第六章定积分的应用

1、1一、定积分的元素法一、定积分的元素法二、在几何上的应用二、在几何上的应用1、面积、面积直角坐标直角坐标参数方程参数方程 （略）（略）极坐标系极坐标系 badxxfA dA2212、体积、体积平行截面面积已知平行截面面积已知旋转体旋转体 badxxfV2 badxxAV1、选取积分变量、选取积分变量 x 及积分区间及积分区间a,b dxxfdUU 积分元素积分元素 badxxfU3、2、在、在a,b上任取小区间上任取小区间 x, x+ dx，求出，求出 U 的近似表达式的近似表达式2三、在物理上的应用三、在物理上的应用 4 4、有效值、有效值 1 1、功的计算、功的计算 2 2、水的压力、水的

2、压力 3 3、引力、引力 3、弧长、弧长参数方程参数方程badxys21 dttts)()(22 drrs224、均方根均方根 badxxfaby1 badxxfabD21直角坐标直角坐标极坐标系极坐标系平均值平均值3解解建立适当的极坐标系如图，建立适当的极坐标系如图， 则在则在该极坐标系下，抛物线的极坐标方程为该极坐标系下，抛物线的极坐标方程为所求图形的面积为所求图形的面积为 cos2rar即即 cos12ar ,cos12212 daS,cos11222 da., 0 由由知，知， 抛物线焦点抛物线焦点到准线的距离为到准线的距离为axy42a2P344 10.求由抛物线求由抛物线与过焦点的

3、弦所围成的图形面积与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值。的最小值。axy42y xO0 , aF x , rO4 222cos11cos112 aS 222cos1cos1cos8 a令令得得 , 0 S.2 当当在在的左侧附近取值时，的左侧附近取值时，当当在在的右侧附近取值时，的右侧附近取值时， 2 ; 0 S 2 ; 0 S所以所以是函数取得极小值的点，也是它取得最小值的点。是函数取得极小值的点，也是它取得最小值的点。2 523222cos112min daS232422sin412 da232422csc2 da22csc23242 da2cot2cot123222 da232322co

4、t312cot a382a xO0 , aFyxdaxSa042minaxa02338382a6 dxadV22 32202337coscoscos53adttttaV P351 5（4）由摆线由摆线tayttaxcos1,sin及及0yay 2 所围成的图形绕直线所围成的图形绕直线旋转所得旋转体的体积。旋转所得旋转体的体积。ya 2xoay2 解解 为积分变量，为积分变量，设设x区间为区间为 , a, 20在在 a, 20上任取小区间上任取小区间 , dxx,x 则体积元素为则体积元素为积分积分 dxyay24 dttatatacos1cos1cos14222 dtttta233coscos

5、cos53 xdxx dxya22 7旋转所成的旋转体的体积为旋转所成的旋转体的体积为 badxxxfV 2 dxxxfdV 2 badxxxfV 2 xfy, bxa 00P351 9、证明：由平面图形证明：由平面图形绕绕y轴轴 解解为积分变量，为积分变量，设设xa xfy byoxxdxx , b,a , dxx,x 则体积元素为则体积元素为积分区间为积分区间为在在上任取小区间上任取小区间 b,ax 2 xfdx dxxxfdxxfdxxxfxfxxfdxxV 2 2 222 8P369 5.圆盘圆盘1222yx绕绕y轴旋转而成的旋转体的体积。轴旋转而成的旋转体的体积。解解 xoy132由

6、由P351 9. 知，知，所求体积为所求体积为 dxxxV 3122122令令,sin2tx则则.cos,sin2tdtdxtx.22:; 31: txdtttV222cossin24 dtt202cos18 202sin218 tt24 dtttdtt222222cossincos24 221xy9P369 6.求抛物线求抛物线221xy 被圆被圆322 yx所截下的有限所截下的有限部分的弧长。部分的弧长。解解321222yxxy由由解得抛物线与圆的两个交点解得抛物线与圆的两个交点 。、1 ,21 ,2 所以所求弧长为所以所求弧长为dxxL20212x y 20221ln21122xxxx3

7、2ln62-2xoy10P369 7.半径为半径为 r 的球沉入水中，球的上部与水面相切，球的的球沉入水中，球的上部与水面相切，球的比重与水相同，现将球从水中取出，需做多少功？比重与水相同，现将球从水中取出，需做多少功？ 解解xoy建立如图所示的直角坐标系，建立如图所示的直角坐标系， 则圆的方程为则圆的方程为 222ryx,rry在在 rr,上任取小区间上任取小区间 ,dyyy要将球提到水面上，要将球提到水面上， dyyy,与与 对应的部分需移动对应的部分需移动 , r2r2由于球的由于球的 比重与水相同，比重与水相同， 在水中运动的一段在水中运动的一段 外力不做功，外力不做功， 距离距离 ,

8、 yr 出水面所移动的出水面所移动的 , yr 一段距离一段距离外力所做的功外力所做的功 ，即，即功元素功元素为为dyyryrdW222 ydyy 其中其中389m/kN. 11dyyryrWrr22 将整个球移出水面所做的功为将整个球移出水面所做的功为rryyr033312 434r dyyrydyyrrrrrr2222 12P368 8. 边长为边长为a和和b的矩形薄板，与液面成的矩形薄板，与液面成 角斜沉于角斜沉于液体内，长边平行于液面而位于深液体内，长边平行于液面而位于深h处，设处，设,ba 液体的比液体的比重为重为, 试求薄板每面所受到的压力。试求薄板每面所受到的压力。ox解解 如图

9、所示薄板与液面成如图所示薄板与液面成 角，角，建立如图所示的坐标系。建立如图所示的坐标系。设设x为积分变量，为积分变量，,sin,sin hbhx上任取小区间上任取小区间 , dxx,x 则压力元素为则压力元素为dxx xadxxdp sin abh 在在 sin,sinhbh所受压力为所受压力为 sinsinsinhbhxdxap sin221bhab sinh sinhb 13Mx2 o 2 RdR P364 12. 设有一半径为设有一半径为、中心角为、中心角为的圆弧形细棒，其线的圆弧形细棒，其线 Mm密度为常数密度为常数 。在圆心处有一质量为。在圆心处有一质量为的质点的质点，试求这细棒，试求这细棒的引力。的引力。对质点对质点M解解 建立极坐标系如图，建立极坐标系如图， d d 设极角设极角 为积分变量，为积分变量，则则积分区间为积分区间为,2,2 在在 22,上任取小区间上任取小区间, d,对应该区间上的一段弧对应该区间上的一段弧 Rd对质点对质点M的引力的引力即即引力元素引力元素 ,dF2RRdmGdF dF其方向由其方向由M指向这段圆弧。指向这段圆弧。RdGm 圆弧的方程为圆弧的方程为.,-R,r22 14设它在水平方向的分量为设它在水平方向的分量为,dFxMx2 o