第三章静电场的边值问题

1、第三章第三章 静电场的边值问题静电场的边值问题电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章第三章 静电场的边值问题静电场的边值问题 主主 要要 内内 容容电位微分方程、镜像法、分离变量法电位微分方程、镜像法、分离变量法。1. 电位微分方程电位微分方程2. 镜像法镜像法 3. 直角坐标系中的分离变量法直角坐标系中的分离变量法4. 圆柱坐标系中的分离变量法圆柱坐标系中的分离变量法 5. 球坐标系中的分离变量法球坐标系中的分离变量法 第三章第三章 静电场的边值问题静电场的边值问题电磁场与电磁波电磁场与电磁波1. 1. 电位微分方程电位微分方程已知电位已知电位 与电场强度与电场强度 E 的关系为的关系为 E对上

2、式两边取散度，得对上式两边取散度，得 2 E 对于对于线性各向同性线性各向同性的的均匀均匀介质，电场强度介质，电场强度E 的散度为的散度为 E那么，电位满足的微分方程式为那么，电位满足的微分方程式为 2泊松方程泊松方程 第三章第三章 静电场的边值问题静电场的边值问题电磁场与电磁波电磁场与电磁波拉普拉斯方程拉普拉斯方程202对于对于无源区无源区， ，上式变为，上式变为0VVd|)(41)( rrrr 已知分布在已知分布在V 中的电荷中的电荷 在在无限大无限大的自由的自由空间产生的电位为空间产生的电位为)(r上式为上式为泊松方程泊松方程在在自由空间自由空间的的特解特解。 利用利用格林函数格林函数可

3、以求出可以求出泊松方程在泊松方程在有限空间有限空间的的通解通解。第三章第三章 静电场的边值问题静电场的边值问题电磁场与电磁波电磁场与电磁波 静电场与静电场与时间时间无关，因此电位所满足的泊松方程无关，因此电位所满足的泊松方程及拉普拉斯方程的解及拉普拉斯方程的解仅仅决定于决定于边界条件边界条件。定解条件定解条件初始条件初始条件边界条件边界条件数学物理方程描述物理量随数学物理方程描述物理量随时间时间和和空间空间的变化特性。的变化特性。 根据给定的边界条件求解空间任一点的电位就是根据给定的边界条件求解空间任一点的电位就是静电场的静电场的边值问题边值问题。 此处边界条件实际上是指给定的此处边界条件实际

4、上是指给定的边值边值，它不同于，它不同于前一章描述静电场的边界上场量前一章描述静电场的边界上场量变化变化的边界条件。的边界条件。第三章第三章 静电场的边值问题静电场的边值问题电磁场与电磁波电磁场与电磁波边界条件有边界条件有三种三种类型：类型： 第第二二类边界条件是给定边界上物理量的类边界条件是给定边界上物理量的法向导数法向导数值值，这种边值问题又称为，这种边值问题又称为诺依曼诺依曼问题。问题。 第第三三类边界条件是给定一部分边界上的类边界条件是给定一部分边界上的物理量物理量及及另一部分边界上物理量的另一部分边界上物理量的法向导数值法向导数值，这种边界条件，这种边界条件又称为又称为混合混合边界条

5、件。边界条件。 第第一一类边界条件给定的是边界上的类边界条件给定的是边界上的物理量物理量，这种，这种边值问题又称为边值问题又称为狄里赫利狄里赫利问题。问题。第三章第三章 静电场的边值问题静电场的边值问题电磁场与电磁波电磁场与电磁波解的解的存在存在、稳定稳定及及惟一性惟一性问题。问题。 泊松方程及拉普拉斯方程解的稳定性在数学中已泊松方程及拉普拉斯方程解的稳定性在数学中已经得到经得到证明证明。 惟一性惟一性是指在给定的定解条件下所求得的解是否是指在给定的定解条件下所求得的解是否是惟一的。是惟一的。 稳定性稳定性是指当定解条件发生微小变化时，所求得是指当定解条件发生微小变化时，所求得的解是否变化很大

6、。的解是否变化很大。存在存在是指在给定的定解条件下，方程是否有解。是指在给定的定解条件下，方程是否有解。 静电场是静电场是客观客观存在的，因此电位微分方程解的存在存在的，因此电位微分方程解的存在确信无疑。确信无疑。可以证明电位微分方程解可以证明电位微分方程解具有具有惟一性。惟一性。第三章第三章 静电场的边值问题静电场的边值问题电磁场与电磁波电磁场与电磁波 若静电场的边界为导体，此时给定导体上的若静电场的边界为导体，此时给定导体上的电位电位就是就是第一类第一类边界。边界。已知已知Sn 因此，对于导体边界，当边界上的因此，对于导体边界，当边界上的电位电位，或电位，或电位的的法向导数法向导数给定时，

7、或导体给定时，或导体表面电荷表面电荷给定时，空间的给定时，空间的静电场即被惟一地确定静电场即被惟一地确定。这个结论称为。这个结论称为静电场惟一性静电场惟一性定理定理。可见，表面电荷给定等于给定了电位的法向导数值。可见，表面电荷给定等于给定了电位的法向导数值。因此，若给定导体表面上的因此，若给定导体表面上的电荷量电荷量就是就是第二类第二类边界。边界。第三章第三章 静电场的边值问题静电场的边值问题电磁场与电磁波电磁场与电磁波 静电场的静电场的边值问题边值问题 根据给定的根据给定的边界条件边界条件求求解静电场的解静电场的电位分布电位分布。 对于对于线性各向同性线性各向同性的的均匀均匀介质，介质，有源

8、有源区中的区中的电位电位满足满足泊松方程泊松方程方程方程 2在在无源无源区，电位满足区，电位满足拉普拉斯拉普拉斯方程方程02利用利用格林函数格林函数，可以求解，可以求解泊松方程。泊松方程。利用利用分离变量法分离变量法可以求解可以求解拉普拉斯方程。拉普拉斯方程。求解静电场边值问题的另一种求解静电场边值问题的另一种简单简单方法是方法是镜像法镜像法。第三章第三章 静电场的边值问题静电场的边值问题电磁场与电磁波电磁场与电磁波2. 镜像法镜像法 实质实质: : 以一个或几个以一个或几个等效电荷等效电荷代替边界的影响，代替边界的影响，将原来具有边界的将原来具有边界的非均匀非均匀空间变成无限大的空间变成无限

9、大的均匀均匀自自由空间，从而使计算过程大为由空间，从而使计算过程大为简化简化。 这些等效电荷通常处于原电荷的这些等效电荷通常处于原电荷的镜像位置镜像位置，因，因此称为此称为镜像电荷镜像电荷，而这种方法称为，而这种方法称为镜像法镜像法。第三章第三章 静电场的边值问题静电场的边值问题电磁场与电磁波电磁场与电磁波 依据：惟一性依据：惟一性定理。等效电荷的引入不能改变定理。等效电荷的引入不能改变原来的原来的边界条件边界条件。关键：关键：确定镜像电荷的大小及其位置。确定镜像电荷的大小及其位置。 局限性：局限性：仅仅对于某些仅仅对于某些特殊特殊的的边界边界以及以及特殊特殊的的电荷分布电荷分布才有可能确定其

10、镜像电荷。才有可能确定其镜像电荷。 第三章第三章 静电场的边值问题静电场的边值问题电磁场与电磁波电磁场与电磁波（1）点电荷）点电荷与与无限大的导体平面无限大的导体平面 介质介质 导体导体 q r P 介质介质 q r P hhrq 介质介质 以一个以一个镜像镜像点电荷点电荷q代替边界的影响，使整个空间代替边界的影响，使整个空间变成变成均匀均匀的介电常数为的介电常数为 的空间，则空间任一点的空间，则空间任一点 P 的电的电位由位由 q 及及 q 共同产生，即共同产生，即 rqrq 4 4qq无限大无限大导体平面的电位为零导体平面的电位为零第三章第三章 静电场的边值问题静电场的边值问题电磁场与电磁

11、波电磁场与电磁波（1）点电荷）点电荷与与无限大的导体平面无限大的导体平面 介质介质 导体导体 q r P 介质介质 q r P hhrq 介质介质 以一个以一个镜像镜像点电荷点电荷q代替边界的影响，使整个空间代替边界的影响，使整个空间变成变成均匀均匀的介电常数为的介电常数为 的空间，则空间任一点的空间，则空间任一点 P 的电的电位由位由 q 及及 q 共同产生，即共同产生，即 rqrq 4 4qq无限大无限大导体平面的电位为零导体平面的电位为零第三章第三章 静电场的边值问题静电场的边值问题电磁场与电磁波电磁场与电磁波 电场线电场线与与等位面等位面的分布特性与的分布特性与电偶极子电偶极子的的上半

12、上半部分部分完全相同。完全相同。电场线电场线等位线等位线 z 第三章第三章 静电场的边值问题静电场的边值问题电磁场与电磁波电磁场与电磁波* * 根据根据电荷守恒定律电荷守恒定律，镜像点电荷的电荷量应该，镜像点电荷的电荷量应该等等于于导体表面上感应电荷的总电荷量。（怎么去证明）导体表面上感应电荷的总电荷量。（怎么去证明）* * 上述等效性仅对于导体平面的上述等效性仅对于导体平面的上半空间上半空间成立，因成立，因为在上半空间中，为在上半空间中，源源及及边界条件边界条件未变。未变。 介质介质 导体导体 q r P 介质介质 q r P hhrq 介质介质 第三章第三章 静电场的边值问题静电场的边值问

13、题电磁场与电磁波电磁场与电磁波q 对于半无限大导体平面形成的对于半无限大导体平面形成的劈形边界劈形边界也可应用也可应用镜像法。但是为了保证这种劈形边界的电位为零，必镜像法。但是为了保证这种劈形边界的电位为零，必须引入须引入几个几个镜像电荷。镜像电荷。例如，夹角为例如，夹角为 的导电劈需引入的导电劈需引入 5 个镜像电荷。个镜像电荷。3/3/3q第三章第三章 静电场的边值问题静电场的边值问题电磁场与电磁波电磁场与电磁波 位于无限大的导体平面附近的位于无限大的导体平面附近的线电荷线电荷，根据叠，根据叠加原理得知，同样可以应用镜像法求解。加原理得知，同样可以应用镜像法求解。 仅当这种导体劈的夹角等于

14、仅当这种导体劈的夹角等于 的的整数整数分之一时，分之一时，才可求出其镜像电荷。才可求出其镜像电荷。为什么为什么？lll第三章第三章 静电场的边值问题静电场的边值问题电磁场与电磁波电磁场与电磁波（2）点电荷）点电荷与与导体球导体球 若导体球若导体球接地接地，导体球，导体球的电位为的电位为零零。令镜像点电荷。令镜像点电荷q 位于球心与点电荷位于球心与点电荷 q 的连的连线上，那么球面上任一点电线上，那么球面上任一点电位为位为 rqrq 4 4 为了保证球面上任一点电位为为了保证球面上任一点电位为零零，必须选择镜，必须选择镜像电荷为像电荷为 qrrqqfOPadrqr第三章第三章 静电场的边值问题静

15、电场的边值问题电磁场与电磁波电磁场与电磁波 为了使镜像电荷具有一个为了使镜像电荷具有一个确定确定的值，必须要求的值，必须要求比值比值 对于球面上任一点均具有同一数值。对于球面上任一点均具有同一数值。rr 若若 OPq OqP ，则，则常数farr镜像电荷离球心的距离镜像电荷离球心的距离d 应为应为 fad2qfaq求得镜像电荷为求得镜像电荷为qfOPadrqr第三章第三章 静电场的边值问题静电场的边值问题电磁场与电磁波电磁场与电磁波qfaq利用球面和轴相交的点（利用球面和轴相交的点（A，B）电位相）电位相等，直接求等，直接求d和和q方法方法2：A点电位：点电位：4 ()4 ()Aqqfaad

16、B点电位：点电位：4 ()4 ()Bqqfaad 联立解二个方程得到：联立解二个方程得到：2adf第三章第三章 静电场的边值问题静电场的边值问题电磁场与电磁波电磁场与电磁波球面感应电荷面密度和感应电荷总量球面感应电荷面密度和感应电荷总量：P点电位：点电位：124 4 qqrr 由余弦定理得：由余弦定理得：22122222222cos2cos2cosrfrfrrfrdraarrff第三章第三章 静电场的边值问题静电场的边值问题电磁场与电磁波电磁场与电磁波212222221(2cos )2cos4qaaafafrrrfff 对应的感应电荷密度为：对应的感应电荷密度为：223222()4(2cos

17、)snnrr aDEEq afa fafr感应电荷则对整个金属球表面积分：感应电荷则对整个金属球表面积分：2200(sin)ssSadSad dqf 第三章第三章 静电场的边值问题静电场的边值问题电磁场与电磁波电磁场与电磁波感应电荷感应电荷2200(sin)ssSadSad dqf qfaq说明感应电荷恰好为镜像电荷说明感应电荷恰好为镜像电荷q。由于用。由于用q代替代替接地导体球后，导体球外的电场、电位分布不接地导体球后，导体球外的电场、电位分布不发生任何改变，因此，紧靠导体球（但是在球外）发生任何改变，因此，紧靠导体球（但是在球外）做一个封闭面，那么，不论闭合面的是镜像前做一个封闭面，那么，

18、不论闭合面的是镜像前还是镜像后的变化情况，通过闭合面的总的通量还是镜像后的变化情况，通过闭合面的总的通量都是相等的。都是相等的。即接地球面上的感应电荷量与镜像电荷量相等即接地球面上的感应电荷量与镜像电荷量相等第三章第三章 静电场的边值问题静电场的边值问题电磁场与电磁波电磁场与电磁波 若导体球若导体球不接地不接地，则其电，则其电位位不为零不为零。q 的的位置位置和和量值量值应该如何应该如何? ? 由由q 及及 q 在球面边界上在球面边界上形成的电位为形成的电位为零零，因此必须再，因此必须再引入一个镜像电荷引入一个镜像电荷q 以产生一以产生一定的电位定的电位。q0第三章第三章 静电场的边值问题静电

19、场的边值问题电磁场与电磁波电磁场与电磁波以保证导体球表面上总电荷以保证导体球表面上总电荷量为量为零值零值。 为了保证球面边界是一个为了保证球面边界是一个等位面等位面，镜像电荷，镜像电荷 q 必须位于必须位于球心球心。qq 为了满足为了满足电荷守恒定律电荷守恒定律，第二个镜像电荷第二个镜像电荷q 必须为必须为导体球的电位导体球的电位? ?fqaq 4 4 qq q第三章第三章 静电场的边值问题静电场的边值问题电磁场与电磁波电磁场与电磁波l（3）线电荷）线电荷与与带电的导体圆柱带电的导体圆柱 在圆柱轴线与线电在圆柱轴线与线电荷之间，离轴线的距离荷之间，离轴线的距离d 处，平行放置一根镜处，平行放置

20、一根镜像线电荷像线电荷 。l因此，离线电荷因此，离线电荷 r 处，以处，以 为参考点的电位为为参考点的电位为 0r0 0 dln2rlrrE rr PafdrlOrlreE 2已知无限长线电荷产生的电场强度为已知无限长线电荷产生的电场强度为 ， 第三章第三章 静电场的边值问题静电场的边值问题电磁场与电磁波电磁场与电磁波 若令镜像线电荷若令镜像线电荷 产生的电位也取产生的电位也取相同相同的的 作为参考点，则作为参考点，则 及及 在圆柱面上在圆柱面上P点共同产点共同产生的生的电位电位为为l0rllrrrrllP00ln2ln2rrlln2已知导体圆柱是一个已知导体圆柱是一个等位体等位体，必须要求比

21、值，必须要求比值rr常数adfarr与前同理，可令与前同理，可令fad2第三章第三章 静电场的边值问题静电场的边值问题电磁场与电磁波电磁场与电磁波 （4）点电荷）点电荷与与无限大的介质平面无限大的介质平面 E 1 1qr0EtEnEEtEn0rq 2 2q0r nE tE E 1 2qeten=+ 对于对于上半空间上半空间，可用镜像电荷，可用镜像电荷 q 等效边界上束缚电等效边界上束缚电荷的作用，将整个空间变为介电常数为荷的作用，将整个空间变为介电常数为1的的均匀均匀空间。空间。 对于对于下半空间下半空间，可用位于原点电荷处的，可用位于原点电荷处的 q 等效原来等效原来的点电荷的点电荷q与边界

22、上束缚电荷的共同作用，将整个空间变与边界上束缚电荷的共同作用，将整个空间变为介电常数为为介电常数为2 的的均匀均匀空间。空间。 第三章第三章 静电场的边值问题静电场的边值问题电磁场与电磁波电磁场与电磁波 必须迫使所求得的场符合必须迫使所求得的场符合边界条件边界条件，即电场切，即电场切向分量和电通密度的法向分量应该保持连续，即向分量和电通密度的法向分量应该保持连续，即 1t1t2tEEEn21n1nDDD 已知各个点电荷产生的电场强度分别为已知各个点电荷产生的电场强度分别为rrqeE2114rrqeE211)(4rrq eE222)(4代入上述边界条件，求得镜像电荷如下：代入上述边界条件，求得镜

23、像电荷如下：qq2121qq2122 第三章第三章 静电场的边值问题静电场的边值问题电磁场与电磁波电磁场与电磁波 例例 已知同轴线的内导体半径为已知同轴线的内导体半径为a，电压为，电压为U，外导外导体接地，其内半径为体接地，其内半径为b。试求内外导体之间的电位分布试求内外导体之间的电位分布函数以及电场强度。函数以及电场强度。 解解 对于该边值问题，镜像法对于该边值问题，镜像法不不适适用，只好求解电位方程。用，只好求解电位方程。0dddd12rrrr21lnCrC求得求得UbaO 选用选用圆柱圆柱坐标系。由于场量仅坐标系。由于场量仅与坐标与坐标 r 有关，因此，电位所满足有关，因此，电位所满足的

24、拉普拉斯方程变为的拉普拉斯方程变为第三章第三章 静电场的边值问题静电场的边值问题电磁场与电磁波电磁场与电磁波利用边界条件：利用边界条件：arUbr0baUCln1babUClnln2babrUlnlnbaUrrrrlneeE最后求得最后求得12lnCaCU求得求得12ln0CbC第三章第三章 静电场的边值问题静电场的边值问题电磁场与电磁波电磁场与电磁波 为了利用给定的边界条件，选择适当的为了利用给定的边界条件，选择适当的坐标系坐标系是非是非常重要的。常重要的。对于上述一维微分方程，可以采用对于上述一维微分方程，可以采用直接积分方法直接积分方法。 分离变量法分离变量法是将原先的三维是将原先的三维

25、偏偏微分方程通过变量分微分方程通过变量分离简化为三个独立的离简化为三个独立的常常微分方程，从而简化求解过程。微分方程，从而简化求解过程。 为了求解为了求解三维三维拉普拉斯方程，一种有效的方法就是拉普拉斯方程，一种有效的方法就是分离变量法分离变量法。分离变量法对于分离变量法对于11种坐标系都是行之有效的。种坐标系都是行之有效的。第三章第三章 静电场的边值问题静电场的边值问题电磁场与电磁波电磁场与电磁波3. 直角坐标系中的分离变量法直角坐标系中的分离变量法 0222222zyx在直角坐标系中，拉普拉斯方程展开式为在直角坐标系中，拉普拉斯方程展开式为 )()()() , ,(zZyYxXzyx令令0

26、dd1dd1dd1222222zZZyYYxXX式中的左边各项仅与一个变量有关。因此，将上式对式中的左边各项仅与一个变量有关。因此，将上式对变量变量 x 求导，第二项及第三项均为求导，第二项及第三项均为零零，求得第一项对，求得第一项对 x 的导数为零，说明了第一项等于的导数为零，说明了第一项等于常数常数。代入上式，两边再除以代入上式，两边再除以 ，得得 ( ) ( ) ( )X x Y y Z z第三章第三章 静电场的边值问题静电场的边值问题电磁场与电磁波电磁场与电磁波 同理，再分别对变量同理，再分别对变量 y 及及 z 求导，得知第二项及求导，得知第二项及第三项也分别等于第三项也分别等于常数

27、常数。222 , ,zyxkkk令各项的常数分别为令各项的常数分别为 ，求得，求得0dd1dd1dd1222222zZZyYYxXX0dd222XkxXx 0dd222YkyYy0dd222ZkzZz式中，式中，kx ，ky ，kz 称为称为分离常数分离常数，它们可以是，它们可以是实实数或数或虚虚数。数。三个分离常数不是独立的，必须满足下列方程三个分离常数不是独立的，必须满足下列方程0222zyxkkk第三章第三章 静电场的边值问题静电场的边值问题电磁场与电磁波电磁场与电磁波由上可见，经过变量分离后，三维由上可见，经过变量分离后，三维偏偏微分方程式被简微分方程式被简化为三个一维化为三个一维常常

28、微分方程。常微分方程的求解较为简微分方程。常微分方程的求解较为简便，而且三个常微分方程又具有同一结构，因此它们便，而且三个常微分方程又具有同一结构，因此它们解的形式也一定相同。解的形式也一定相同。xkDxkCxXxxcossin)(或者或者式中，式中，A, B, C, D为为待定常数待定常数。0dd222XkxXx 0dd222YkyYy0dd222ZkzZzxkxkxxBAxXjjee)(例如，含变量例如，含变量 x 的常微分方程的的常微分方程的通解通解为为第三章第三章 静电场的边值问题静电场的边值问题电磁场与电磁波电磁场与电磁波当当kx为虚数时，令为虚数时，令 ，则上述通解变为，则上述通解

29、变为 jxkxxBAxXee)(xDxCxX cosh sinh)(或者或者含变量含变量 x 或或 y 的的常微分方程的解完全相同。常微分方程的解完全相同。解中解中待定常数待定常数也取决于给定的也取决于给定的边界条件边界条件。解的解的形式形式的选择决取于给定的的选择决取于给定的边界条件边界条件。 这些解的这些解的线性组合线性组合仍然是方程的解。通常为仍然是方程的解。通常为了满足给定的边界条件，必须取其线性组合作为了满足给定的边界条件，必须取其线性组合作为方程的解。方程的解。第三章第三章 静电场的边值问题静电场的边值问题电磁场与电磁波电磁场与电磁波例例 两个相互平行的半无限大接地导体平面，间距两

30、个相互平行的半无限大接地导体平面，间距为为 d ，其有限端被电位为其有限端被电位为 0 的导电平面封闭，且的导电平面封闭，且与半无限大接地导体平面绝缘，如图所示。试求三与半无限大接地导体平面绝缘，如图所示。试求三个导体平面形成的个导体平面形成的槽中电位槽中电位分布。分布。 Odxy = 0 = 0 = 0电位满足的拉普拉斯方程变为电位满足的拉普拉斯方程变为 02222yx解解 选取选取直角直角坐标系。坐标系。槽中电位分布与槽中电位分布与 z 无无关，这是一个关，这是一个二维场二维场的问题。的问题。第三章第三章 静电场的边值问题静电场的边值问题电磁场与电磁波电磁场与电磁波)()() ,(yYxX

31、yx应用应用分离变量法分离变量法，令，令为了满足为了满足 及及 ，Y(y) 的解应为的解应为 0) ,(dx0) 0 ,(xykBykAyYyycossin)(槽中电位满足的边界条件为槽中电位满足的边界条件为0) , 0(y0) ,(y0)0 ,(x 0) ,(dx因为因为 y = 0 时，电位时，电位 = 0，因此上式中常数因此上式中常数 B = 0。为了满足为了满足 ，分离常数，分离常数 ky 应为应为 0) ,(dx 3, 2, 1, ,ndnky第三章第三章 静电场的边值问题静电场的边值问题电磁场与电磁波电磁场与电磁波ydnAyYsin)(求得求得已知已知 ，求得，求得022yxkkd

32、nkxj可见，分离常数可见，分离常数 kx 为为虚数虚数，故，故 X(x) 的解应为的解应为xdnxdnDCxXee)(式中的常数式中的常数 C 应为零应为零？ydnCyxxdnsine),(那么那么式中的常数式中的常数 C = AD 。xdnDxXe)(求得求得第三章第三章 静电场的边值问题静电场的边值问题电磁场与电磁波电磁场与电磁波因因 x = 0 时，时，电位电位 = 0 ，得，得 ydnCsin0上式右端为上式右端为变量变量，但左端为，但左端为常量常量，因此不能成立。这，因此不能成立。这就表明此式不能满足给定的边界条件就表明此式不能满足给定的边界条件。因此，必须取因此，必须取上式的上式

33、的线性组合线性组合作为电位方程的解。作为电位方程的解。为了满足为了满足 x = 0， = 0 ，由上式得由上式得 dyydnCnn0 ,sin10ydnCyxnxdnnsine),(1即即第三章第三章 静电场的边值问题静电场的边值问题电磁场与电磁波电磁场与电磁波Odxy = 0 = 0 = 0利用傅里叶级数的利用傅里叶级数的正交性正交性，求出系数，求出系数 Cn 为为04 0 nnCnn为数为数奇偶041( , )esin, 1,3,5,nxdnnx yynnd求得槽中电位分布函数为求得槽中电位分布函数为 电场线电场线等位面等位面dyydnCnn0 ,sin10第三章第三章 静电场的边值问题静

34、电场的边值问题电磁场与电磁波电磁场与电磁波4. 圆柱坐标系中的分离变量法圆柱坐标系中的分离变量法 在圆柱坐标系中，电位微分方程展开式为在圆柱坐标系中，电位微分方程展开式为 01122222zrrrrr令令)()()(),(zZrRzr0dddd1dddd22222zZZrrRrrRr求得求得上式中只有第二项为变量上式中只有第二项为变量 的函数，因此将上式对的函数，因此将上式对 求导，得知第二项对求导，得知第二项对 的导数为的导数为零零，可见第二项应为，可见第二项应为常数常数。222dd1k令令第三章第三章 静电场的边值问题静电场的边值问题电磁场与电磁波电磁场与电磁波0dd222k即即式中的式中

35、的 k 为分离常数，为分离常数，它可以是它可以是实数实数或或虚数虚数。令令 ，m 为整数，则上式的解为为整数，则上式的解为mkmBmAcossin)(考虑到考虑到 ，以及上式，则前述方程可表示为，以及上式，则前述方程可表示为mk0dd1dddd12222zZZrmrRrrRr02 变量变量 的变化范围为的变化范围为 ，因此，上式的解，因此，上式的解一定是一定是三角三角函数，且常数函数，且常数 k 一定为整数。一定为整数。第三章第三章 静电场的边值问题静电场的边值问题电磁场与电磁波电磁场与电磁波上式第一项仅为变量上式第一项仅为变量 r 的函数，第二项仅为变量的函数，第二项仅为变量 z 的的函数，

36、因此，它们应为常数。函数，因此，它们应为常数。式中的分离常数式中的分离常数 kz 可可为为实数实数或或虚数虚数，其解可为，其解可为三角三角函数、函数、双曲双曲函数或函数或指数指数函数。函数。式中的式中的C, D 为待定常数。为待定常数。 zkDzkCzZzzcossin)(当当kz为实数时，可令为实数时，可令222dd1zkzZZ令令0dd222ZkzZz0dd1dddd12222zZZrmrRrrRr第三章第三章 静电场的边值问题静电场的边值问题电磁场与电磁波电磁场与电磁波将变量将变量 z 的的方程代入前式，得方程代入前式，得 0)(dddd222222RmrkrRrrRrz若令若令 ，则上

37、式变为，则上式变为 222xrkz0)(dddd2222RmxxRxxRx上式为标准的上式为标准的贝塞尔方程贝塞尔方程，其解为，其解为贝塞尔函数贝塞尔函数，即，即 )(N)(J)(rkFrkErRzmzm式中，式中， 为为 m 阶第阶第一一类贝塞尔函数；类贝塞尔函数； 为为m阶第阶第二二类贝塞尔函数。当类贝塞尔函数。当r = 0 时，时， 。因此，。因此，当场区包括当场区包括 r = 0 时，只能取第时，只能取第一一类贝塞尔函数。类贝塞尔函数。 )(Jrkzm)(Nrkzm)(Nrkzm第三章第三章 静电场的边值问题静电场的边值问题电磁场与电磁波电磁场与电磁波J2(x)J1(x)J3(x)J0

38、(x)第第一一类贝塞尔函数类贝塞尔函数x第三章第三章 静电场的边值问题静电场的边值问题电磁场与电磁波电磁场与电磁波N3(x)N1(x)N0(x)N2(x)第第二二类贝塞尔函数类贝塞尔函数x第三章第三章 静电场的边值问题静电场的边值问题电磁场与电磁波电磁场与电磁波 至此，我们分别求出了至此，我们分别求出了R(r) ,() , Z(z) 的解，而的解，而电位微分方程的通解应为三者电位微分方程的通解应为三者乘积乘积，或取其，或取其线性组合线性组合。 若静电场与变量若静电场与变量 z 无关，则无关，则 。那么电位微。那么电位微分方程变为分方程变为0zk0dddd2222RmrRrrRr此方程的解为指数

39、函数，即此方程的解为指数函数，即 mmFrErrR)( 若又与变量若又与变量 无关，则无关，则 m = 0。那么，电位微分方那么，电位微分方程的解为程的解为 00ln)(BrArR第三章第三章 静电场的边值问题静电场的边值问题电磁场与电磁波电磁场与电磁波 考虑到以上各种情况，考虑到以上各种情况，电位微分方程电位微分方程的解可取的解可取下列下列一般形式一般形式 011( , )ln(sincos) (sincos)mmmmmmmmrArrAmBmrCmDm例例 设一根无限长的导体圆柱设一根无限长的导体圆柱位于均匀静电场中，电场强度位于均匀静电场中，电场强度方向垂直于导体圆柱。试求导方向垂直于导体

40、圆柱。试求导体圆柱体圆柱外外的电场强度。的电场强度。 x yaE0O第三章第三章 静电场的边值问题静电场的边值问题电磁场与电磁波电磁场与电磁波 解解 选取圆柱坐标系。令选取圆柱坐标系。令 z 轴为轴为圆柱轴线，电场强度的方向与圆柱轴线，电场强度的方向与 x 轴轴一致，即一致，即 xE eE00 当导体圆柱处于当导体圆柱处于静电平衡静电平衡时，圆柱内的电场强度时，圆柱内的电场强度为零，圆柱为等位体，圆柱表面电场强度切向分量为为零，圆柱为等位体，圆柱表面电场强度切向分量为零，且柱外的电位分布函数应与零，且柱外的电位分布函数应与z 无关。无关。x yaE0O 解的形式可取前述一般形式，但应满足两个边

41、界解的形式可取前述一般形式，但应满足两个边界条件。条件。第三章第三章 静电场的边值问题静电场的边值问题电磁场与电磁波电磁场与电磁波 圆柱表面电场强度的切向分量为零。圆柱表面电场强度的切向分量为零。0ar求得求得 无限远处的电场未受到扰动。无限远处的电场未受到扰动。 此式表明，无限远处电位函数仅为此式表明，无限远处电位函数仅为cos 的函数。的函数。01arreE即即cos) ,(00rExE因此因此第三章第三章 静电场的边值问题静电场的边值问题电磁场与电磁波电磁场与电磁波011( , )ln(sincos) (sincos)mmmmmmmmrArrAmBmrCmDm为了满足为了满足，系数，系数

42、 ，且，且 m = 1。00mmCAAcoscos),(11rDrBr因此电位函数应为因此电位函数应为01EB201aED 那么，根据边界条件即可求得系数那么，根据边界条件即可求得系数 B1，D1 应为应为第三章第三章 静电场的边值问题静电场的边值问题电磁场与电磁波电磁场与电磁波代入前式，求得圆柱外电位分布函数为代入前式，求得圆柱外电位分布函数为 coscos),(200raErEr则圆柱外电场强度为则圆柱外电场强度为 zrrzreeeE12200221cos 1sin raaEErree第三章第三章 静电场的边值问题静电场的边值问题电磁场与电磁波电磁场与电磁波x yaE0O圆柱外圆柱外电场线

43、电场线、等位面等位面以及圆柱表面的以及圆柱表面的电荷分布电荷分布电场线电场线等位面等位面第三章第三章 静电场的边值问题静电场的边值问题电磁场与电磁波电磁场与电磁波)()()(),(rRr令令0dd1ddsinddsinddddsin2222rRrrR代入上式，得代入上式，得5. 球坐标系中的分离变量法球坐标系中的分离变量法 在球坐标系中，电位微分方程的展开式为在球坐标系中，电位微分方程的展开式为0sin1sinsin112222222rrrrrr第三章第三章 静电场的边值问题静电场的边值问题电磁场与电磁波电磁场与电磁波其其解应为解应为mBmAcossin)(222dd1m令令若静电场与变量若静

44、电场与变量 无关，则无关，则 m = 0 。0dd1ddsinddsinddddsin2222rRrrR0dd222m0sinddsinddsin1dddd1222mrRrrR将将 代入上式，得代入上式，得222dd1m第三章第三章 静电场的边值问题静电场的边值问题电磁场与电磁波电磁场与电磁波可见，上式中第一项仅为可见，上式中第一项仅为 r 的函数，第二项与的函数，第二项与 r 无无关。因此，第一项应为常数。关。因此，第一项应为常数。这是欧拉方程，其通解为这是欧拉方程，其通解为 1)(nnrDCrrR0sinddsinddsin1dddd1222mrRrrR) 1(dddd12nnrRrrR为

45、了便于进一步求解，令为了便于进一步求解，令即即 , n 为整数为整数0) 1(dd2dd222RnnrRrrRr第三章第三章 静电场的边值问题静电场的边值问题电磁场与电磁波电磁场与电磁波令令 ，则上式变为，则上式变为xcos01) 1(dd)1 (dd222xmnnxxx上式为上式为连带勒让德方程连带勒让德方程，其通解为，其通解为第一类第一类连带勒让德连带勒让德函数函数 与与第二类第二类连带勒让德函数连带勒让德函数 之和，这里之和，这里 m n 。 )(Pxmn)(Qxmn当当 n 是整数时，是整数时， 及及 为有限项多项式。为有限项多项式。)(Pxmn)(Qxmn0sinsin) 1(dds

46、indd2mnn将将上述结果代入前式，得上述结果代入前式，得第三章第三章 静电场的边值问题静电场的边值问题电磁场与电磁波电磁场与电磁波 当场区包括当场区包括 或或 时，此时只能取第时，此时只能取第一一类连带类连带勒让德函数作为方程的解。勒让德函数作为方程的解。0cosxcosx第三章第三章 静电场的边值问题静电场的边值问题电磁场与电磁波电磁场与电磁波那么，电位微分方程的那么，电位微分方程的通解通解取下列取下列线性组合线性组合)(cosP)( )cossin(),()1(00mnnnnnmnmnmrDrCmBmAr 若静电场与变量若静电场与变量无关，则无关，则 m = 0 ， 称称为第一类为第一

47、类勒让德函数勒让德函数。此时，。此时，电位微分方程电位微分方程的的通解通解为为)(P)(P0 xxnn)(cosP)(),(0)1(nnnnnnrDrCr)(cosP)(P)(mnmnx 通常令通常令第三章第三章 静电场的边值问题静电场的边值问题电磁场与电磁波电磁场与电磁波 例例 设半径为设半径为a，介电常数为介电常数为 的介质球放在无限的介质球放在无限大的真空中，受到其内均匀电场大的真空中，受到其内均匀电场 E0 的作用，如图所的作用，如图所示。试求介质球内的电场强度。示。试求介质球内的电场强度。 E0zy 0a解解 取球坐标系，令取球坐标系，令 。显。显然，此时场分布与然，此时场分布与 无关。无关。zE eE00)(cosP)(),(0)1(nnnnnnrDrCr球内、外的电位分布函数可取为球内、外的电位分布函数可取为第三章第三章 静电场的边值问题静电场的边值问题电磁场与电磁波电磁场与电磁波则球内、外电位分别为则球内、外电位分别为0)1(0i)(cosP)(cosP),(nnnnnnnnrDrCr0)1(0o)(cosP)(cosP),(nnnnnnnnrBrAr球内外电位函数应该满足下列边界条件：球内外电位函数应该满足下列边界条件：因此，系数因此，系数 Dn 应应为为零零，即，即0i)(cos),(nnnnPrCr 球心电位球心电位 应为有限值。应为有限值。i(0,