第14讲群表示理论简介

1、第14讲群表示理论简介1.群的表示1,., ,imfRTRTRTRT同一组基下，若，则1,.,GiinG RR对点群在同一组基下，对称操作的矩阵表示的集合 和 的乘法关系相同，也是群1,.,Ginm mm R称集合为点群 的一个维 矩阵表示12,.,nGR RR1）考虑点群112121212122121211221212,.,.,.,., ,.,=,.,=,.,mmmmmmmRffffffRffffffR RfffRffffffRRRR R若，则G显然，点群 的矩阵表示是不唯一的，依赖于维数和基函数1任何点群，都有一个由数字1构成的 维 矩阵群表示，称为 全对称表示，任何标量函数都是全对称表示

2、的基函数 rfrfR1.群的表示222212331,x,2,vfffyxy xyC2）例如，前面已经得到，以为基，可得到点群的矩阵表示如下：100010001E100010001V10002/1230232/13C10002/1230232/1V10002/1230232/123C 10002/1230232/1V3, ,3vxyzx y zC实际上，对点的3维坐标进行变换，我们也能得到点群的一个维的矩阵表示1.群的表示3）等价表示若群的表示 与 的矩阵，以同一相似变换相关联，则 与 为等价表示, , , .,.E A B CEA B C 等价, .P 111AP APBP BPCP CP存在

3、非奇异方阵 ，满足, P 和的维数相同，但不一定是群表示的矩阵221233212,2,3vg ggxxy yC前述示例中，以为基，曾得到点群的另一个维矩阵表示，实际上，与构成等价表示等价表示之间，基函数存在线性变换，表示矩阵之间为相似变换 123123,g g gf ffPPRPR1121.群的表示4）特征标定义：群表示矩阵的迹 对角元素之和 称为特征标 RTrR等价表示，特征标相同 充要条件 ( )( )RRRG 与 等价，相似矩阵的迹相同点群中，同一共轭类的操作，特征标相同 -1 ,=,A BXGA X BXTrTrTrTrAB-1-1-1A = X BXAX BXBX XB若共轭，则存在

4、，满足及 31233,3,()()0,()()()1vVVVCECC 例：对点群的表示1.群的表示4）可约与不可约表示矩阵直和10002/1230232/13C 331/ 23 2=1 =3 21/ 2abCC100010001E100010001V10002/1230232/13C10002/1230232/1V10002/1230232/123C 10002/1230232/1V3vC例：的矩阵表示,.abab333EEECCC均可表示成直和形式：1.群的表示根据线性代数知识，方块化矩阵乘法为方块对方块的乘法方块间的乘法关系和整个矩阵相同 每组子方块矩阵均构成点群的一个 低维 表示32 2

5、331 11/ 23 201/ 23 203 21/ 203 21/ 2000100100aavvbbv C C C 例：.,:.,:2b23b3ba3a3aC,C,ECCEbaab 表示 为两个低维表示的直和1.群的表示000000.iRR -1iX R XR,iXR：若存在相似变换 ，对 中所有定义均有所有矩阵能以相同方式对角方块化(表示成直和)G则称 是群 的可约表示，否则是不可约的ab前述示例中， 为可约表示，及均为不可约表示 一个群可以有无穷多个矩阵表示，但其中很多是等价表示，对于相互等价的表示，我们只需研究其中的一个，特征标是重要量 一个群可以有很多个不等价表示，但其中很多是可约的

6、，对于可约表示，我们可以将其约化为不可约表示的直和 因此研究群的性质，只需研究其不等价不可约表示的性质。对于有限阶的群，其不等价的不可约表示是有限的2.特征标表332221222232111,111210,vvzxyCECAzxyzARExyRRxyxyxzyz1次齐次函数次齐次函数不可约表示符号 jR基函数示例：可判断轨道对称性不可约表示的慕利肯记号 n22ABET F1;111;1;21;11111nvvhhACBCCCgiui 一维表示： 或 ；二维表示： ；三维表示：下标下标上标；上标下标；下标3.不可约表示性质1）广义正交定理（矩阵元正交定理） * jjjjmmnnRmnmnj jh

7、RRl l , ,:mnjjjmnj jl lRR：不可约表示；：相应维数，h为群的阶的矩阵表示中的第矩阵元11333111231,2vaaCCC例的表示中，100010001E100010001V10002/1230232/13C10002/1230232/1V10002/1230232/123C 10002/1230232/1V3.不可约表示性质 一些推论性质（证明略）： 22*123=jjjjjkjkRjEhlhRRh纵和横和方阵：数目 类数目112()(),(),()()jm njmnjmnjhmnjjmmnnjjjhm nRhhRRRllR 可将定理改写为：不可约表示的每一套矩阵元构

8、成h维空间的一个向量，广义正交定理告诉我们，这些向量是彼此正交的（可以用C3v检验）331223111111210vvCECAAE4.可约表示分解?jjjjaa 问题：，直和，对角方块化 *1jjRaRRh结论： *11=jkkkjkjRkkRRaRaRRahhjkh331223111111210vvCECAAE 1,2, ,313,0,1a b cvEC 11113312236112316AAAvAvaEECC 230,1AEaa同理，1AE 3vC例：的矩阵表示*5.直积表示1）矩阵的直接乘积 其中， 特征标： 11121311121112212223212221226 6313233bb

9、baaaabbbaaaabbbBBABBB22211211aaaaA333231232221131211bbbbbbbbbB211113111211111111babababaa B)()()()()(2211BABBBAaa推广：直积矩阵的特征标等于两个直因子矩阵的特征标的普通乘积 2）直积表示 1212122 2,ffffR ffff R 以为基，表示 1231231233 3,=,gg ggR g ggg gg gR 以为基，表示111213212223,2 36f gf gf gf gf gf g 以全部乘积函数为基，可以支撑 起一个维的函数空间，它是对称操作R的不变空间112311236 6,R f gf gf gf gfgR 可以证明：*5.直积表示fgfgRRR即：直积表示矩阵为因子表示矩阵的直积fgfgfg 得到的表示称为和的直积表示，记为3）直积表示的特征标等于直因子表示的特征标的普通乘积*5.直积表示)()()(RRRjiji例： 显然，一维表示的自身直积是全对称表示 证明： 111ijAARaRRh ,111=1ijijijijijRRRRRRRRRhhhRRh *5.直积表示