高中数学人教版选修2-2知识点总结

1、数学选修2-2导数及其应用知识点必记1.函数的平均变化率是什么？答：平均变化率为 yl =fL = f(x2)-f (xi) = f (x1x) -f (x1)x xx2 -X1x注1:其中Ax是自变量的改变量，可正，可负，可零。注2:函数的平均变化率可以看作是物体运动的 平均速度。2、导函数的概念是什么？答：函数y =f(x)在x = xo处的瞬时变化率是lim"=lim f(x0 +')-f(x0),则称 .T = x . T=x函数y =f (x)在点xo处可导，并把这个极限叫做y = f(x)在xo处的导数，记作f'(xo)前'I即 f'r与.

2、f(xo +W-f(xo)次yk，即f (xo) =她及=蚣后 .3.平均变化率和导数的几何意义是什么？答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线 的斜率。4导数的背景是什么？答：(1)切线的斜率；(2)瞬时速度；(3)边际成本。5、常见的函数导数和积分公式有哪些？函数导函数不定积分y =cy'=0n .*y = xN ),ny' = nxn+1n n .xx dx -n十1xy = a (a >0,a #1)y' = ax ln axfa dx = ln axy =exy' =ef exdx = exy =loga x (a

3、>0,a #1,x >0 )1 y1-1.x ln ay =ln xy xfdx = ln x . xy =sin xy'= cosxcosxdx = sin xy =cosxy' = sin xsin xdx= -cosx6、常见的导数和定积分运算公式有哪些？答：若f (x ), g(x )均可导(可积)，则有:和差的导数运算r1'f(x)g(x)-',、'，、=f (x)±g (x)积的导数运算If (x) g(x) = f'(x)g(x) 士 f (x)g'(x)特别地：Cf(x)T = Cf <x)商的

4、导数运算-f(x)-&x) 一特别地:f (x)g.g(xL'(x)x)g 叫g(x)¥0) g(x) 丁,"g'(x)_2.g (x)复合函数的导数yx' = yu' Ux微积分基本定理Fba f (x dx二'(x)= f=(其中：X)和差的积分运算朱bfi(x) 土 a于别地：,bbf2(x)dx= f f1(x)dx± f f2(x)dx LaLabbkf(x)dx = kf f(x)dx(k为常数) aa积分的区间可加性bf(x)dx = acL f(x)dx + abL f(x)dx(其中a<c&l

5、t;b) c6.用导数求函数单调区间的步骤是什么?答：求函数f(x)的导数f'(x)令f'(x)>0,解不等式，得x的范围就是递增区间.令f(x)<0,解不等式，得x的范围，就是递减区间；注：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。7.求可导函数f(x)的极值的步骤是什么？答：(1)确定函数的定义域。(2)求函数f(x)的导数f'(x)(3)求方程f'(x)=0的根(4)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区问，并列成表格，检查f/(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x

6、)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值 8.利用导数求函数的最值的步骤是什么？答：求f(x)在a,b 上的最大值与最小值的步骤如下:求f(X)在a, b】上的极值;将f(x)的各极值与f(a), f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。注：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点;9 .求曲边梯形的思想和步骤是什么？答：分割t近似代替T求和t取极限 (以直代曲”的思想)10 .定积分的性质有哪些？根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质:b性质 1 ldx=b_aab性质 5 若 f(x) >0, X a,b,则 1 f(x)dx

7、2 0推广:bbbbfl(x) . f2(x)IM fm(x)dx=fi(x)dx_f2(x)dx III fm(x)a- a, a- abCiC2b推广：f(x)dx= f(x)dx»i f(x)dx HI f(x)dx aac1Ck11定积分的取值情况有哪几种？答：定积分的值可能取正值，也可能取负值，还 可能是0.(I )当对应的曲边梯形位于 x轴上方时，定 积分的值取正立 且等于x轴上方的图形面积;(2)当对应的曲边梯形位于 x轴下方时，定 积分的值取负也 且等于 x轴上方图形面积的相 反数;(3)当位于x轴上方的曲边梯形面积等于 位于x轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为 0

8、,且等于x轴上方图形的面积减去下方的图形的 面积.12 .物理中常用的微积分知识有哪些？答：(1)位移的导数为速必 速度的导数为加速度(2)力的积分为期上数学选修2-2推理与证明知识点必记13 .归纳推理的定义是什么？答：从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理 归纳推理是由部分到整也，由个别到一般的推理。14 .归纳推理的思维过程是什么？答:大致如图：|实验、观察卜T概括、推广1,-猜测一般性结论15 .归纳推理的特点有哪些？答：归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的 一般现象。由归纳推理得到的结论具有猜测的性质， 结论是否真实，还需经过逻辑证 明

9、和实验检验，因此，它不能作为数学证明的工具。归纳推理是一种具有创造性的推理， 通过归纳推理的猜想，可以作为进一 步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。16 .类比推理的定义是什么？答：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他 方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊 到特殊的推理, 17.类比推理的思维过程是什么？较.观察、比较7 联想、类推>1推测新的结论18 .演绎推理的定义是什么？答：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照 严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般 到特殊的推理。19 .演绎推理

10、的主要形式是什么？答：三段论20 .“三段论”可以表示为什么？答：大前题：M是P小前提：S是M结论：S是P。其中是大前提，它提供了一个一般性的原理；是小前提，它指出了一个 特殊对象；是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。21 .什么是直接证明？它包括哪几种证明方法？答：直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接 推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。22 .什么是综合法？答：综合法就是“由因导果”，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。23 .什么是分析法？答：分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件

11、或者 一定成立的式子，可称为“由果索因”。意注意叙述的形式：要证 A,只要证B, B应是A成立的充分条件.分析法 和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。24什么是间接证明？答：即反证法：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。25 .反证法的一般步骤是什么？答：（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；（2）从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（3）从矛盾判定假设不正确，即所求证命题正确。 26常见的“结论词”与“反义词”有哪些?原结论词反义词原结论词反义词至少有一个一个也没有对所有的x都成立存在x使/、成立至多有一个至少有两

12、个对任忠x不成立存在x使成立至少有n个至多有n-1个p或qp且q至多有n个至少有n+1个p且qp 或q27.反证法的思维方法是什么？答：正难则反 28 .如何归缪矛盾？答：（1）与已知条件矛盾；（2）与已有公理、定理、定义 矛盾；（3）自相矛盾.29 .数学归纳法（只能证明与正整数 有关的数学命题）的步骤是什么？答：（1）证明：当n取用二个值n0（、WN冲）时命题成立；.*一一 一 A I 一 »、假设当n=k （kC N ,且k*0）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立. 由（1）, （2）可知，命题对于从no开始的所有正整数n都正确.注：常用于证明不完全归纳法推测所得命题的正

13、确性的证明。数学选修2-2数系的扩充和复数的概念知识点必记30 .复数的概念是什么？答：形如a+bi的数叫做复数，其中i叫虚数单位，a叫实部，b叫虚部，数集 C =a +bi |a,b w R叫做复数集。规定：a+bi=c+diu a=c且b=d,强调：两复数不能比较大小，只有相等或不相实数（b=0）31 .数集的关系有哪些？答： 复数Z«-_一般虚数（a*0）虚数（bH0）匕 一纯虚数（a=0）32 .复数的几何意义是什么？答：复数与平面内的点或有序实数对一一对应。33 .什么是复平面？答：根据复数相等的定义，任何一个复数z=a + bi ,都可以由一个有序实数对（a,b）唯一确定

14、。由于有序实数对（a, b）与平面直角坐标系中的点对应，因此复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应。这个建立了直角坐标 系来表示复数的平面叫做复壬面 x轴叫做实轴,y轴叫做虚他 实轴上的点都 表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 34.如何求复数的模（绝对值）?答：与复数z对应的向量OZ的模叫做复数z=a + bi的模（也叫绝对值）记作z或a+bi。由模的定义可知:a bi-a2 b235 .复数的加、减法运算及几何意义是什么？答：复数的力口、减法法贝乙=a+bi与z2 =c+di ,贝U z1 ±z2 = a±c +（b±d）i。注：复数的加、减法运算也可以按向量 的加、减法来进行。 复数的乘法法则：（a+bi）（c+di） =（acbd）+（ad+bc）i。复数的除法法则：衿=（1蓝亮ac bd272c dbc-ad .c2 d21其中cdi叫做实数化因子36 .什么是共腕复数？答：两复数a+bi与abi互为共腕复数，当b¥0 时,它们