数据处理和力学实验

1、一、测量与误差一、测量与误差二、测量的不确定度和测量结果的表示二、测量的不确定度和测量结果的表示三、有效数字及其运算规则三、有效数字及其运算规则四、实验数据处理与作图要求四、实验数据处理与作图要求 五、弯曲法测杨氏模量五、弯曲法测杨氏模量一、测量与误差一、测量与误差1.测量测量物理实验离不开对物理量的测量，根据测量手段和方式的不同，将物理量的测量分为两类1)直接测量直接测量：直接从仪器或量具上读出待测量的大小。例：摆长L，天平称质量等。2)间接测量：间接测量：待测量的量值是由若干个直接测量量 经过一定的函数运算后才获得的量。例：钢球体积V=1/6D3，g=4 2l/T2等。2.误差误差1)真值

2、与误差真值与误差真值：指在一定条件下，某物理量客观存在的真实值。下列几种情况可视为约定真值真值理论值：理论值：如三角形的内角和为180等公认值：公认值：世界公认的一些常数，如普朗克常量、阿伏 加得罗常量等。仪器精度由于 测量原理和方法限制测量者感官能力真值不可知。误差：误差：实验测量值与客观实际值（真值）的 不一致。测量值与真值之差定义 =x-x03. 误差的分类误差的分类1) 系统误差：系统误差：产生误差是单方向变化，如与标准值相比始终偏大，或者始终偏小。例：电表零点读数等不正确的读数方法。系统误差的来源：系统误差的来源：理论公式的近似性；例：仪器结构不完善；例：天平的不等臂、温度计的刻度不

3、准 2sin411gL2Tm2环境条件的改变；例： 20C下校准的仪器拿到- 20C下使用。测量者生理心理因素的影响。例：对标志线的读数总是偏 左或偏右、偏上或偏下。处理系统误差问题是困难的：处理系统误差问题是困难的：系统误差的出现虽有规律性，但对于不同的实验其规律性不一样，没有完整、通用的处理计算公式。要求实验者对研究对象的特殊规律性能充分掌握。需要学识，经验，技巧。2)随机误差随机误差：多次重复测量同一物理量，各次有差异，产生的误差以不可预定的方式变化着，即时而大，时而小。整体来说，满足高斯分布规律。 单峰性偶然误差的三个特点： 对称性 有界性4. 系统误差和偶然误差的关系系统误差和偶然误

4、差的关系 它们之间的区别不是绝对的，在一定条件下可以相互转化。例：砝码的误差砝码的误差，对厂家是偶然误差偶然误差 对使用者是系统误差系统误差0 xf（x）5.精密度、准确度、精确度精密度、准确度、精确度 精密度精密度描述重复测量结果之间的离散程度，反映随机 误差大小。 准确度准确度描述测量结果与真值的偏离程度，反映系统误 差的大小。 精确度精确度准确度和精密度的结合。 精密度最好精密度最好 精密度较好精密度较好 精密度最差精密度最差 准确度较好准确度较好 准确度最差准确度最差 准确度最好准确度最好 精确度最好精确度最好 精确度最精确度最 精确度居中精确度居中6.绝对误差、相对误差绝对误差、相对

5、误差绝对误差绝对误差x=相对误差相对误差通常取1-2位数字来表示。例：L1=1000米、L1=1米、 L2=100厘米、 L2=1厘米，求L1和L2的相对误差。解：%1 . 0%10010001LLE1110 xx %1%1001001LLE222%100 xxxE000二、测量的不确定度和测量结果的表示二、测量的不确定度和测量结果的表示1.测量的不确定度测量的不确定度测量误差存在于一切测量中，对被测量值不能确定的程度称之，它给出测量结果不能确定的误差范围。完整的测量结果要标明其量值大小和测量的不确定度。2.不确定度的分类不确定度的分类1)1)A A类不确定度类不确定度（UA）：用统计方法对具

6、有随机误差 性质的测量值计算获得的 量，又称统计不确定度统计不确定度。2)2)B B类不确定度类不确定度(UB)：非统计方法计算获得的量，也 称非统计不确定度。非统计不确定度。3. 偶然误差与不确定度的偶然误差与不确定度的A类分量类分量1) 偶然误差的分布与标准误差满足高斯分布标准误差标准误差它反映了数据的离散程度，在该测量列中任何一个测量值的误差在-+之间的概率为68.3%小，数据比较集中，即精密度高，大，数据分散，精密度低1nxxn1i20i2) 多次测量平均值的标准偏差多次测量平均值的标准偏差算术平均值算术平均值标准偏差标准偏差平均值的标准偏差平均值的标准偏差nxxn1ii1nxxn1i

7、2ix) 1n(nxxn1i2ix3) 不确定度的不确定度的A类分量：类分量：一般为多次测量平均值的标准偏差即p=68.3% B类不确定度：由非统计分析评定的不确定度。 uB1(x):由估读引起的，通常取分度值d的1/10或1/5，有时也取1/2，视具体情况而定；特殊情况可取d，甚至更大。) 1n(nxxun1i2ix)x(A uB2(x):由仪器本身的特性所决定的定义定义 p=68.3%仪仪为仪器标定的最大允差。常用实验仪器的最大允差见下表 3xu2B仪4.测量结果的表示测量结果的表示1)测量结果的表示测量结果的表示X=（xU（x）)单位2)直接测量的不确定度计算直接测量的不确定度计算A.单

8、次测量单次测量 %100 xxuur2x2B2x1BxUUUB.多次测量多次测量例：用一级千分尺测量某一圆柱体的直径，测量5次，各测量数据分别为：3.429,3.430, 3.441,3.441, 3.432mm,求该物体直径的测量结果。(用不确定度表示)解：D=3.435mm2x2B2xAxUUU mm003. 01nnDDu51i2iDDA一级千分尺仪仪为0.004mm,D=3.4350.004mmmm002.03004.03uD2B仪mm004. 0002. 0003. 0uuu22D2DAD2B%10.0%100435.30036.0%100 xDuur3)间接测量的不确定度计算A.不

9、确定度的传递公式设设y=f(x1,x2,x3,xN),且x1,x2,x3,xN相互独立的直接测量量 2x2N2x232x222x21N321uxyuxyuxyuxyyuyuuyrB.常用函数的不确定度传递公式N=xyN=SinxN=Lnx2)y(2)x()N(uuunkzyxNm )x()N(uCosxuxuu)x()N(2) z(2)y(2)x()N(zunyumxukNu例例1: 1: 单摆测重力加速度的公式 。经过多次测 量，得各直接测量量为T=（2.0000.002)s, L=(100.0 0.1)cm，试求重力加速度g、ug和ur 。解：由不确定度传递公式得：u(g)=9.8700.

10、22%=0.022m/s2g=(9.870 0.022)m/s2 (p=68.3%)2TL4g22222s/m870.9000.2000.14TL4g2 %22. 00022. 0000. 2002. 020 .1001 . 0Tu2Luggugu222T2Lr例例2:2:用电子天平测得一个圆柱体的质量m=80.36g，电子天平的最小指示值为0.01g，不确定度限值为0.02g。用钢尺测量该圆柱体的高度H=H2-H1，其中H1=4.00cm， H2 =19.32cm，钢尺的分度值为0.1cm，估读1/5分度，不确定度限值为0.01cm。用游标卡尺测量该圆柱体的直径D（数据如下表），游标卡尺的分

11、度值为0.002cm，不确定度限值为0.002cm。D/cm 2.014 2.020 2.016 2.020 2.0182.018 2.020 2.022 2.016 2.020试根据上述数据，计算该圆柱体的密度及其不确定度。解：(1)圆柱体的质量m=80.36g(2)圆柱体的高度H=H2-H1=(19.32-4.00)cm=15.32cm(3)圆柱体的直径的平均值g015.0302.001.0mumumu2222B21Bcm029.0301.002.02Hu2Hu2Hu22212B211Bcm0184.2D101D101iicm00078.011010DDDu101i2iAcm0014.03

12、002.000078.0DuDuDu2222B2A(4)计算材料的密度322cm/g639. 132.150184. 21416. 336.804HDm4vm 33333m/kg10004. 0639. 1cm/g004. 0639. 1ucm/g004. 0cm/g0039. 0639. 1%24. 0uu%24.032.15029.00184.2014.0236.80015.0HHuDDu2mmuu222222345三、有效数字及其运算规则三、有效数字及其运算规则1.有效数字的一般概念有效数字的一般概念可靠数字和可疑（欠准确）数字合起来的值，称为有效数字。例： 5.23cm2.有效数字的基

13、本特性有效数字的基本特性 有效数字的位数与仪器精度(最小分度值)有关,也与被测量的大小有关。例：用千分尺（最小分度值0.01mm），测量某物体的长度读 数为4.834mm,4位有效数字；用精度为0.02mm的游标 卡尺来测量，其读数为4.84mm ，3位有效数字。用同一仪器测量大小不同的被测量，被测量越大，测量结果的有效位数越多。 有效数字的位数与小数点的位置无关，单位换算时有效数字 的位数不应发生变化。例：L= 3位注意： 用以表示小数点位置的“0”不是有效数字， “0”在数字中间或 数字后面都是有效数字不能随意增减。m3052.0mm3 .52cm32 .5 um1032.5cm32.54

14、 3.有效数字与不确定度的关系有效数字与不确定度的关系规定不确定度的有效位数只取1位，任何测量结果，必须与之对齐。例： 333m/kg10004. 0639. 1cm/g004. 0639. 1u 3cm/g0039. 0639. 1u 3cm/g004. 06394. 1u2.有效数字的运算规则有效数字的运算规则1)加、减的运算规则加、减的运算规则最后结果的欠准确数与参与运算的诸数中最先出现欠准确数位置对齐。例:325.7-16.78=308.9325.7 - 16.78 308.922)乘除法乘除法最后结果的有效数字的位数与参与运算诸数中有效数字位数最少的那个相同。例：2.352.1=4.

15、 92.35 2.1 235 470 4.9353)乘方、开方乘方、开方最后结果的有效数字位数与被乘方、开方数的有效数字位数相同。 例：4)对数和三角函数对数和三角函数对某测量值x取一函数值，而x的有效位数已知，可通过改变x的末位数的一个单位，并观察函数值的变化，以决定原来函数值的位数。例：x=206求SinxSin 207=0.34393和 Sin 205=0.34339 Sin 206=0.34365969460.34371.14200 注意：注意：常数项不算有效位数中间过程可以多保留一位例：3.78+4.543+3.785=8.323+3.785=12.108 =12.111. 列表法列

16、表法（1）表格中各栏目（纵或横）所列物理量均应 标明其名称和单位；（2）表格中各物理量的排列应尽量与测量顺 序一致； （3）表格中所列的数据主要是原始数据，重 要的中间计算结果也列入表中；（4）有必要，还应记下测量仪器和规格。四、实验数据处理与作图要求四、实验数据处理与作图要求例：自行设计测量钢珠直径的表格例：自行设计测量钢珠直径的表格 一级螺旋测微计量程0-25mm 最小刻度0.01mm测量次数 初读数D/mm 末读数D”/mm 钢珠直径D=D”-D/mm 10.004 1.6721.668 20.003 1.6701.667 30.004 1.6701.666 80.003 1.6701.

17、667 平均值1.66721.6672.作图法作图法图是表达实验数据变化规律的重要方法，也是进行实验数据处理的重要方法。作图规则：作图规则：（1）选用合适大小的坐标纸，一般是 2025cm作图纸， 对应34位有效数字；（2）画出坐标轴和标度线，坐标比例取1、2、5；（3）自变量： x/单位，应变量 ： y/单位 ；（4）实验数据点用“+”、“”、“”等表示；（5）作直线：相当于取平均值概念；（6）写出Y-X图（图名）；（7） 用A（X1，Y1）、B（X2，Y2） 求出斜率。1212XXYYK例：例：用惠斯登电桥测定铜丝在不同温度下的电阻值，数据见下表。试求铜丝的电阻与温度的关系。t/C 15.

18、5 24.0 26.531.1 35.0 40.3 45.0 49.7R/2.807 2.897 2.919 2.969 3.0033.059 3.107 3.155t/C 54.9R/ 3.207铜丝电阻与温度曲线(10.0,2.755)(10.0,2.755)解解:设铜丝电阻与温度为线性关系R=+t 由斜率求 ，由截距求在图上任取两点(t1,R1)、(t2,R2)代入公式R=+t得R1=+t1R2=+t2斜率和截距,即或者=R-t=2.755-0.010110.0=2.654铜丝电阻与温度的关系为R=2.652+0.0101tC/0101. 00 .200 .60853. 2225. 3t

19、tRR1212652. 20 .200 .60225. 30 .20853. 20 .60ttRtRt1221123.逐差法逐差法逐差法是物理实验中处理数据常用的一种方法，这里只讨论x是作等间距变化。若要测量相邻两条条纹的间距，用平均值求解，并不合理。平均值：逐差法的优点：是可以充分利用全部实验数据。求平均值逐差法的公式 7xxxxxxx782312 44xxxxxxx482615x1 x2 x6 x7 x8x1x2x3x4 x5x6x7x8设x与y之间的线性关系为：y=a+bx斜率2n1iii2n2n1iii2nxyxxyybnxbyxbyan1in1iii截距例例:由下表数据用逐差法法求弹

20、簧的劲度系数由下表数据用逐差法法求弹簧的劲度系数Kmi/g 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00 10.00 Y/cm 2.00 4.01 6.05 7.85 9.70 11.85 13.75 16.02 17.86 19.94解: m=5.00g cm962. 9570. 994.1985. 786.1705. 602.1601. 475.1300. 285.11ym/N492. 010962. 9794. 91000. 5K23自行用逐差法的公式计算前面铜丝电阻与温度的线性关系式自行用逐差法的公式计算前面铜丝电阻与温度的线性关系式4.线性

21、回归法线性回归法1)最小二乘法原理最小二乘法原理偏差平方和取最小值 即2)一元线性回归一元线性回归若两物理量x，y满足线性关系即y=bx+a，利用最小二乘法原理可得：极小值n1i2ixxxbynxbnyan1in1iii2n1in1i2n1in1in1ixy)x(n1xyxn1)yx(b2i2iiiiixxyx 于是可得线性回归方程为检验线性拟合的好坏，定义相关系数r 越接近1，x , y 之间的线性关系越好)xby(x)(y2) xxyxyx2)(2222yxryxyxyx例: 见作图法例子见作图法例子 R=0.0101t+ 2.652R=0.0101t+ 2.65291ii91ii123.

22、27y322x91i2i91iii9 .12843x7914.983yxC/0101.093229 .128439123.273227914.983)x(n1xyxn1)yx(2n1in1i2n1in1in1ii2iiiii 652. 29252. 3123.2793220101. 09123.27nxbnyn1in1iii五、弯曲法测杨氏模量五、弯曲法测杨氏模量1.杨氏模量及其测量方法 一根长度为d、厚度为a、宽度为b的矩形梁，两端自由地放在一对平行的水平刀口上，中点悬挂一重物M，梁中点下垂的距离为Z,则bEaMgdZ334弯曲法测杨氏模量弯曲法测杨氏模量1.1.杨氏模量杨氏模量及及其测量方

23、法其测量方法 ZbaMgdE334梁的杨氏模量定义为：弯曲法测杨氏模量弯曲法测杨氏模量2.2. 长度的测量长度的测量 1）钢尺钢尺 最小分度值为1mm, 测量长度时常可估读1/10分度（0.1mm)或1/5分度（0.2mm) 2）游标卡尺游标卡尺 弯曲法测杨氏模量弯曲法测杨氏模量游标卡尺读数原理游标卡尺读数原理: : 游标上p个分格的总长与主尺上(p-1)个分格的总长相等. 设y代表主尺上一个分格的长度,x代表游标上一个分格的长度,则有 px=(p-1)y, x=(P-1)y/p弯曲法测杨氏模量弯曲法测杨氏模量游标卡尺读数原理游标卡尺读数原理: : 以p=10的游标卡尺为例,主尺上一个分格长y

24、=1mm,那么游标上一个分格的长度是 x= (P-1)y/p =0.9mm那么,主尺与游标上每个分格的差值是 x=y-x=1.0-0.9=0.1mm x=y-x=y-(P-1)y/p =y/p=0.1mm弯曲法测杨氏模量弯曲法测杨氏模量游标卡尺读数原理游标卡尺读数原理: : 当游标卡尺合拢时,游标上的”0”线与主尺上的”0”线重合,此时,游标上第一条刻线在主尺第一条刻线的左面0.1mm处,游标上第二条刻线在主尺第二条刻线的左面0.2mm处. 弯曲法测杨氏模量弯曲法测杨氏模量游标卡尺读数原理游标卡尺读数原理: : 如果在游标卡尺放进0.1mm的纸片, 游标就要向右移动0.1mm,那么,游标上第一

25、条刻线与主尺第一条刻线重合,而游标上其他各条刻线都不与主尺任一条刻线重合. 如果在游标卡尺放进0.2mm的纸片, 如图所示：弯曲法测杨氏模量弯曲法测杨氏模量游标卡尺读数原理游标卡尺读数原理: : 上述把游标等分为10个分格(即p=10)的游标卡尺叫作”十分游标”. “二十分游标” x=1.0-19/20=0.05mm 弯曲法测杨氏模量弯曲法测杨氏模量游标卡尺读数原理游标卡尺读数原理: :“二十分游标” x=2.0-39/20=0.05mm 弯曲法测杨氏模量弯曲法测杨氏模量游标卡尺读数原理游标卡尺读数原理: : “五十分游标” x=1.0-49/50=0.02mm 弯曲法测杨氏模量弯曲法测杨氏模

26、量游标卡尺正确读数游标卡尺正确读数 “五十分游标” x=1.0-49/50=0.02mm L=21.48mm=2.148cm对齐对齐弯曲法测杨氏模量弯曲法测杨氏模量2.2.长度的测量长度的测量 3）千分尺（螺旋测微器）千分尺（螺旋测微器） 螺旋套筒旋 转一周，螺杆前 进或后退）一个 螺距0.5mm。 套筒上刻有 50个分格，所以 套筒旋过1格分格 时，螺杆仅移动 0.01mm。 千分尺千分尺（螺旋测微器）的读数 4.0+0.183 4.5+0.187 1.5+0.478 弯曲法测杨氏模量弯曲法测杨氏模量千分尺（螺旋测微器)的系统误差 测量前，应注意零读数，测量后，要从测量值中减去零读数。弯曲法测杨氏模量弯曲法测杨氏模量2. 长度的测量长度的测量4）测微目镜测微目镜 测微目镜一般作为光学仪器的附件使用，可安装在移测显微镜、望远镜、测长仪等仪器上，也可以单独使用。用来测量由光学系统所成实像的大小。 弯曲法测杨氏模量弯曲法测杨氏模量测微目镜的使用 测量时，使目镜的一根十字叉丝逐次 和被测物体长度的两端点相重合。0 2 4 6 80 2 4 6 8 0 2 4 6 8弯曲法测杨氏模量弯曲法测杨氏模量 测微目镜的读数 鼓轮旋转一圈，竖线和叉丝移动1 mm； 鼓轮上有100个等分格，因此鼓轮每转1小 格，叉丝就移动0.01mm