根与系数关系知识点与综合应用

1、鹿邑前沿教育根与系数的关系知识点及综合应用一、一元二次方程根与系数的关系(1) 若方程ax2 +bx+c = 0 (aw0)的两个实数根是 xi, X2,贝U Xi+X2= , XiX2= a a(2) 若一个方程的两个根为 Xi, X2,那么这个一元二次方程为a X2，凶 x2 x X1X2 1=0 (aw 0)二、根与系数的关系的应用：(1)验根：不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两 根；(2)判别一元二次方程两根的符号例1：不解方程，判别方程2X+3i-7 = 0两根的符号分析：对于口/+历+匕=0(。壬0)来说，往往二次项系数，一次项系数，常 数项皆为已知，

2、可据此求出根的判别式,但只能用于判定根的存在与否， 若 判定根的正负，则需要确定1T±或工i+M的正负情况。因此解答此题的关键是： 既要求出判别式的值，又要确定或为+为的正负情况。解：3'一4X 2X( 7)=650.方程有两个不相等的实数根。设方程的两个根为7打二一5。原方程有两个异号的实数根。说明：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合 起来进行确定，另外由于本题中1'0,所以可判定方程的根为一正一负；倘 若110,仍需考虑了1+司的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。(3)求根及未知数字母系数：已知方程的一个根，可利用根与系数的关 系求

3、出另一个数及未知数字母系数.例2：已知方程M-6x+冽°-2测+5=0的一个根为2,求另一个根及加 的值。分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把工:2代入原方程, 先求出期的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与 系数的关系求出另一个根及 朋的值。解法一：把1二2代入原方程，得：21-6x2+/-2胡+ 5 = 0即 /-2加-3 = 0解得啊=3,那2=-1当啊=3,啊=-1时，原方程均可化为：y-67+8=0, 解得：及=2,阳二4.二方程-61+加'-2港+5= 0的另一个根为4,朋的值为3或一1。解法二：设方程的另一个根为工2,根据题

4、意，利用韦达定理得：甬+用=46) = 6,现用=谒-2例+5&二2, .把为二2代入西+马二46)= 6 ,可得:二4.把=4代入%二川一2冽+5,可得：/_2耀+5=8,即苏-2那-3 = 0解得附1=3,附=T方程/-61+幽，-2幽+5=0的另一个根为4,即的值为3或一1说明：比较起来，解法二应用了韦达定理，解答起来较为简单。(4)求代数式的值：在不解方程的情况下， 可利用根与系数的关系求关于 Xi和X2的代数式 的值，根与系数关系常用的转化关系：2 .2211XiX22Xi + x 2 =(x 1+X2) - 2x 1X2 ; 一十 = 2 ; (xi+a) (x 2+a)=

5、XiX2+a(x i+X2)+a ;x1 x2 X1X2(X1-X2) =(Xi+X2)-4x 1X2 ; Ixi-x2I =4x1 + x2 f 4x1 x2 (5) 求作新方程：已知方程的两个根，可利用根与系数的关系求出一元二次方程的一般X2-(X i+X2)X+X 1X2=0(6)运用判别式及根与系数的关系解题。例：已知11、办是关于'的一元二次方程4+4(然- / 的两个非 零实数根，问工和能否同号？若能同号，请求出相应的 州的取值范围；若不 能同号，请说明理由，解：因为关于丫的一元二次方程4/ +4(加-1)1+那'=0有两个非零实数根,.则有.；， 】丁 ；一，又.

6、、阳是方程4尸+4佃-3+/ = 0的两个实数根，所以由一元二次 方程根与系数的关系，可得：假设工1、旗同号,则有两种可能:4十通< 0若工< 0 , / < 0,则有： j-勺> ° ；一（掰-1） < 010-m2 >0即有:1.4解这个不等式组，得: 1那M 一2时方程才有实树根，此种情况不成立。4 + / > 0若网> o,电）o ,则有：工1> °-（阳- D > oh寸-m2 >（）即有：4解这个不等式组，得m< ；m <m< 又:2 , 当2时，两根能同号说明：一元二次方程根与

7、系数的关系深刻揭示了一元二次方程中根与系数的内在联系，是分析研究有关一元二次方程根的问题的重要工具， 也是计算有关一 元二次方程根的计算问题的重要工具。 知识的运用方法灵活多样，是设计考察创 新能力试题的良好载体，在中考中与此有联系的试题出现频率很高， 应是同学们 重点练习的内容。（7）运用一元二次方程根的意义及根与系数的关系解题2例：已知心户是方程/+2工-5 = 0的两个实数根，求& +麒+2值的值分析：本题可充分运用根的意义和根与系数的关系解题，应摒弃常规的求根 后，再带入的方法，力求简解。解法一：由于£是方程八2"5=0的实数根，所以+2£-5 =

8、 0设 +侬+2"M,d+的+2值与4+2万-5相加,得：/ =(才+加+2劣+(6+20-5)二(&3 + 6)+ 2+向+&£-5=(&+加+2®+m-娟-5 (变形目的是构造"和磔)根据根与系数的关系，有：e+F=-2,邸=-5于是，得:：二1=4 -4+5- 5=0. +A/5+ =o =0解法二：由于值、£是方程/+2工-5 = 0的实数根，.二 I 二二说明：既要熟悉问题的常规解法，也要随时想到特殊的简捷解法，是解 题能力提高的重要标志，是努力的方向。有关一元二次方程根的计算问题，当根是无理数时，运算将十分繁

9、琐，这时, 如果方程的系数是有理数，利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简 的作用。这类问题在解法上灵活多变，式子的变形具有创造性，重在考查能力， 多年来一直受到命题老师的青睐。（8）运用一元二次方程根的意义及判别式解题。例：已知两方程？-溜1+5+加=0和/ 一。加+ 1）1+13加+7:0至少有一个 相同的实数根，求这两个方程的四个实数根的乘积。分析：当设两方程的相同根为a时，根据根的意义，可以构成关于 白和加 的二元方程组，得解后再由根与系数的关系求值。解：设两方程的相同根为 荣 根据根的意义，有 二：二 5a? -（7附+l）a+l3M+7 = 0两式相减，得-1- 蒲'-1当6期+1=0时，制,方程的判别式二（一加）、4（洌+ 5）二（尸_4（一1+5）二工_匣06636 3方程无实数解当6用+ 1m。时，有实数解6浏+1代入原方程，得2,-阳X2+5+加=0,所以期二94个实数根的于是，两方程至少有一个相同的实数根，相乘积为（5+啾 13 川+7） = 14x124 = 1736说明：（1）本题的易错点为忽略对6加+1二。的讨论和判别式的作用，常常除了犯有默认6加+ 1M。的错误，甚至还会得出并不存在的解：1