根与系数的关系韦达定理练习题

1、二次方程根与系数的关系练习题14小题）1下列一元二次方程中，两根之和为2 的是（）A. x2-x+2=0 B. x2-2x+2=0 C. x2 - x - 2=0D. 2x2-4x+1=02 .小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项系数，解得两根为2, - 3,而小华看错常数项,解错两根为-2, 5,那么原方程为（）A. x2- 3x+6=0 B . x2- 3x- 6=0 C. x2+3x - 6=0D, x2+3x+6=03 . （2011?锦江区模拟）若方程x23x2=0的两实根为xi、x2,则（xi+2） （x2+2）的值为（）A. - 4B. 6C. 8D. 124 . （

2、2007?泰安）若xl, x2是方程x2-2x-4=0的两个不相等的实数根，贝U2xi2 - 2xi+x22+3的值是（）A 19B 15C 11D 35 . （2006?贺州）已知a, b是一元二次方程 x2+4x - 3=0的两个实数根，则 a2-ab+4a的值是（）A. 6B. 0C. 7D. - 16 . （ 1997以津）若一元二次方程 x2- ax- 2a=0的两根之和为4a- 3,则两根之积为（）A. 2B. -2C. -6或 2 D. 6 或-27 .已知x的方程x2+mx+n=0的一个根是另一个根的 3倍.则（）A 3n2=16m2B3m2=16nCm=3nDn=3m28 .

3、 a、b 是方程 x2+ （m5） x+7=0 的两个根，贝U （ a2+ma+7） （b2+mb+7）=（）A 365B245C210D1759 .在斜边 AB为5的RtABC中，/C=90°,两条直角边 a、b是关于x的方程x2 - （m-1） x+m+4=0的两个实数根，则m 的值为（）B 4C. 8 或-4 D. 810 .设m、n是方程x2+x - 2012=0的两个实数根，则 m2+2m+n的值为（A 2008B 2009C 2010D 201111 .设x1、x2是二次方程x2+x - 3=0的两个根，那么 xi3-4x22+19的值等于()A.-4B.8C. 6D.

4、012 . m, n 是方程 x2- 2008x+2009=0 的两根，则(m2- 2007m+2009) ( n2 - 2007n+2009)的值是()A. 2007B. 2008C. 2009D, 201013 .已知x1、x2是一元二次方程 x2+x - 1=0两个实数根，则(x12- x1 - 1) (x22-x2- 1)的值为()A. 0B. 4C. - 1D. - 414 .设m, n是方程x2-x-2012=0的两个实数根，则 m2+n的值为()A. 1006B, 2011C, 2012D, 2013二.填空题(共5小题)15.若关于x的方程x2+2mx+m 2+3m - 2=0

5、有两个实数根 x1、x2,则x 1(x2+x1 )+x22的最小值为 16若关于x的一元二次方程 x2+x 3=0的两根为x1, x2,则2x1+2x2+x1x2=.17,已知关于x的方程x2- 2ax+a2 - 2a+2=0的两个实数根x1 ,x2,满足x12+x22=2,则a的值是18 . 一元二次方程 2x2+3x - 1=0和x2 - 5x+7=0所有实数根的和为 .19 .已知m、n是关于x的一元二次方程 x2- 3x+a=0的两个解，若(m-1)(n-1)=-6,则a的值为三.解答题(共11小题)20.已知关于x的一元二次方程 x2+ (2m-3) x+m2=0的两个不相等的实数根

6、“、3满足士-十士-二I ,求mCI p圣？若存在，求出的值.21.是否存在实数 m,使关于x的方程2x2+mx+5=0的两实根的平方的倒数和等于若不存在，说明理由.22.已知关于x的方程kx2-2x+3=0有两个不相等的实数根 xi、x2,则当k为何值时，方程两根之比为1 :3？23.已知斜边为 5的直角三角形的两条直角边a、b的长是方程x2- (2m-1) x+4 (m-1) =0的两个根,求 m 的值24.实数k为何值时，方程 x2+ (2k- 1) x+1+k2=0的两实数根的平方和最小，并求出这两个实数根.25.已知关于x的方程x2+ (2k-1) x-2k=0的两个实数根xi、x2

7、满足xi - x2=2,试求k的值.26.已知xi、x2是方程x2- kx+ik (k+4) =0的两个根，且满足(xi-1) (x2-1)士，求k的值.4427.关于x的一元二次方程 x2+2x+k+1=0的实数解是xi和x2.(1)求k的取值范围；(2)如果xi+x2- xix2< - 1且k为整数，求k的值.28 .已知xi, x2是一元二次方程(a-6) x2+2ax+a=0的两个实数根.(1)是否存在实数 a,使-xi+xix2=4+x2成立？若存在，求出 a的值；若不存在，请你说明理由;(2)求使(xi+i) (x2+1)为负整数的实数 a的整数值.29 .已知一元二次方程

8、x2-2x+m=0.( 1 )若方程有两个实数根，求m 的范围；(2)若方程的两个实数根为 xi, x2,且xi+3x2=3,求m的值.30 .已知xi、x2是一元二次方程 2x2-2x+m+1=0的两个实根.( 1 )求实数m 的取值范围；(2)如果m满足不等式7+4xix2>xi2+x22,且m为整数.求 m的值.一元二次方程要与系数的关系练习题参考答案与试题解析一.选择题（共14小题）1 .下列一元二次方程中，两根之和为2的是（）A. x2-x+2=0 B. x2-2x+2=0C. x2 - x - 2=0D. 2x2-4x+1=0考点：根与系数的关方程思想.分析:利用一元二次解答

9、:方程的根与系数的关系x1+x2=一下选项进行一 一验证并作出 正确的选择.解：A、,. x1+x2=1 ;故 本选项错误；B、 .=4 8= -4<0,所以本 方程无根；故本 选项错误；C、 x1+x2=1 ；故本选项错误；D、 x1+x2=2;故本选项正确；故选 D 点评：本题考查了一元二次方程根 与系数的关 系解答该题 时，需注意，一 元二次方程的 根与系数的关 系是在原方程 有实数解的情况下成立的2 .小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项系数，解得两根为2, - 3,而小华看错常数项,解错两根为-2, 5,那么原方程为（）A. x2- 3x+6=0 B . x2- 3

10、x- 6=0C. x2+3x - 6=0D. x2+3x+6=0考点：根与系数的关系分析：利用根与系数的关系求解即可解答：解： 小明看错一次项系数，解得两根为2, - 3,两根之积正确；小华看错常数项， 解错两根为- 2, 5,两根之和正确，故设这个一元二次方程的两根是a> &可得：a ?率6, o+ =- 3,那么以a、3为两根的一元二次方程就是x2- 3x - 6=0,故选：B.点评：此题主要考查了根与系数的关系，若XI、x2是方程ax2+bx+c=0 的两根，则有x1+x2=,xix2=.a3. （2011?锦江区模拟）若方程 x23x2=0的两实根为xi、x2,则（xi+

11、2） （x2+2）的值为（）A. - 4B. 6C. 8D. 12考点：根与系数的关系.分析：根据（xi+2）（x2+2）=x1x2+2x1+2x2+4=xix2+2（x1+x2）+4,根据一元二次方程根与系数的关系，即两根的和与积，代入数值计算即可.解答：解：:XI、x2是方程X2 - 3x -2=0 的两个实数 根-X1+X2=3, X1?X2= - 2.又（xi+2）（ X2+2）=X1X2+2X 1+2X 2+4=X1X2+2（ X1+X2） +4将 X1+X2=3、 x1?x2=- 2 代 入，得（ X1+2） （ X2+2） =X1X2+2X 1+2X 2+4=X1X2+2（ X1

12、+X2） +4=（-2）+2M+4=8 .故选 C点评：将根与系数的关系与代数式 变形相结合解 题是一种经常 使用的解题方法4. （2007?泰安）若X1, X2是方程x2-2x-4=0的两个不相等的实数根，则代数式2xi2 - 2xi+x22+3的值是（）A 19B 15C 11D 3考点 ：根与系数的关系； 一元二次方程的解专题 ：压轴题分析：欲求2xi2 -22x1+x2 +3 的值， 先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可解答：解：X1, x2是方程x2 - 2x - 4=0 的两个不相 等的实数根2xi 2xi=4, xix2= - 4, x1+x2=22- 2

13、x1 -2 2x1+x2 +32=xi 22 2x1+x1 +x2 +32=xi 2xi+2(xi+x2) 一 2x1x2+3=4+4+8+3=19 故选A点评：将根与系数的 关系与代数式 变形相结合解 题是一种经常 使用的解题方法ab+4a的值是（）5. （2006?贺州）已知a, b是一元二次方程 x2+4x - 3=0的两个实数根，则 a2A. 6B. 0C. 7D. - 1考点 ：根与系数的关系； 一元二次方程的解专题 ：压轴题分析：由a， b 是一元二次方程x2+4x-3=0的两个实数根， 可以得到如下四个等式：a2+4a- 3=0,b2+4b - 3=0,a+b= _ 4, ab=

14、一3；再根据问题 的需要，灵活变形解答：解：把 a 代入方程可得a2+4a=3,根据根与系数的关系可得ab= - 3.a2-ab+4a=a2+4a -ab=3 - （- 3） =6故选 A点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关 系.解此类题目 要利用解的定 义找一个关于 a、b的相等关 系，再根据根与 系数的关系求 出ab的值，把 所求的代数式 化成已知条件 的形式，代入数 值计算即可.一 元二次方程 ax2+bx+c=0（a加）的根与 系数的关系为：卜Xl+X2= , 3X1?X2=一.x2- ax- 2a=0的两根之和为 4a - 3,C. -6 或 2 D. 6 或则两根之积为（）26

15、. （ 1997以津）若一元二次方程A. 2B. -2考点：根与系数的关系.专题：方程思想.分析：由两根之和的值建立关于a的 方程，求出a的 值后，再根据一 元二次方程根 与系数的关系 求两根之积.解答：解；由题意知xi+x2=a=4a 3,a=1, .xix2= 2a=一2故选 B 点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系，在列方程时要注意各系数的数值与正负，避免出现错误)2 n=3m7.已知x的方程x2+mx+n=0的一个根是另一个根的 3倍.则（A 3n2=16m2B 3m2=16nC m=3nD考点：根与系数的关系分析：设方程的一个根为a,则另一个根为3a， 然后利用根与系数的关系得

16、到两根与 m、 n 之间的关系， 整理即可得到正确的答案；解答：解：,方程x2+mx+n=0 的一个根是另一个根的 3 倍， 设一根为a,则另一根为3a，由根与系数的 关系，得a?3a=n，a+3a= _ m,整理得3m2=16n，故选B 点评本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练记忆根与系数的关系，难度不大8. a、b 是方程 x2+ (m5) x+7=0 的两个根，贝U ( a2+ma+7) (b2+mb+7)=()A 365B 245C 210D 175考点 ：根与系数的关系； 一元二次方程的解专题：计算题分析根据一元二次方程的解的意义，知a、 b 满足方程x2+（ m-5） x+7

17、=0，又由韦达定理知a?b=7；所解答:点评:以，根据 来求代数式(a2+ma+7)八2一(b +mb+7)的 值，并作出选择 即可.解：.、b是方 程 x2+ ( m - 5) x+7=0的两个 根，a、b满足方程x2+ (m - 5) x+7=0 ,a2+ma+7 -5a=0,即 a2+ma+7=5a;b2+mb+7 -5b=0,即 b2+mb+7=5b ;又由韦达定理， 知a?b=7;(a2+ma+7)2(b +mb+7) =25a?b=25 >7=175.故选D.本题综合考查 了一元二次方 程的解、根与系 数的关系.求代 数式(a2+ma+7)2(b +mb+7)的值时， 采用了

18、根与系数的关系与代数式变形相结合的解题方法x+m+4=09.在斜边 AB为5的RtAABC中，/ C=90°,两条直角边 a、b是关于x的方程x2 - ( m - 1)的两个实数根，则m 的值为()A. - 4B. 4C. 8 或-4 D. 8考点：根与系数的关系；勾股定理分析：根据勾股定理求的a2+b2=25，即 a2+b2=( a+b)2 - 2abCD ,然后 根据根与系数 的关系求的a+b=m 1 ab=m+4；最后由联立方程组，即可求得 m 的值解答：解：二.斜边AB为 5的RtA ABC 中，ZC=90 °,两条 直角边a、 b，.a2+b2=25,又a2+b2

19、=2 (a+b) 2ab,2(a+b)-2ab=25， ,a、b是关于x 的方程x2- (m1) x+m+4=0的两个实数根，a+b=m 1,ab=m+4， 由 ， 解得m= - 4,或 m=8 ;当m= 一 4时，ab=0，a=0 或 b=0,(不合题意)m=8;故选D 点评：本题综合考查了根与系数的关系、勾股定理的应用解答此题时，需注意作为三角形的两边 a、 b 均不为零这一条件10.设m、n是方程x2+x - 2012=0的两个实数根，则 m2+2m+n的值为()A 2008B 2009C 2010D 2011考点 ：专题 ：分析：解答：点评：根与系数的关系； 一元二次方 程的解计算题由

20、于m、 n 是方程 X2+X -2012=0 的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到m+n=-1,并且 m2+m -2012=0,然后 把 m2+2m+n 可 以变为m2+m+m+n ，把前面的值代入即可求出结果解：m、n 是 方程x2+x -2012=0 的两个实数根，m+n= 1,并且m2+m - 2012=0， .m2+m=2011 ,m2+2m+n=m 2+m+m+n=2012-1=2011.故选 D 此题主要考查了根与系数的关系， 将根与系数的关系与代数式变形相结 合解题是一种 经常使用的解 题方法11.设XI、X2是二次方程x2+x - 3=0的两个根，那么 X13 - 4x22

21、+19的值等于（）A.-4B.8C. 6D. 0考点：根与系数的关 系专题：计算题分析首先利用根的定义使多项式降次，对代数式进行化简，然后根据根与系数的关系代入计算解答解由题意有2x1 +x1 - 3=0,2x2 +x2 3=0,即 x12=3 x1,2x2 =3- x2,所以x13-24x2 +19=x1 (3 x1) - 4(3-x2) +19=3x1 2x1 +4x2+7=3x1 ( 3 x1)+4x2+7 =4（ x1+x2） +4，又根据根与系数的关系知道Xl+X2= 1 ,所以原式二4X（T） +4=0.故选D 点评：本题考查根与系数的关系和代数式的化简求出X1、 X2的值再代入计

22、算，则计算繁难， 解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如X12=3 - xi,X22=3 - X2.2007n+2009） 的值是 （）12. m,n 是方程 X2 - 2008x+2009=0 的两根，则代数式(m2 - 2007m+2009) (n2A 2007B 2008C 2009D 2010考点 ：根与系数的关系； 一元二次方程的解分析：首先根据方程的解的定义，得m2- 2008m+2009=02,n 一2008n+2009=0，则有m2-2007m=m 2 2009, n -2007n=n -2009， 再根据根与系数的关系，得 mn=2009， 进行求解解答：解：m,

23、n是方程x2 -2008x+2009=0的两根，2 m 2008m+2009=02,n -2008n+2009=0，mn=2009 2. . ( m 2007m+2009)(n2-2007n+2009) =(m 一2009+2009 ) ( n-2009+2009)=mn=2009 故选C点评：此题综合运用 了方程的解的 定义和根与系 数的关系13已知x1、x2是一兀一次方程 x +x - 1=0两个实数根，则（x1 X1- 1） （x2 X2- 1）的值为（）A 0B 4C. -1D. 一 4考点：专题：分析根与系数的关系计算题根据一元二次方程的解的定义，将 x1、 x2分别代入原方程，求得

24、xi2=- 2x1+1、 x2 =一x2+1 ；然后根据根与系数的关系求得X1x2=-1；最后将其代入所求的代数式求值即可解答解：:x1、x2 是故选D 点评：此题主要考查了根与系数的关系， 将根与系 数的关系与代数式变形相结 合解题是一种经常使用的解题方法14.设m, n是方程x2-x-2012=0的两个实数根，则 m2+n的值为（）A 1006B 2011C 2012D 2013考点 ：根与系数的关系； 一元二次方程的解分析：利用一元二次方程解的定义，将 x=m 代入已知方程求得m2=m+2012； 然后根据根与系数的关系知m+n=1 ；最后将m2、 m+n 的值代入所求的代数式求值即可解

25、答：解：.1 m, n是方程x2 - x -2012=0 的两个实数根，m2 - m -2012=0，即m2=m+2012；又由韦达定理知,m+n=1 ,m2+n=m+n+2012=1+2012=2013；故选D.点评：本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解.正确理解一元二次方程的解的定义是 解题的关键.二.填空题（共5小题）15. （2014?广州）若关于 x的方程x2+2mx+m 2+3m - 2=0有两个实数根 x1、x2,则x1 （x2+x1） +x22的最小 值为.4考点：根与系数的关系；二次函数的最值.专题：判别式法.分析：由题意可得 =b2- 4ac%，然后根据不等式的最小值

26、计算即可得到结论.解答：解：由题意知，方程x2+2mx+m 2+3m-2=0有两个实数根， 则 =b2-4ac=4m 42(m +3m -2)=8 - 12m 孙. X1 ( X2+X1) 2+X2/、2=(X2+X1)-XX2/ c 、2=(-2m) -(m,+3m -2)=3m2 - 3m+221=3( m m+ 4工)+24当m=，时，有最小值至；4最小值为4;故答案为:点评：本题考查了一元二次方程根 与系数关系，考 查了一元二次 不等式的最值 问题.总结一元二次 方程根的情况 与判别式的 关系： >0?方 程有两个不相 等的实数根；(2) A=0?方 程有两个相等 的实数根；(3

27、) A<0?方 程没有实数根.16. (2013?江阴市一模)若关于 x的一元二次方程 x2+x-3=0的两根为xi, x2,则2xi+2x2+xix2= 5考点：分析：解答:根与系数的关 系.根据根与系数 的关系列式计 算即可求出 x1+x2 与 x1?x2 的值，再整体代 入即可求解.解：根据根与系数的关系可得,点评:17.已知关于Xl?X2= 1 , X1+X2= - 23.则2x1+2x2+x1x2=2 （X1+X2）+x1x2=-2 - 3= - 5.故答案为：-5.本题主要考查 了一元二次方 程的解和根与 系数的关系等 知识，在利用根 与系数的关系X1+X2=、X1?X2=一

28、时，要注意等式中的 a、b、c所表示 的含义.x的方程x22ax+a22a+2=0的两个实数根 X1, x2,满足x12+x22=2,贝U a的值是 1考点：根与系数的关系；根的判别分析:先根据根与系数的关系，根据22X1 +X2 =,2（X1+X2）一2x1x2,即可得到 关于a的方程，求出 a 的值解答：解： 根据一元二次方程的根与系数的关系知：x1+x2=2a，2xix2=a 2a+2.22 x1 +x2 =2（X1+x2）一22x1x2=（ 2a）-2 （a22a+2）=2a2+4a - 4=2.解 a2+2a- 3=0,得 ai=- 3,a2=1又方程有两实数根，再即(2a) 2-4

29、 (a2-2a+2) a解得a. .a= 3 舍去.a=1.点评：应用了根与系数的关系得到方程两根的和与两根的积，根据两根的平方和可以用两根的和与两根的积表示，即可把求 a 的值的问题转化为方程求解的问题18. 一元二次方程 2x2+3x - 1=0和x2- 5x+7=0所有实数根的和为考点：根与系数的关计算题.分析:根据根与系数的关系可知，两根之和等于-两根之积等于一，由两个一元二次方程分 别找出a, b和c 的值，计算出两 根之和，然后再 把所有的根相 加即可求出所 求的值.解答:解：由2x +3x-1=0,得到：a=2, b=3 ,c= - 1, ,.b4ac=9+8=17 >0,

30、即方程有两 个不等的实数 根，设两根分别为x1 和 x2,贝U x1+x2=一由 x2 5x+7=0 ,找出 a=1, b=-5, c=7,b2- 4ac=25 - 28=- 3<0,此方程没有 实数根.综上，两方程所 有的实数根的和为-.2故答案为：-W点评：此题考查了一元二次方程的 根与系数的关系，是一道基础 题.学生必须掌 握利用根与系 数关系的前提 是根的判别式 大于等于0即方 程有实数根.19.已知m、n是关于x的一元二次方程 x2-3x+a=0的两个解，若(m-1) (n-1) = - 6,则a的值为z4 .考点：根与系数的关系.分析：由m、n是关于x的一元二次方 程 x2

31、- 3x+a=0 的两个解，得出m+n=3 , mn=a,整理(m - 1) ( n- 1) = - 6,整体代入求得a的数值即可.解答：解：. m> n是关于x的一元二次方程x2-3x+a=0的两个解，m+n=3 ,mn=a,- .1 ( m-1) n n- 1) = - 6,mn ( m+n)+1= 6即 a 3+1= 6解得a=- 4.故答案为：-4.点评：此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a加)的根与系数的关系：若方程的两根为x1,x2,贝U x1+x2=,x1?x2=一.a a三.解答题(共11小题)20. (2004?重庆)已知关于 x的一元二次方程 x2+ (2m

32、-3) x+m2=0的两个不相等的实数根心3满足十春二1,求m的值.考点：分析:根与系数的关 系；解一元二次 方程-因式分解 法；根的判别解答:解：由判别式大得（2m - 3） 2-4m2> 0,解得m< .4百二首先根据根的 判别式求出m 的取值范围，利 用根与系数的 关系可以求得 方程的根的和 与积，将 专专化 为关于m的方 程，求出m的值 并检验.- a+ = a 3又a+户-（2m2-3）, a =m .代入上式得3-2 2m=m .解之得mi=- 3,点评:m2=l .* ,- m2=1 > ,故4舍去.m= 3.本题主要考查 一元二次方程 根的判别式，根 与系数的

33、关系 的综合运用.21. （1998?内江）是否存在实数 m,使关于x的方程2x2+mx+5=0的两实根的平方的倒数和等于 等？若存25在，求出m;若不存在，说明理由.考点：分析:根与系数的关系；根的判别式.根据根与系数的关系，两实根的平方的倒数和11：:< + 工2）-叼 m2 - 2Q二JJ 二2 2一 /、 2_ 25解答:即可确定m的 取值情况.解：设原方程的两根为XI、x2,则有:x14i2_" 25211 C1H2)- 2患竺 m2 - 202 4-2 =/71= 25耳1箕&(盯工/11 29 £ ?,E-病 yl x2? m2 -20=29,

34、解得m=封，人 2 . =m 4>2>5=m2- 40=2( 2-40=9 0，存在实数勺 使关于原方程 的两实根的平 方的倒数和等于空25点评:利用根与系数 的关系和根的 判别式来解 决.容易出现的 错误是忽视所 求的m的值是 否满足判别式22.已知关于x的方程kx2-2x+3=0有两个不相等的实数根 xi、x2,则当k为何值时，方程两根之比为1 :3?考点：根与系数的关系.分析：利用一元二次方程根与系数的关系可得：23町十2巧,不妨设xi ：x2=1 ： 3,则可得x2=3x1 ,分别代入两个式子，即可求出k的值，再利用一元二次方程根的判别式进行取舍即可.解答：解：由根与系数的

35、关系可得：23不妨设xi：x2=1 ： 3,则可得 x2=3x1 ,分别代入上面两个式子，消去x1和x2 ,整理得：4k2- k=0,解得k=0或,1kW，当k=0时，显然 不合题意，当k=JL时，其判4别式=1泡所以当k=工时，4方程两根之比 为 1 ： 3.点评：本题主要考查一元二次方程 根与系数的关 系，解题的关键 是利用一元二 次方程根与系 数的关系得到 关于k的方程， 注意检验是否 满足判别式大于0.23.已知斜边为 5的直角三角形的两条直角边a、b的长是方程x2- ( 2m - 1) x+4 (m-1) =0的两个根,求m的值.考点：根与系数的关系；勾股定理.分析：先利用一元二次方

36、程根与系 数的关系得：a+b=2m - 1, ab=4 (m - 1), 再由勾股定理 可得 a2+b2=52, 即(a+b) 2 - 2ab=25， 把上面 两个式子代入可得关于m 的方程， 解出 m 的值， 再利用一元二次方程根的判别式满足大于或等于0 及实际问题对所求 m 的值进行取 舍即可解答：解：由一元二次方 程根与系数的关系得： a+b=2m1, ab=4 (m-D,再由勾股定理可得 a2+b2=52， 即(a+b) 2 -2ab=25，把上面两个式子代入可得关于 m 的方程：(2m T) 2-8(m-1) =25,整理可得：m23m 4=0 ,解 得m=4或m=- 1，当m=4或

37、m=一1 一元二次方程 的判别式都大于 0，但当m=-1 时，ab= - 8,不合题意(a， b为三角形的边长， 所以不能为负数)，所以m=4点评：本题主要考查一元二次方程根与系数的关系及勾股定理的应用，解题的关键是得出关于 m 的方程进行求解，容易忽略实际问题所满足的条件而导致错误24.实数k为何值时，方程 x2+ (2k- 1) x+1+k2=0的两实数根的平方和最小，并求出这两个实数根.考点 ：分析：根与系数的关系；根的判别式利用一元二次方程根与系数的关系表示出两实根的平方和，得到一个关于 k 的二次函数，求出取得最小值时 k 的值，再利用根的判别式进行验证解答:解：设方程的两根分别为X

38、1和X2,由一元二次 方程根与系数 的关系可得：k 1 +1- ( 2k - 1) P 工工2口+卜2令=-2 , 2 y则y=(工+ 叼)2 _/ 2=(2k- 1)2-2(1+k2) =2k2-4k- 1=2 (kT)2-3,其为开口向上的二次函数，当k=1时，有最小 值，但当k=1时，一元二次方程的 判别式为=-7<0,所以没有满足涮的k的值，所以该题目无 解.点评：本题主要考查地一元二次方程根与系数的 关系，解题时容 易忽略还需要满足一元二次方程有实数根.25.已知关于x的方程x2+ (2k-1) x-2k=0的两个实数根xi、x2满足xi - x2=2,试求k的值.考点：分析:

39、根与系数的关 系；解一元二次 方程-配方法；根 的判别式.先根据根与系 数的关系，可求 出 xi+x2, x1?x2 的值，再结合xi -x2=2,可求出 k的值，再利用 根的判别式，可 求出k的取值范 围，从而确定k 的值.解答:解：根据题意得bx1+x2=一a(2k - 1),xi ?x2= - 2k,又 x1 - x2=2,.( x1 x2)2=22,，、2一(x1+x2) 一4x1x2=4,，一 、2 (2k- 1)-4 ( - 2k) =4, (2k+1 ) 2=4, - k 1= k2=-2三2又,二(2k- 1)2_Mx .2k) = (2k+1) 2,方程有两个不等的实数根，(

40、2k+1) 2>0, " k 1=2'k2=一点评:元二次方程的两个根x1、X2 具有这样的关系：X1+x2=, aX1?X2=.26.已知x1、X2是方程 x2- kx+k (k+4) =0 的两个根，且满足(X1-1) (x2-1)白44考点：根与系数的关系；根的判别分析:(x1 - 1) (x2 -131)=,即 x1x24一(x1+x2)+ 1=,根据一元二次方程中 根与系数的关 系可以表示出 两个根的和与积，代入X1x2 -（X1+X2）+ 1=豆，即可得到一个关于k的 方程，从而求得 k的值.解答:解：- xi+x2=k, xix2=ik (k+4), a(

41、xi T) (x2 .x1x2- (xi+x2) +T k+1 =解得k二七, 当k=3时，方程为x?-21_3x+-=0, =94-21<0,不合题意舍去； 当k= - 3时，方程为x2+3x -3=0 =9+3 >40,符合题意.故所求k的值为-3.点评：本题考查了根与系数的关系：X1, X2 是一元二 次方程ax2+bx+c=0(a加)的两根时，bX1+X2= ,3X1X2=.注意运 3用根与系数的 关系的前提条件是：一元二次 方程aX2+bX+c=0 的 根的判别式阻27. (2011?南充)关于X的一元二次方程 X2+2X+k+1=0的实数解是X1和X2.(1)求k的取值

42、范围；(2)如果X1+X2- X1X2V - 1且k为整数，求k的值.考点：根与系数的关系；根的判别式；解一元一次 不等式组.专题：代数综合题；压轴题分析：1 ）方程有两个实数根，必须满足 =b2 -4ac%，从而求出实数k 的取值范围；（ 2）先由一元 二次方程根与系数的关系，得xi+x2= - 2, x1x2=k+1 再代入不等式x1+x2-X1X2V T ,即可求得k 的取值范围， 然后根据k 为整数，求出k 的值解答：解：（1） .方程有实数根，.=22 - 4（k+1 ）斗，（2分）解得k旬.故 K 的取值范围是k旬.（4分）（ 2）根据一元二次方程根与系数的关系，得X1+X2= 2

43、,x1x2=k+1（ 5 分）X1+X2 X1X2=一由已知，得-2-（k+1） v - 1,解得 k> - 2. （ 6分）又由（1） k<0,- 2vk孙（7分）. k为整数，k的值为-1和 0 （ 8 分）点评：本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系 在运用一元二次方程根与系数的关系解题时，一定要注意其前提是此方程的判别式书.28. （2012?怀化）已知x1, x2是一元二次方程（a-6） x2+2ax+a=0的两个实数根.（1）是否存在实数 a,使-x1+x1x2=4+x2成立？若存在，求出 a的值；若不存在，请你说明理由;（2）求使（x1+1）（x2+1）为负整数的实

44、数 a的整数值.考点 ：根与系数的关系；根的判别分析：根据根与系数的关系求得X1X2=a - 6|z I 2a X1+X2=;a - 6 根据一元二次 方程的根的判 别式求得a的取 值范围；（1）将已知等 式变形为Xlx2=4+（X2+X1）,即a , 2a=4+a - 63 一 6,通过解该关于 a的方程即可求 得a的值；（2）根据限制 性条件“（X1+1）（X2+1 ）为负整 数”求得a的取 值范围，然后在 取值范围内取a 的整数值.解答:解：X1 , X2 是一元二次方程（a- 6）X2+2aX+a=0 的两个实数根，由根与系数的关系可知，X1X2=讨一 qI 2aX1+X2= a - 6一元二次方程（a 6）2x +2ax+a=0 有 两个实数根， =4a （X1+1） （X2+1 ） =X1X2+（X1