换元积分法与分部积分法

1、(4时)【教学目的】熟练掌握换元积分法和分步积分法。【教学重点】换元积分法和分步积分法。【教学难点】灵活运用换元积分法和分步积分法。【教学过程】一换元积分法由复合函数求导法，可以导出换元积分法.定理8. 4(换元积分法)设g(u)在,上有定义，u (x)在a,b上可导，且(x), x a,b ,并记(i)若g(u)在, 上存在原函数G(u),则f(x)在a,b上也存在原函数F(x), F(x) G( (x) C ,即(ii) 又若(x) 0,x a,b,则上述命题(i)可逆，即当f (x)在a,b上存在原函数F( x) 时，g(u)在，上也存在原函数G(u),且G(u)= F( 1(u) C,

2、即g(u)du g( (x) (x)dx f(x)dx.证 (i)用复合函数求导法进行验证：所以f(x)以G( (x)为其原函数，(1)式成立.(ii ) 在(x) 0的条件下，u(x)存在反函数x 1(u),且于是又能验证(2)式成立：g( (x) g(u) .口上述换元积分法中的公式(1)与(2)反映了正、逆两种换元方式，习惯上分别称为第一换元 积分法和第二换元积分法(公式(1)与(2)分别称为第一换元公式与第二换元公式).下面的例1至例5采用第一换元积分法求解.在使用公式(1)时，也可把它写成如下简便 形式：例 1 求 tanxdxsinx (cosx)角牛 由 tan xdx dx -

3、dx,cosxcosx一人11udxfa0).x可令u cosx, g(u) 一,则得xd -a2xa对换元积分法比较熟练后，可以不写出换元变量 u ,而直接使用公式(1).0)dx , 求(a22 ' a xdx,a2 x2dx2 xadx2 xadx /求-12(ax a0).dx 1-22 丁x a2adx x a求 secxdx.解解法一利用例4的结果可得解法二, secx(secx secxdx=secx tan x ln secx tanx C.tan x), dx这两种解法所得结果只是形式上的不同，请读者将它们统一起来.从以上几例看到，使用第一换元积分法的关键在于把被积表

4、达式f (x)dx凑成g xxdx的形式，以便选取变换u (x),化为易于积分的 g u du .最终不要忘记把新引入的变量u还原为起始变量x第二换元公式(2)从形式上看是公式(1)的逆行，但目的都是为了化为容易求得原函数的形式 (最终同样不要忘记变量还原)，以下例6至例9采用第二换元积分法求解.duvuVu解 为去掉被积函数中的根式，取根次数2与3的最小公倍数6,并令u定积分化为简单有理式的积分：2/U 33后6VU 6ln|6/u 1 C.例 7 求<a2 x2dx （a 0）解 令x asint, t （这是存在反函数t arcsin 的一个单调区问）. 2a例8 求 dx a 0

5、 .22x a解 令x asect, 0 t 5 （同理可考虑t 0的情况），于是有借助辅助直角三角形，便于求出sect -, a22.x a tant ,故得a例 9 求 2 dx2 2 （a 0）（x2 a2）2解令x atant, t ,于是有 2有些不定积分还可采用两种换元方法来计算.例10求dxx2 x2 1解解法一采用第一换元积分法：解法二采用第二换元积分法（令x sect）：二分部积分法由乘积求导法，可以导出分部积分法.定理8.5 （分部积分法）若u x与v x可导，不定积分u x v x dx存在,并有 u x v x dx = u x v x u x v x dx证 由 u

6、x v x u x v x u x v xx6,则可把原来的不于是u xv x dx也存在,(3)或 u x v x u x v x uxvx, 对上式两边求不定积分，就得到（3）式.(4)公式(3)称为分部积分公式，常简写作udv uv vdu例 11 求 xcosxdx.解 令u x , v cosx ,则有u 1,v sin x.由公式(3)求得例 12 求 arctanxdx.1解 令u arctanx , v 1 ,贝U u 2 , v x ,由公式(3)求得1 x例 13 求 x3 In xdx.解 令u In x,vx3,由公式(4)则有需经移有时需要接连使用几次分部积分才能求得结果；有些还会出现与原不定积分同类的项, 项合并后方能完成求解.现分别示例如下例 14 求 x2e xdx.解x2e xdxx2d e xx2e x 2 xe xdx例 15 求 11 e x cosbxdx和 I2eax sinbxdx.-121解 11 cosbxd e e cosbx b e sin bxdx aa1 _ax一 e cosbx b