数列题型及解题方法归纳总结

1、令n=1, 2,，(n-1 ),代入得(n-1 )个等式累加,即(a2-a1)(2n 1)(2n 1)2 2n 12n 1掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项 公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应 用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。一、典型题的技巧解法1、求通项公式(1)观察法。(2)由递推公式求通项。对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公 式的变换转化成等差数列或等比数列问题。(1)递推式为an+i=an+d及an+产qan (d, q为常数)例1、？已知an满足an+尸a+2,而且ai=10求an。例1、解？ an+1-a n=2

2、为常数，an是首项为1,公差为2的等差数列an=1+2 (n-1 ) 即 an=2n-11 一，、例2、已知an满足an 1 an ,而a1 2 ,求an =?2(2)曲式力言=褊产(I数+ (a3-a 2) + (an-a n-1) 说明？只要和f (1) +f (2) + +f (n-1)是可求的，就可以由 an+1=an+f (n)以 n=1, 2,，(n-1)代 入，可得n-1个等式累加而求ano(3)递推式为an+1=pan+q (p, q为常数)例 4、an中，a1 1,对于 n>1 (nGN)有 an 3an 1 2,求 an.解法一：由已知递推式得 an+1=3an+2,

3、 an=3an-1+2。两式相洞： an+1-a n=3 ( an-a n-1 )因此数列an+1-an是公比为3的等比数列，其首项为a2-a 1= (3 X 1+2) -1=4an+1-a n=4 3n-1; an+1=3a+2?3a+2a=4 3n-1即 a n=2 3n-1-1解法二：上法得an+1-an是公比为3的等比数列，于是有：a2-a 1=4, a3-a 2=4 , 3, a4-a 3=4 , 3 , , an-a n-1 =4 , 3 ,把 n-1 个 等 式 累 加 得 ：an=2 . 3n-1-1 递推式为an+1=p a n+q n (p, q为常数)bn 1 bn2(b

4、n bn3由上题的解法，得：1an 1 an an 1? n 1bn 3bn2n3(1)n W)n2311 an 12 an 矛上式两边同乘以2n+1得2n+1an+1=2nan+2则2 3是公差为2(5)递推式为an 2 pan 1qan的等差数列。设an 2pan 1qan ,可以变形为：an 2an 1(an 1 an ) ?.2"&= 2+ (n-1 ) 2=2n .% 二数列求和的常用方法:就是 口I： CL + p )1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。于是an+1- a an是公比为B的等比数列，就转化为前面2、错项相减法：

5、适用于差比数列（如果an等差，bn等的类型。比，那么-bn叫做差比数歹U）_J1【例己如数列%中，3=1.% =2, %?二m与百弘即把每一项都乘以bn的公比q ,向后错求an o一项，再对应同次项相减，转化为等比（6）递推式为S与an的关系式数列求和。关3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负系；（2）试用n表示ano抵消，只余有限几项，可求和。11Sn 1 Sn(an an 1) (?n 22n 1 )适用于数列和an an 1： an a an 1（其中an等差)可裂项为：1an an 1), an 1数列通项的求法:公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公式。已知Sn (即a

6、1 a2 L an f (n)求an ,用作差法:等差数列前n项和的最值问题：anS1,(n 1)Sn Sn 1，(n 2)f(1),(n 1)已知aga2gL中nf (n)求an ,用作商法：an f (n)f(n 1)'/八、o(n 2)1、若等差数列an的首项a1 0 ,公差d(i )若已知通项an ,则Sn最大an 0an 10已知条件中既有Sn还 也可直接求an o 若an 1 anf (n)an (an an 1) (an 1 an 2)a1 (n 2) o已知如1f(n)ananan 11a2/anL a(nan 1 an 2a1已知递推关系求an,有最大值(ii)若已知

7、Sn pn2 qn ,则当n取最靠近 -q的非零自2p然数时Sn最大；2、若等差数列an的首项an 0 ,公差d 0 ,则前n项和Sn有最小值a 0(i)若已知通项an,则Sn最小 n ；an 10a an ,有时先求Sn ,再求an ；有时求 an用累加法：L (a2 a1)求 an , 用累乘法：2)。可构造法(构造等差、等比数 列)特别地，(1)形如 ankan 1 b、an kan 1 bn(k,b为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为(ii)若已知Sn pn2 qn ,则当n取最靠近 的非零自2p然数时Sn最小;k的等比数列后，再求an ；形如an kan 1 kn的递推数

8、列都可以除以kn得到一个等差数列后，再求 an。(2)形如a”an 1的递推数列都可以用倒数法kan 1 b求通项。(3)形如ani ank的递推数列都可以用对数法求通项。(7)(理科)数学归纳法。(8)当遇到am ani d或亘工q时，分奇数项偶数 an 1项讨论，结果可能是分段形式。数列求和的常用方法：(1)公式法：等差数列求和公式； 等比数列求和公式。(2)分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和。(3)倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其 共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序 相加法，发挥其共性的作用求和(

9、这也是等差数列前n和公式的推导方法).(4)错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减 法(这也是等比数列前n和公式的推导方法).(5)裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的 形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求 和.常用裂项形式有：11an(n 1) n n 1 n(n k) k'n n k，分11111-2 -2一()，k2 k2 12 k 1 k 11111111-；k k 1 (k 1)k k2 (k 1)k k 1 k， . ，(n 1)! n! (n 1)! 2( n 1 . n)2n 、. n 1

10、二、解题方法：2、n2( . n求数列通项公式的常用方法: 1、公式法 2、由Sn求an3、求差(商)法1.解：n 1 时，一a12 1 5，- a1142练习4、叠乘法解：盟冬21 2二,.员1a a2an 1 2 3na n5、等差型递推公式练习6、等比型递推公式练习7、倒数法(3)、倒序相加法(n2-n 2)一 ，一 1例12、求和一解？ S=n2 (1+2+3+n) - ( 13+23+33+n3)1?5 3?7注：在消项忖产定注藤1项与负项一样多。一:5?9(2n 1)(2n 3)剩下哪些顶，一般地剜下的正I 1- l)(2n + 3)2n + 32.数列求和问题的方法(1)、应用公

11、式法等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前n项和公式求和，另外记住以下公式对求和来说是有益的。 21 + 3 + 5+ (2n-1)=n【例 8】 求数列 1, (3+5), (7+9+10), (13+15+17+19),前n项的和。解？本题实际是求各奇数的和，在数列的前n项中，共有-11+2+n=n(n 1)个奇数，2最后一个奇数为：1+ 1n(n+1)-1 x 2=n2+n-12因此所求数列的前n项的和为(2)、分解转化法对通项进行分解、组合，转化为等差数列或等比数列求和。【例 9】求和 S=1 (n2-1 ) + 2 (n2-22) +3 (n2-3 2) + +n适用于给定式子中

12、与首末两项之和具有典型的规律的数列，采取把正着写与倒着写的两个和式相加，然后求和。例 10、求和：Sn 3Cn 6Cn2 L 3nCn例 10、解 Sn 0?C： 3Cn 6C2 L 3nCnn+ 3 Cn - 1) C + +0C：n-1相加能耻：2 c；1t可得(4)、错位就黜T3n+喘)=丸，2=如果一个数列是由 一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的，可把和式的两端同乘以上面的等比数列的公比, 然后错位相减求和.例 11、 求数列 1, 3x, 5x2, ,(2n-1)x n-1 前 n 项的和.解？设 $=1+3+5x2+(2n-1)x n-1. ?(2)x=0 时，Sn=1.(

13、3)当xw。且xw1时，在式两边同乘以x得xS n=x+3x2+5x3+_n 6+(2n-1)x ,-，得 (1-x)S n=1+2x+2x2+2x3+2xn-1-(2n-1)x n.(5)裂项法：把通项公式整理成两项(式多项)差的形式，然后前后相消。常见裂项方法：在掌握常见题型的解法的同时，也要注重数学思想在解决数列 问题时的应用。二、常用数学思想方法1.函数思想运用数列中的通项公式的特点把数列问题转化为函数问题解决。【例13】？等差数列an的首项ai>0,前n项的和为S,若S产& (l wk)问n为何值时与最大？此函数以n为自变量的二次于森 ai>0? Si=8 (lw

14、k) , dv 0故 此二次函数的图像开口向下二：一 I： 二卜、：i 二，一一.f (l ) =f (k)”I If2 .方程思想当l+k为偶数时，口 = 三时最大口【例14】设等比数列an前n项和为$,若&+&=24,求数列的公比q。分析？本题考查等域印照崛擞1阴推理对庄上县时与最大.解 :依题意可知qwl。2;如果q=1,则S?=3ai, &=6ai, &=9ai。由此应推出 ai=0与等比数 列不符。, q w 1整理得？ q 3 (2q6-q 3-1 ) =0? = qw 0此题还可以作如下思考：S6=S3+q3S3= (1+q3) S3。S=S3+q

15、3S6=S3 (1+q3+q6),.由 5+&=2&可得 2+q3=2 (1+q3+q6) , 2q6+q3=03 .害忑理想了_1_2【漏胴?'已讲朗口 / %是不中。1的正数，x, y, zC R+,且求证：a, b, c顺次成等比数列。证明？依题意令ax=by=cz=kx=1ogak, y=log bk, z=log ckb2=aca, b, c成等比数列(a, b, c均不为0)数学5 (必修)第二章：数列一、选择题1 .数列an的通项公式an 厂1 ,则该数列的前().n -n 1项之和等于9。A. 98 B . 99 C. 96 D . 972 .在等差数列an中，若S41,S84,则a17a18a19a20的值为()A. 9 B . 12 C. 16 D . 173 .在等比数列 an中，若a2 6,且a5 2a4 a3 12 0 ,则an为()A. 6 B . 6 ( 1)n 2 C . 6 2n 2 D . 6 或 6 ( 1)n 2或 6 2n 2二、填空题1 .已知数列an中，ai1 ,aniananian,则数列通项an 。2 . 已知数列 的Sn n2 n 1, 则a8 a9 ai0 ai a2=。3 .三个不同的实数a,b,c成等