极坐标系与参数方程一轮复习(你值得拥有).docx

1、极坐标系与参数方程知识梳理一、极坐标1、极坐标定义：M是平面上一点，表示OM的长度， 是MOx,则有序实数实数对(,),叫极径， 叫极角；一般地，0,2 ) ,0 oV COSY2c +口祖士一曲古右八土一 = /八T或2, 的象限由点 / v 、八所2、极坐标和直角坐标互化公式：y sin tan y(x 0)( X, y)X在象限确定.二、常见曲线的极坐标方程1、圆的极坐标方程(1)圆心在极点，半径为r的圆的极坐标方程是 ；(2)圆心在极轴上的点(a,0)处，且过极点O的圆的极坐标方程是 ；(3)圆心在点(a,一)处且过极点的圆。的极坐标方程是 。 22、直线的极坐标方程(1)过极点且倾斜

2、角为的直线的极坐标方程是 ； (2)过点(a,0),且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 三、常见曲线的参数方程直线圆椭圆双曲线抛物线过点(X0 , yo ),倾斜角为圆心在点(a, b), 半径为f中心在原点，长、短轴分别为2a、2b中心在原点，长y2短轴分别为 2a > 2b2 px(p 0)第一节平面直角坐标系中的伸缩、平移变换【知识点】定义1：设P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：X' x("的作用下，y* y( o)点P(x, y)的对应点为P。称 为平面直角坐标系中的伸缩变换。定义2：在平面内，将图形F上所有点按照同一个方向，移动同样长度，称为图形

3、F的平移。若以向量a表示移动的方向和长度，我们也称图形F按向量a平移.在平面直角坐标系中，设图形F上任意一点 P的坐标为(X, y),向量a (h, k),平移后的对应点为 P ( x , y ).则有：(x, y) (h,k) (x , y )即有：x x h , y y k X X在平面直角坐标系中，由h所确定的变换是一个平移变换。y y k因为平移变换仅改变图形的位置，不改变它的形状和大小.所以，在平移变换作用下，曲线上任意两点间的距离保持不变。【典例1 (2014年高考辽宁卷(文)将圆x?+y2 = l上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.(I)写出C的参数方程；(

4、II)设直线1： 2x+y2=0与C的交点为Pi, P2,以坐标原点为极点，x轴正半轴为极 轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与1垂直的直线的极坐标方程.练习:X1X1x 3xA.TxB.1xC.1D. X3xy 2yy2 .在同一直角坐标系中，3y将直线9 yyy 2jx 2y 2变成直线2 x12y y' 4 ,1.将点P(2, 2)变换为点P(6, 1)所用的伸缩变换公式是换公式是则满足图象变换的伸缩变3 .在平面直角坐标系中将曲线22 按照变换C : x y 1x ' 4x得到的曲线C，的方程为y' 3 y2X cos4.已知曲线Ci :(为参数).若把曲

5、线Ci上各点的横坐标压缩为原来的一，纵坐标y sin2压缩为原来的4，得到曲线C2 ,则曲线C2的参数方程为,普通方程为2【典例2】把圆C(x 3)2 (y I)2 4先向下平移1个单位长度，再向右平移 3个单位长度后得到圆C2,求圆C2的普通方程。练习：1 .点P(2, 3)先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到点P'的坐标是 O2 .抛物线x2 4y先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到的抛物线的顶点坐标是 O3 .将曲线C：X2 y2 2x 4 y 。先向左平移1个单位长度，再向下平移 2个单位长度后得 到的曲线的方程是。第二节极坐标与直角坐标互化【知

6、识点】ycos2 X2 y2. 或VSin tan (x 0)x的象限由点（x,y）所在象限确定.练习一：把下列点的极坐标化为直角坐标(3) (4.2（4）（三）；（ 5）（6工）26练习二：把下列点的直角坐标化为极坐标(6) (1A)4 .(1)(3,/)；（2）（o, g）3(4) (3,0)(5) (3, C)(6)(2, /3)考点二：曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化练习一：把下列曲线的极坐标方程化为直角坐标方程(1)cos2 sin 10 L(2)4 cos(-J 340:(3)4sin(4)2sin(5)4cos2s in(6)4cos（7）直线（8）射线(9)1223cosJ

7、4s in；(10)21 cos注意：极：直线o或射线o直：ykx (或 y kx ( x 0 )或 y kx练习二：把下列曲线的 直角坐标方程化为 极坐标方程:(1 ) x y 2 0 : ;(2) y/3 x y 1 :;(3).4 y 1: 4 3x 2 y 6 : ;(5 )22；( )22x y 6x 0 : 6 (x 3) y 4 : ；高考再现1. ( 2013年高考辽宁卷(文)在直角坐标系xoy中以。为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆Ci ,直线C2的极坐标方程分别4sin , cos 272.4(I)求Ci与C2交点的极坐标； (H)设P为C1的圆心，Q为Ci与C2交点

8、连线的中点.已知直线PQ的参数方程为x t3 at R为参数，求a, b的值.y b_t3 122. ( 2014年高考广东卷(文)在极坐标系中，曲线 Ci与C2的方程分别为2 COS2 Sin与cos 1。以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x轴的正半轴，建 立平面直角坐标系，则曲线 。与C2交点的直角坐标为.JI。一% = 1的距离是3. ( 2014年高考陕西卷(文)在极坐标系中，点2,一到直线P sin4. (2015年高考湖南卷(文)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程为2sin，则曲线C的直角坐标方程为第三节参数方程与普通方程

9、互化【知识点】常见曲线的参数方程直线椭圆双曲线抛物线过点(xo , yo ),倾斜角为圆心在点(a, b),半径 为r中心在原点，长、短轴分别为2a、2b中心在原点，长短轴分别为2a、2by2 2 px（ p o）把参数方程化为普通方程的常用方法:(1)代入法：利用解方程的技巧求出参数t,然后代入消去参数;(2)三角法：利用三角恒等式消去参数，如平方关系sin 2cos21；(3)整体消元法:根据参数方程本身的结构特征,从整体上消去。练习一：把下列曲线的直角坐标(普通)方程化为参数坐标方程(1) C :二/ 1 , C :；25 1622X V (2) C : 1， C ：. 9 34(3)

10、C (: x 2)2(yI)24, C : ;(4) C : x2 y24 x2 y11 0 , C : (5) )C : x2 y24 y0 , C : ；3(6)直线1的倾斜角为_，且过点p( 4,2),则1：.4(7)直线1过点M(4, 1),倾斜角为则1： .2练习二：把下列参数方程化为直角坐标方程(普通方程)x 5 2t（DC:（ t ：参数），C:y 1 2tx 1 112（2） C :广。为参数）C; ；y t2x 2 At（3） C :（ t：参数），C :y 13t5（4） C ： * 2 £os （:参数），c . y 3 3 sin2cos tWsin t（6）

11、（7）（8）C ： x 5cos （：参数），C : y 4s inC : X p2 （ p ：参数）,C :y 2P_4cos / 介跖、 C ： X 3sin（:参数），C :y 4s in3cos高考再现1 . （2013年高考广东卷（文）已知曲线C的极坐标方程为2cos.以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程。 x 2s 1,2 .（2013年高考湖南（文11）在平面直角坐标系xoy中，若直线h :（s为参数）y sx at, 和直线12 :（t为参数）平行，则常数a的值为y 2t 13 . （2013年高考陕西卷（文15）圆锥曲线* l （t为参数）的焦点

12、坐标是y 2t正x= 2+ 2 t,4 . （2014年高考湖南卷（文）在平面直角坐标系中，曲线 C：厂（t为参数）的史y= 1+ 2 t普通方程为.x 4 5cos t5 . （2013年高考课标I卷（文）已知曲线Ci的参数方程为（t为参数），以y 5 5sin t坐标原点为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2s in（I）把的参数方程化为极坐标方程II求与 交点的极坐标Cl;（） Cl C2（0,02 ）.6.（2014年高考新课标卷2 （文）在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆 C的极坐标方程为ji2cos '

13、76; G 0，2 一求c的参数方程；（D ）设点D在C上，C在D处的切线与直线1： y= Ux+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D的坐标.7. （2015年高考广东卷（文）在平面直角坐标系 x y中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线Ci的极坐标方程为cos sin 2 ,曲线C2的参数方程x t2为 _ （t为参数），则C1与C2交点的直角坐标为一.y 2如第四节极坐标和参数方程的综合应用考点一：曲线上的动点到直线距离的最值问题常用参数方程和三角恒等变换的知识解决。步骤：（1）利用曲线的参数方程把曲线上的动点 P的坐标设出来；（2）利用点到直线的距离公式求出曲线上

14、的动点P到直线1的距离d；b（3）利用辅助角公式 a sin x b cos x sin（ x ）（其中 tan ），把第（2）a步求出的距离d的右边化为d I Asin（ xpJ （ t 0 ）的模式。t（4）利用三角函数的有界性求出距离 d的最值。【典例1】在直角坐标系xOy中，曲线Ci的参数方程为X ' a，'（为参数），在以原y sin点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2的极坐标方程为 Sin（ -） 4/2 o4（I）求曲线Ci的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（n）设p为曲线ci上的动点，求点p到c2的距离的最小值，并求此时点 p的坐标。(II)

15、P为直线1上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求点P的坐标.考点二：标准直线参数方程中参数 t的几何意义【知识梳理】若X xo at (t ：参数)已是标准参数方程，即2 21： y y0 bt a b 1 ,且 1 和曲线 C(圆、椭圆、抛物线)交于A、B两点，则：把1中的x、y代入曲线 C的直角坐标 方程，整理 at2 bt c 0 (其中，P(x ,y)； t、t为方程、的两根(即、口两点对应的参数分别为t、t ) 0012()A12btl t2 ，-Caa由(的几何意义，得:公式1:长度之积：I PA II PB I I tit J ；，式2: 长度之和：I PAI I PB I I

16、ti t 2 1( ac 0 )；或 I P A I I PB I I ti t2 I J (h t2 )2 4tit2 ( ac 0 ：；公式3: 弦长I AB I Iti t2l /itz4t3 ；但若是 和圆可不用此公式，而用h .I AB I 2.2 cP 更简单;说明：上述合声中的两条线段为1所过的点M(P,A,QL)分别和曲线C两交点|A, B(M,NL)的连线段；公式4:线段AB的中点M对应的参数t史t,【典例】在直角坐标系xoy中，直线1的参数方程为2(t为参数).在极坐标系75 At(与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点 O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为

17、2 5 sirtT(I )求圆C的直角坐标方程；(II )设圆C与直线I交于点A、B,若点P的坐标为 (3,6，求一L 的值.I PAI I PB I练习：1,已知过点P ( 3,1)的直线1: x 3 t与曲线C: x 4cos交于A、B y 1 ty 4s in两点，求 I PAI I PB I , I AB I ；Y2.经过点M (2,1)作直线1,交椭圆_2416 4中点，求直线1的方程。1于A、B两点。如果点M恰好为线段AB的xOy中，已知直线 1的参数方程为3. (2014年高考江苏卷(文)在平面直角坐标系电= 123正y=2+ 2 t(t为参数)，直线1与抛物线y2=4x相交于A

18、, B两点，求线段AB的长.考点三：求动点的轨迹方程问题求曲线的极坐标方程的方法和步骤：建、设、限、代、化(1)建立适当的极坐标系，设 M(,)是一曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径和极角 之间的关系式；(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线上的极坐标方程；(4)证明所得方程就是曲线的极坐标方程.2cos t ”,【典例】(2013年高考课标H卷(文)已知动点P,Q都在曲线C:X(t为参数)上,y 2sin t对应参数分别为t与t 2 (02 ),M为PQ的中点.(I )求M的轨迹的参数方程；(II)将M到坐标原点的距离d表示为 的函数，并判断M的轨迹是否