin 0 dL! dO = mpl + m2xL cos 0（机1 +机2卜+m2九cos。一加22乙51!10 +2Ax=0

13、 mOLr + m2 辽 cos 0 -机 2 MLsin 0 。+ 根 2 '/ sin 0 + m2gLsin 0 = 0略去82高阶项，且sinepacos，Bl,方程可化简为（机+ 加 2）£ + m2乙。+ 2kx = 0in? 0 + 机2& + m2gL 9 = 0于是微分方程：+ m2 m2L2k 0m2L m2l3 00 m2gLj 62-18离散化振动系统力学模型由哪些元件组成?质量元件、弹性元件、阻尼元件2-19实际系统离散化的依据是什么？用课外的实例举例说明,简化的程度取决于系统本身的复杂程度、外界对它的作用形式和分析结果的精度要求等（以下20

14、-26题请用拉格朗日方程建立系统运动微分方程）2-20图27所示系统中，轮A沿水平而纯滚动，轮心以水平弹簧联于墙上，质量为 的物块C以细绳跨过定滑轮B联于点A。A、B两轮皆为均质圆盘，半径为R，质量为团2。弹簧刚度为匕质量不计。当弹簧较软，在细绳能始终保持张紧的条件下，求此系 统的运动微分方程。解：此系统具有一个自由度，以物块平衡位置为原点，取r为广义坐标如图n以平衡位 置为重力零势能点，取弹簧原长处为津性力零势能点，系统在任意位置X处的势能为V=+ j）2 - mtgjc其中徐为平街位置处弹簧的伸长量3由运动学关系式,当初块速度为上时,轮B角速度为 左依,轮A质心速度为二角速度亦为此系统的动

15、能为T=：m?+；叫？ +住）=（仁+ ：仁）？系统的动势为L = T - V =（蛆 + ：m1 ）工2 -（ So + x ）2 + gx代人拉格朗H方程.等偿）嚼=。得（25z + m ）工 + 6$. + ix - m j g = 0注意到=她系统的运动微分方程为（2% +叫丘+匕=02-21在图218所示的运动系统中，重物“I的质量为巧,可沿光滑水平面移动：摆锤 “2的质量为“2,两个物体用无重杆链接，杆长为人 试用第二类拉格朗日方程建立此 系统的运动微分方程。图 2-1828(a)(b)T = 2%孙9m式工：+<) = ；(如 +加z丘：+例3-8仍以例3-6为例，该问题也

16、可以用第二类拉格朗日方程来求解。选工B和夕 为广义坐标,则有*=0,12=工一/4”，y2 - Zcos f 将式(a)两端对时间求导数，律,I =0， r2 =X| - /geos 中. y】=一 If sin 牛系统的动能为选质点Mt在最低处时的位置为系统的零势能位置，则系统的势能为 丫=如/(1 -cos 午)由此得)X| - m2 /cosajc aj, TT0 =( m坊 az.=(E + mj)x| - mjZcos 旷0+ m2/sin 中«q，T=。dX|3T_. 汗“,J- - mz /fUTgSin - = mzl 夕-m24rleosgd d7Tdfp=m2/(

17、/-co5 中上i +X|Sin j)c av.Q. 55 一 而二一m2x/sin 中把以上结果代入拉格朗日方程中网(mt > m2)X| - m2 Zcos > m: /sin ,=0(4一o» p'ii ”.n 夕夕)f>如架质点M,镁动很小.可以近ft1地认为Wn中aq.M夕Rl.且可以忽略含，fQiif的育 阶小最上式可改写为从以上的式中消去，一得到这是自由振动的it分方程.其修为p= Amn(art r 9)因有角菽率为摆动冏期T =如果则质点M(的位移”.将很小质点Mt的摸幼周期稗0于普通单氓的局若将式(e)代入(d)潜到(h) m2川=.有即

18、将式(f)代入可见质点Mj沿”方向也作自由振动，可以悔例36的培果与例3 8进行对比，样(.).(1)两式代入例3-6中式(g)的第4式,当M接动祖小时,sin夕%分.om,且可电愈4含/和忏的高阶小量,得到I -3产。代入例3-6中式(g)的第3式，并注意少=0.得到(k)由本例中的式(a)- Xt - x1ctanc =代人式(k)得到与式(h)同悻的结果。2-22运用拉格朗日方程推导单摆的运动微分方程(如图219)。分别以下列参数为广义坐 标：(1)转角9： (2)水平坐标X; (3)铅直坐标。(1)以。为广义坐标，则系统T = -ml2.(p22V =7K/(1-COS (p)L =

19、T-Vd (叼 0L代入拉格朗日方程7 -= 0dtd(p) d(p得运动微分方程/0+gsino = O(2)以X为广义坐标，约束方程厂+ y-=卜对上式时间求导2x土 + 2 yy = 0,即1= y贝 ljT=1 加(±2 + y2) =2 ,7 2l2-x-V = mg(/ y) = mg (/ yjl2 -x2)将L = TV代入拉格朗日方程得3/2 (尸+gX(/2 -X2)2 =0(3)以y为广义坐标，同样有约束方程/ + 丁 =广 2有T 二 "/= mg (/ - y)2 l y将L = T - V代入拉格朗日方程得l2 (/2-y2)»y +

20、yy2-g(/2-y2)2 =02- 23斜块A的质量为"，在常力F作用下水平向右并推动活塞杆BC向上运动：活塞与 杆BC的质量为“，上端由弹簧压住，弹簧的刚度系数为4。运动开始时，系统静止，弹 簧未变形。见图220,不计摩擦，求顶杆BC的运动微分方程。2-24质量为"。的均质杆0A长为乙 可绕水平轴0在铅垂面内转动，其下端有一个与基座 相连的螺线弹簧，刚度系数为,当夕=°时，弹簧无变形。0A杆的A端装有可自由转动的均质圆盘，盘的质量为'"2,半径为，在盘面上作用有矩为加的常力偶，设广义坐 标为。和6,如图2.21所示。求该系统的运动微分方程。T

21、 1/1 P1 厂印 1系统的动能7 二不ml e +m2l e +- z J 7 zz卜 2(1)1m2广义坐标。对应的广义力Qq=M(2)(1 、Qe =-k6+ 一町 +% g/sinS(3)代入拉格朗日方程= 2，i = 0,夕将（1） （2） （3）代入（4）式，得m1r2(p = M 2 -< ) >-mA + in2 l20 + k0-、3>-+ m2 ；g/sin6 = 012)2-25设有一个与弹簧相连的滑块A，其质量为“，它可以沿光滑水平面无摩擦的来回滑动,弹簧的刚度系数为在滑块A上又连接一个单摆，如图222所示。摆长为/, B的质量为m2 ”列出该系统的

22、运动微分方程。系统动能T = mx2 +m2(£2 +(p2l2 +2/办cos 8)22系统势能V = kx2 - m2gl cos (p22(x2 + <p2l2 + 21(j)x cos(p)-kx2 +m2gl cos (p 2拉格朗曰函数L = T-V = m.x2 +m 22将上式代入拉格朗曰方程d 5L =()力的J西谷 (町 +)x + rnJipcQS(p-m2l(p2 sin(p + loc = 0化间行 一 -Xcos 9+/©+g sin 9 = 0当?为小量时，cos0口l，sin0一必 略去高阶小量/项，有(町 + m2)x + m2l(p

23、 + kx = O龙+ /0 + g0 = O2- 26图示直角三角块A可以沿着光滑水平面滑动。三角块的光滑斜而上放置一个均质圆柱体B,其上面绕有不可伸长的绳索，绳索通过滑轮C悬挂一质量为的物块D，可沿三角 块的铅直光滑槽运动。已知圆柱B的质量为27,三角块A的质量为3” , 8=30°。设 开始时系统处于静止状态，滑轮C的大小和质量略去不计。试确定系统中各物体的运动方 程。图 2-231图 2-23图 2233解：系统动能mr1 <p2 +(2m)(x2 + ()- -2x(，-)cos6)2/2r = ；(3?)M +/?(*")+；35=；，炉 + 3/ni2

24、+ mr2g)2 - 2mry(p-小"谈 + 'J3mrx(p系统势能V = -mgy + 27g ( y - 0/j sin 6 = mgrcp把拉格朗日函数L = T-V代入拉格朗日方程d( dL cL 八.-r - -= 0j = x,y 力【的J西化简得6x-y/3y + y/3r = 0 后-3»； + 29 = 0V3x-2y + -1r = g解得：2褥x =8336产1TgHr积分得：.4，2尸徜11 r考试复习题:一、 图1所示系统中，四个弹簧均未受力，己知m=50kg, kl=9800N/m, k2=k3=4900N/m, k4=19600N/mo 试问：(1)若将支承缓慢撤去，质量块将下落多少距离？(2)若将支承突然撤去，质量块乂将下落多少距离？ke = 3 + k 八1 1 1解:=1ke k2 + k3 kxke = 24500答：(1) x =2 cm ； (2) x=4 cm网中 k = 1OOON/tn, k2 = IN/m(1) .试推导这两个系统的等效刚度。(2) .简述计算结果所反映出的物理意义“图 串联弹簧系统和并联弹簧系统(1)串联弹簧