代数基本定理

1、代数基本定理代数基本定理定理定理1 任何一个任何一个 次多项式次多项式 可以分解成可以分解成 下面的形式下面的形式)(xpnn21)()()(21 axaxxpn21,aa其中其中 为实数根，为实数根， 为其实数；为其实数；,21,)( ,)(21222112qxpxqxpx分别对应于一对复根，分别对应于一对复根，21,为其实数，且为其实数，且n212122 定理定理2 若有理真分式若有理真分式 的分母的分母 分解成定理分解成定理1的形式，则有理真分式可展开成的形式，则有理真分式可展开成)()(xPxQnn)(xPn21)()(222112 qxpxqxpxqpxxMxNqpxxMxNqpxx

2、MxN21222211)()( )()()()()(111211axAaxAaxAxPxQnn )()()(111221axBaxBaxB qpxxSxRqpxxSxRqpxxSxR21222211)()( 其中其中 等都是未定常数。等都是未定常数。iiiiiiSRNMBA,可通过比较多项式系数而定出。可通过比较多项式系数而定出。例例1) 1() 1() 1() 1(1)()(222122xMNxxAxAxxxPxQnn22221) 1)() 1)(1() 1(1xMNxxxAxA)()() 1() 1() 2(2222211221qpxxMxNqpxxMxNxBxBxA222)32()1)(

3、2(1)()(xxxxxPxQnn例例132xBxA) 3)(2(36532xxxxxx3)2()3(xxBxA3231BABA6, 5BA21xCxBxA例例2) 2)(1(3223223xxxxxxxx32)1()2()2)(1(xxCxxBxxxA令0 x得23,23AA令1x2x令得35, 53BB得61, 16CC) 2)(1(3223223xxxxxxxx) 2( 61) 1( 3523xxxdxxxxxdxxxxx) 2)(1(3223223dxxxx) 2( 61) 1( 35233312224xDCxxBxAxx)() 3() 3(1222DCxxxBxAx1303300BB

4、ABDCA310310DCBA2424353123162xxxxxxx例3dxxxxdxxxxx3123162242435dxxxxxx)3(31313122242cxxx3arctan331312dxxxx322232332) 32(21222xxdxdxxxxx222)2()1()1(3)32ln(21xxdxx例例4cxxx21arctan23)32ln(212三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限四则运算所构成的函数，由于各种三角函数都可用 及 的有理式表示，故三角函数有理式也就是 的有理式，记作xx cos,sinxsinxcos)cos,

5、(sinxxR例5 求dxxxx)cos1 (sinsin1有三角公式知 与 都可以用 的有理式表示，即xsin2tanxxcos2tan12tan22sec2tan22cos2sin2sin22xxxxxxx2sin2coscos22xxx2tanxu 令令212sinuux2211cosuuxduudx212uxarctan22tan12tan12sec2tan12222xxxxdxxxx)cos1 (sinsin1于是于是2222212)111 (12)121 (uduuuuuuucuuuduuu)ln22(21)12(212cxxx2tanln212tan2tan412duuuuuuRdxxxR222212)11,12()cos,(sin一般地对于三角有理式的积分，令一般地对于三角有理式的积分，令2tanxu 简单无理函数的积分简单无理函数的积分主要讨论主要讨