高考一轮复习正态分布

1、优秀学习资料欢迎下载第7讲正态分布【20XX年高考会这样考】利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.【复习指导】掌握好正态密度曲线的特点，尤其是其中的参数四的含义，会由其对称性求解随机变量在特定区间上的概率.基础梳理1.正态曲线及性质正态曲线的定义一、,1x 口2函数如外)=不一2 2 ,V2 Tt(T2XC ( 00, +00),其中实数以和60)为参数，我们称 如x)的图象(如图)为正(1)正态分布的定义及表示公书布密度曲线，简称正态曲线.如果冽才任何2察a, b(a<b),随机变量X满足P(a<X&b)= b正态曲线的解济式2.回撤树d变串蛔久

2、健吸Q再曲价Xfe (记明 用多.)21廊态山林御印滩殊区闻加以喊蛔微理数.网P(或中海X两命参数上0.682 %其中以可取任意实数，o>0这是正态分布的WP(W2V<X< 叶2(yA0.954 4;稀P(我1加育X小*3为A0997务面是一个以e为底数的指数函数的形式, 212调2幕指数为专产.六条性质正态曲线的性质1 X J正态曲线强(x) = fe- 'o' 2 ', X爪有以下性质: 42.迪 2立 (1)曲线位于 X轴上方，与 X轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线x= 对称;(3)曲线在x= 口处达到峰值 (4)曲线与x轴围成的图形的

3、面积为 1;(5)当。一定时，曲线随着 u的变化而沿x轴平移;(6)为一2二定叱一曲线的形状由一一"确定,一口越小曲线越一二瘦高二一表丞总他的分一 布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.三个邻域会用正态总体在三个特殊区间内取值的概率值结合正态曲线求随机变量的概 率.落在三个邻域之外是小概率事件，这也是对产品进行质量检测的理论依据.f(x)的图象,且f(x)卡双基自测1. 设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数x10解析 二尸2,由正态分布的定义知其函数图象关于 x=2对称，于是人 ，上八 一I,)土十一,则这个正态总体的平均数与标准差分别是8A. 10 与 8 B.

4、10 与 2 C. 8 与 10D. 2 与 101x 10 21x_ J解析由府一8二星T,可知户2,尸10.答案 B2. （2011湖北）已知随机变量 己服从正态分布N（2,，），且P（4） = 0.8,则P（02）等于（）.A. 0.6 B. 0.4 C. 0.3D. 0.2解析 由 P(&4) = 0.8 知 P(E>4)=P(0) = 0.2, 故 P(0< & 2) = 0.3.故选 C.答案 C3. (2010广东)已知随机变量X服从正态分布N(3,1),且P(2&X&4) = 0.682 6, 则P(X>4)等于().A. 0.

5、158 8 B. 0.158 7 C. 0.158 6 D. 0.158 51解析 由正态曲线性质知，其图象关于直线x=3对称，.P(X>4) = 0.5 51_P(2< X0 4) = 0.5 2 X 0.682 6= 0.158 7.故选 B.答案 B4. (2010山东)已知随机变量 X服从正态分布 N(0,)，若P(X>2) = 0.023,则 P( 20*02)等于().A. 0.477 B. 0.628 C. 0.954 D. 0.977解析 P( 2<X<2) = 1-2P(X>2) = 0.954.答案 C5. 设随机变量X服从正态分布N(2

6、,9),若P(X>c+ 1)=P(X<c 1),则c等于().c+ 1 + c 1A. 1B. 2C. 3D. 4=2, c=2.答案 B考向一正态曲线的性质【例11 ?若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为_1_4叵n .(1)求该正态分布的概率密度函数的解析式；(2)求正态总体在(一4,4的概率.审题视点要确定一个正态分布的概率密度函数的解析式，关键是求解析式中 的两个参数内6的值，其中以决定曲线的对称轴的位置，6则与曲线的形状和 最大值有关.解(1)由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于 y轴对,1,11称，即 尸0.由亚=-=亚4，得

7、 户4,故该正态分布的概率餐'度函数的解析式+ 0° )1X.，册 *)= 427.32, XC(一°°, P( 4<X04)=P(04<X00 + 4)=P(厂(<X< 叶 4=0.682 6.解决此类问题的关键是正确理解函数解析式与正态曲线的关系，掌握函数解析式中参数的取值变化对曲线的影响.【训练1】 设两个正态分布N（曲，软d>0）和N（窿，2）（2>0）的密度函数图象 如图所示，则有（）.A .血 % d <（2B.世 < 陛，d> 2C.在> 凡 d< 2D .以 > 陛，d

8、> 2解析 根据正态分布 N（内（2）函数的性质：正态分布曲线是一条关于直线x= N 对称，在x=仙处取得最大值的连续钟形曲线；越大，曲线的最高点越低且较 平缓；反过来， 越小，曲线的最高点越高且较陡峭，故选 A.答案 A考向二 服从正态分布的概率计算【例2】?设*N(1,2 解析 由题意可知，正态分布的图象关于直线x=1对称，所以P(E>2)=P(0)=0.3, P( 2)=10.3=07答案 0.7考向三正态分布的应用【例3】？20XX年中国汽车销售量达到1 700万辆，汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响，各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量，某汽车制造公司为调查某种

9、型号的汽车的耗油情况，共抽查了1 200名车主，据统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里8.0升，并且汽车的耗油量 朗艮从正态分布N(8,婿)， 已知耗油量氏7,9的概率为0.7,那么耗油量大于9升的汽车大约有 辆.审题视点根据正态密度曲线的对称性求解.解 由题意可知 1N(8, 9),故正态分布曲线以 尸8为对称轴，又因为P(7 0口 9) = 0.7,故 P(7< m 9) = 2P(80 m 9) = 0.7,所以 P(8< &C9) = 0.35,而 P(笋 8) = 0.5,所以P(0 9) = 0.15,故耗油量大于9升的汽车大约有1 200X0.15= 180)

10、,试求P(1<X03);(2)P(3<X<5);(3)P(X>5).审题视点将所求概率转化到(四(T,四+ d.(四2 0；叶2 d或1 3(T,叶3寸上的概率，并利用正态密度曲线的对称性求解.解 XN(1,22),尸 1,户2.P( 1<X< 3)= P(1 2<X< 1 + 2)=P(厂(<X< 叶 4=0.682 6.(2) = P(3<X< 5)=P(-3<X<- 1),1P(3<X< 5)=尹(一3<X 0 5) P( 1<X 0 3)1= P(1 -4<X< 1+

11、4) P(1-2<X< 1+2)1= 2P( 1- 2(<X0 四+ 2 ) P(1 c<X0 (Jrk ()1=2X (0.954 4-0.682 6)= 0.135 9.(3)P(X>5) = P(X0 3), 1P(X>5)=21 -P(-3<X<5)1= 21-P(1-4<X<1+4)1= 21 P(四一2 X< 什 2讥求服从正态分布的随机变量在某个区间取值的概率，只需借助正态曲线的性质，把所求问题转化为已知概率的三个区 间上.【训练2】 随机变量己服从正态分布N(1, (2),已知P( 0)=0.3,则P( 2).辆

12、.服从正态分布的随机变量在一个区间上的概率就是这个区间上，正态密度曲线和x轴之间的曲边梯形的面积，根据正X1 + X2态密度曲线的对称性，当PG> X1)=P( X2)时必然有一=也这是解决正态分布类试题的一个重要结论.【训练3】工厂制造的某机械零件尺寸 X服从正态分布N 4, 9 ,问在一次正常 9的试验中，取1 000个零件时，不属于区间(3,5这个尺寸范围的零件大约有多少个？一 一 11解 XN 4, 9 , 尸4, 0= 3.不属于区间(3,5的概率为P(X< 3) + P(X>5) = 1 P(3<X< 5)= 1-P(4-1<X<4+ 1)

13、=1 P(厂 3o<X< 叶 3 )=1 0.997 4= 0.002 6= 0.003, . 1 000X 0.003= 3(个)，即不属于区间(3,5这个尺寸范围的零件大约有3个.阅卷报告19正态分布中概率计算错误【问题诊断】 正态分布是高中阶段唯一连续型随机变量的分布，这个考点虽然 不是高考的重点，但在近几年新课标高考中多次出现，其中数值计算是考查的一 个热点，考生往往不注意对这些数值的记忆而导致解题无从下手或计算错误.【防范措施】 对正态分布N（内2）中两个参数对应的数值及其意义应该理解透 彻并记住，且注意第二个数值应该为 9而不是仿同时，记住正态密度曲线的六 条性质.【示

14、例】？已知某次数学考试的成绩服从正态分布N（116, 64）,则成绩在140分以上的考生所占的百分比为（）.A. 0.3%B. 0.23%C. 1.5%D. 0.15%错因（1）不能正确得出该正态分布的两个参数内6导致计算无从下手.（2）对正态分布中随机变量在三个区间内取值的概率数值记忆不准，导致计算出错.实录同学甲 A同学乙 B同学丙 C正解 依题意，匹=116,户8,所以p 3 <3= 92,叶3 <3= 140,而服从正态分布 的随机变量在（厂3伪 叶3/内取值的概率约为0.997,所以成绩在区间（92,140） 内的考生所占百分比约为99.7%,从而成绩在140分以上的考生所占的百分比为199 7%1 99