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文档简介
1、数列前n项和的求法 第二中学 求数列前n项和是数列的重要内容,也是一个难点。求等差(等比)数列的前n项和,主要是应用公式。对于一些既不是等差也不是等比的数列,就不能直接套用公式,而应根据它们的特点,对其进行变形、转化,利用化归的思想,来寻找解题途径。一、拆项转化法例1已知数列 中, 且( , ,且t为常数),求 na3ntannNn0tnS例1已知数列 中, 且 ( , ,且t为常数),求 na3ntannNn0tnS解:当t=1时,当 时,2)3(2)3(2nnnnnSn1t2)5(1)1(nntttSnn分析:观察数列的通项公式,数列 可以“分解”为一个公比为t的等比数列 和一个公差为1的
2、等差数列 ,因此,只要分别求出这两个数列的前n项之和,再把它们相加就可得 。注意等比数列前n项和公式对公比q的要求,可得如下解法:nant3 nnS总结:拆项转化常用于通项 是多项式的情况。这时,可把通项 拆成两个(或多个)基本数列的通项,再求和。有时也应用自然数的方幂和公式求 ,常用的有: nananS)12)(1(6112nnnknk2213)1(41nnknk2)1(1nnknk例2、求数列1,1+2,1+2+3,1+2+3+4 , ,1+2+3+n,的前n项和Sn。解:该数列通项nnnan21213212令 , ,则221nbnncn21nnncba数列 的前n项和nb)21 (212
3、22nSN)12)(1(121nnn数列 的前n项和nc) 1(41)21 (21nnnSn)2)(1(61nnnSSSnnn二、裂项相消法 常用的消项变换有:111)1(1nnnnan)121121(21) 12)(12(1nnnnan) 2)(1(1) 1(121) 2)(1(1nnnnnnnan!)!1(!nnnnan)1() 1()2)(1(31) 1(nnnnnnnnan:nnnnan111:二、裂项相消法 常用的消项变换有::)2)(1(nnnan)2)(1() 1() 3)(2)(1(41nnnnnnnn例3、求 ) 2)(1(432321nnnSn解:由上面 知: ) 4321
4、5432 () 32104321(41nS) 3)(2)(1(41nnnn)2)(1() 1() 3)(2)(1(nnnnnnnn例4、求 3441451211512nnSn解:其“通项” )32)(12(134412nnnnan)321121(41nn )121321()9151()7131()511(41nnSn)321121(nn) 32)(12 ( 3) 54 ()321121311 (41nnnnnn三、 倒序相加法 课本等差数列前n项和公式 就是用倒序相加法推导的。nS例5、已知数列 是首项为1,公差为2的等差数列,求na1322110nnnnnnnaCaCaCaCS分析:注意到
5、且当m+n=p+q时, 有: (等差数列的性质)knnknCCqpnmaaaa解: ,又1322110nnnnnnnaCaCaCaCS101211aCaCaCaCSnnnnnnnnnnn两式相加得: nnnnnnnnaaCCCaaS2)()(2111011nnnnnnnaaS2) 1(2)22 (2)(1111四、错位相消法 课本推导等比数列前n项和公式的方法。利用 可求两类数列的和,其通项分别是:nnqSS () ()分母是等比数列分子是等差数列字母是等比数列系数是等差数列例6、求数列 的前n项和 ,212,43,21nn 解: (1)nnnS212167854321 (2) 1212232
6、165834121nnnnnS (1)(2),得 12122216282422121nnnnSnnnnnnS232321221412122五、 并项法例7,已知数列 的通项 ,求数列前2n项和na21)1(nannnS2解: 2222222)2 () 12 (4321nnSn令 14)2() 12(22212nnnaabnnn 是首项为-3,公差为-4的等差数列nb)12(141173212nnnbbbSnn评注:用并项法把相邻的一正一负两项并作一项,从而使通项降次,得以转化为等差数列求解。六、逐差求和法(又叫加减法,迭加法) 当所给数列每依次相邻两项之间的差组成等差或等比数列时,就可用迭加法
7、进行消元 例8,求数列 :1,3,7,13,21,31,的 和na解: 1212aa2223aa3234aa4245aa121naann132121naannans两边相加得:例8,求数列 :1,3,7,13,21,31,的 和na1212aa2223aa3234aa4245aa121naann132121naannans两边相加得:故 1122nnnnan取n=1,2,3,n,相加得: ) 2(31)321 ()321 (22222nnnnnSn大家好!bnzKV&28ceeb5(TDi%A1xYapyAwl2MdH$593Yz0rHMGp(rKQKr&kwtdR7id$rK
8、Ny3qvjYbf0CVTx!1ZsKGgEGkLQwY%J02P30IZQfo5vs)a&bdJzTyHbaFwTCRuDafRShfNJ51xt#Yno#&BKmBf%3JK6-k1cRP7$5MK1T%ulEdc*hdU3)DVPmGDdBDjOXMj+0kZMS8PFN3KyDY5npcTcqpaSbsvlA-IusAUeSxlj5ZA2xT-660X*lQgWwc*TL#!#WPGvj5#Z5mDT+ft#OFytqrvDVGm-F7EBg2%$-avMbDV*W$lYBqp+MeDQQDiWDzJ)-fh4K0mtSnbg*qBu33)bJswO37Zk2gQEQk
9、wkU&Qlfzqp)e3&YaZ(29V4C88D5T2Yfn!ofW*FP3#cBes5fEvYRklNSqCh)8POiru9iUQsL)zsM85LHRhpaGV2IBO9hw)UC6pcz7xkYrqImCAjUD$Lm0*r1wXW+5ASOYlXbbac#tNua8)XgS2j65l8Y2zuV7b0DF(1a9%Y90LkH11GoUhW6z!f#&e0WY*xx-ZV47NiY-f74qdD)0q#TNAjQar06aQn6waxBWDLB+ebaPokcIfw6vwG+su+gR&JxSO1ZDW6cBsygLO4QQ7#zyqZimR$W2
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11、r#ibxrrt556w)iKS%tkeWmi1BOQ2%7tPgvtlVA4%yii6Pl3As7Vvgnf(%xb0BueH5Laovv8mH)5D(k%PFy32-!OZ3jARye%J7uO(d6$QHAvu+%TFm+Hq%Ch2*&0dzD2rIQPEjXiBKIt3BX($Yi#MN$l&SWt&eh3I(1ZuRVG7pm0tB7GpvWBBZAyP46T76QwC-U)C1O+$tBg&2DyL!M2z0)qg)d)jo-7VQb6%)B%nhJ)IV)P%!UgjO#EXXttJW&DFwJ4KIzUVhsgPKZ2aFaufWKKd
12、5a*kbsDSWaOYUbLTYhKNRu%mf4Vpp7h!9XTQ-6EJ-LB6)W+v(P+4&Bg3BE-poHBrI7($i(Tzca-IRXE08im2ESD98JClUaMhZ&lo2w7fAIl!*lldcDDvs#M!pAuTXODnENXO9Vv4GzG2AMo6rpHJW(-drQsaDtI)76q36srxAjE%gE)7piPK!*E(O-!$0JsSJ9lU-T-Yi9IZmfNEBMcv6hG0JScoJJke%6Kq)q8F2QwGps2cnJN5TZerhUWD(wRrbZfbvyFrGsA%$&Ln9f&mvmBa190u
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19、L2wTdD%oI8qYcz526vjM#Ql&zq3svobAikT1GsDbPR7IzB1OBKjmF5ZmtACsjH4WsFf5x9PU61vaQYxYb)fDqQJ67TJ&KVqpSFU65LZL58Utz&Q!six0$nT$NbnnUDIyX!Zqaf$l4dFhqhIfsow(TXXdO(AKxDhnkvK77Aza0Fyj3+sk#2Cm$SJZOYtqQcWfLxn!Xwdaw&KROYE+scd5DR(j0VlH4!eY%rhjhp$GlK3c0zujGtWul8*Hr3FGtv)M#Ty-f9iZlBAjOtqF1QN%3li(qAo$
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