高三数学概念、题型、解题方法和规律总结

1、高三数学概念、题型、解题方法和规律总结（二）二、函数1.映射: AB的概念。在理解映射概念时要注意：A中元素必须都有象且唯一；B中元素不一定都有原象，原象不一定唯一。2.函数: AB是特殊的映射。特殊在定义域A和值域B都是非空数集！据此可知函数图像与轴的垂线至多有一个公共点，但与轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个。如（1）已知函数，那么集合中所含元素的个数有 个；答： 0或13. 求函数定义域的常用方法（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则）：（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零，对数中且，等。如（1）函数的定义域是_；答：（2）若函数的定义域为R，则_；答：（2）

2、根据实际问题的要求确定自变量的范围。（3）复合函数的定义域：若已知的定义域为,其复合函数的定义域由不等式解出即可；若已知的定义域为,求的定义域，相当于当时，求的值域（即的定义域）。如（1）若函数的定义域为，则的定义域为_；答： 答：1,5（2）若函数的定义域为，则函数的定义域为_4.求函数值域（最值）的方法：（1）配方法二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系）， 如（1）求函数的值域；答：4,8（2）换元法通过换元把一个较复

3、杂的函数变为简单易求值域的函数，注意求新元的范围，否则容易造成解题的失误。如（1）的值域为_；答：（2）的值域为_；答：（3）函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定所求函数的值域，最常用的就是三角函数的有界性，如求函数，答： 、（0,1）（4）单调性法利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性，如求，答：的值域为；答：R（5）数形结合法函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线斜率、等等，如（1）已知点在圆上，求及的取值范围 ；答：、（7）不等式法利用基本不等式求函数的最值，如设成等差数列，成等比数列，则的取值范围是_.。答：，这是一个

4、易错题，注意研究。（8）导数法一般适用于高次多项式函数，如求函数，的最小值。答：48提醒：求函数的定义域、值域时，你按要求写成集合形式了吗？ 5.分段函数。在求分段函数的值时，一定首先要判断属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。如（1）已知，则不等式的解集是_;答：6.求函数解析式的常用方法：（1）待定系数法已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种：一般式：；顶点式：；零点式：，要会根据已知条件的特点，灵活地选用二次函数的表达形式）。如：已知为二次函数，且 ，且f(0)=1,图象在x轴上截得的线段长为2,求的解析式 。答

5、：（2）代换（配凑）法已知形如的表达式，求的表达式。如（1）已知求的解析式；答：（2）若函数是定义在R上的奇函数，且当时，那么当时，=_ . 答：。（3）方程的思想已知条件是含有及另外一个函数的等式，可抓住等式的特征对等式的进行赋值，从而得到关于及另外一个函数的方程组。如（1）已知，求的解析式. （2）已知是奇函数，是偶函数，且+= ,则= _。答： 答：7. 反函数：了解指数函数与对数函数互为反函数，它们的图象关于直线对称。8.函数的奇偶性。（1）具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。如若函数，为奇函数，其中，则

6、的值是 ；答：0（2）确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）：定义法：如判断函数的奇偶性_ 。答：奇函数利用函数奇偶性定义的等价形式：或（）。如判断的奇偶性_ _.答：偶函数图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于轴对称。如：已知函数的图象关于点（3，0）对称，就可以推出为奇函数。（3）函数奇偶性的性质：奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.若为偶函数，则.如若定义在R上的偶函数在上是减函数，且=2，则不等式的解集为_ _. 答：若奇函数定义域中含有0，则必有.

7、故是为奇函数的既不充分也不必要条件。如若为奇函数，则实数_ . 答：1既奇又偶函数有无穷多个（，定义域是关于原点对称的任意一个数集）.9.函数的单调性。（1）确定函数的单调性或单调区间的常用方法：在解答题中常用：定义法（取值作差变形定号）、导数法（在区间内，若总有，则为增函数；反之，若在区间内为增函数，则，请注意两者的区别所在。如已知函数在区间上是增函数，则的取值范围是_ ；答：)在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为，减区间为.如若函数 在区间（，4） 上是减函数，那么实数的取值范围是_ ；答：)复合函数法：复合函数单调性的特点是

8、同增异减，如函数的单调递增区间是_ 。 答：（2）特别提醒：求单调区间时，一是勿忘定义域，如若函数在区间上为减函数，求的取值范围答：（3）你注意到函数单调性与奇偶性的逆用了吗?（比较大小；解不等式；求参数范围）.如已知奇函数是定义在上的减函数,若，求实数的取值范围。答：10. 常见的图象变换函数的图象是把函数的图象沿轴向左平移个单位得到的。(则右移)如设的图像与的图像关于直线对称，的图像由的图像向右平移1个单位得到，则为_ ;如（1）若，则函数的最小值为_ ；答：2（2）要得到的图像，只需作关于_轴对称的图像，再向_平移3个单位而得到 ；答：；右,（3）函数的图象与轴的交点个数有_ _个; 答

9、：2函数+的图象是把函数助图象沿轴向上平移个单位得到的；(则下移)函数的图象是把函数的图象沿轴伸缩为原来的得到的。如（1）将函数的图像上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将此图像沿轴方向向左平移2个单位，所得图像对应的函数为_ ；答： （2）如若函数是偶函数，则函数的对称轴方程是_ 答：函数的图象是把函数的图象沿轴伸缩为原来的倍得到的. 11. 函数的对称性。满足条件的函数的图象关于直线对称。（要注意上面结论与下面结论的区别：关于轴对称）如已知二次函数满足条件且方程有等根，则_ ；答：函数关于轴的对称曲线方程为；函数关于轴的对称曲线方程为； 函数关于原点的对称曲线方程为； 曲线关于点的

10、对称曲线的方程为。如若函数与的图象关于点（-2，3）对称，则_ ; 答：的图象先保留原来在轴上方的图象，作出轴下方的图象关于轴的对称图形，然后擦去轴下方的图象得到；的图象先保留在轴右方的图象，擦去轴左方的图象，然后作出轴右方的图象关于轴的对称图形得到。12. 函数的周期性。（2）由周期函数的定义“函数满足，则是周期为的周期函数”得：函数满足，则是周期为2的周期函数；若恒成立，则；如已知定义在上的函数是以2为周期的奇函数，则方程在上至少有_ ; 答：5如(1) 设是上的奇函数，当时，则等于_ ；答：(2)定义在上的偶函数满足，且在上是减函数，若是锐角三角形的两个内角，则的大小关系为_ ；答：（4

11、）设是定义域为R的函数，且，又，则= ; 答：13. 函数的零点。函数零点定义：对于函数，方程=0的实数根叫做函数的零点。三个转化：函数有零点方程=0有实数根函数的图象与轴有交点。零点存在定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点。注意：若函数在区间单调，且满足定理条件，则有唯一的零点。 函数在区间内有零点，不一定有成立。如：方程（ ）A（0，1）B（1，2） C（2，3）D（3，4） 答案：C14.指数式、对数式：， 。如的值为_ ; 答：抽象函数：利用一些方法（如赋值法（令0或1，求出或、令或等）、递推法、反证法等）进行逻辑探究。如若，满足，则的奇偶性是_ ；答：奇函数15.幂函数xyo 在坐标系中画出函数的图像，并研究其定义域，值域，奇偶性，单调性和图象过定点注意：当时的图像在第一象限内，当时曲线上凸；当时曲线下凸； 16.指数函数与对数函数图象与性质对比：y指数函数：yx0对数函数：图像x0性质定义域:R值域:单调性:当时,在R上时增函数 当时,在R上时减函数取值范围:当时,在上;在上,当时,在 在上, ;定义域: 值域:R单调性: 当时,在R+上时增函数 当时,在R+上时减函数取值范围: 当时,在