第12讲　二次函数（可编辑word）

1、.第12讲二次函数A组根底题组一、选择题1.2019陕西对于抛物线y=ax2+2a-1x+a-3,当x=1时,y>0,那么这条抛物线的顶点一定在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.2019威海抛物线y=ax2+bx+ca0如下图,以下结论错误的选项是A.abc<0B.a+c<bC.b2+8a>4acD.2a+b>03.2019甘肃兰州将抛物线y=3x2-3向右平移3个单位长度,得到的新抛物线的表达式为A.y=3x-32-3B.y=3x2C.y=3x+32-3D.y=3x2-64.如图,一次函数y1=kx+nk0与二次函数y2=ax2+bx+ca0的

2、图象相交于A-1,5,B9,2两点,那么关于x的不等式kx+nax2+bx+c的解集为A.-1x9B.-1x<9C.-1<x9D.x-1或x95.在同一坐标系中,一次函数y=-mx+n2与二次函数y=x2+m的图象可能是二、填空题6.2019湖北武汉关于x的二次函数y=ax2+a2-1x-a的图象与x轴的一个交点的坐标为m,0.假设2<m<3,那么a的取值范围是. 7.某农场拟建两间矩形饲养室,一面靠现有墙墙足够长,中间用一道墙隔开,并在如下图的三处各留1 m宽的门.方案中的材料可建墙体不包括门总长为27 m,那么能建成的饲养室面积最大为m2. 8.

3、如图,RtOAB的顶点A-2,4在抛物线y=ax2a0上,将RtOAB绕点O顺时针旋转90°,得到OCD,边CD与该抛物线交于点P,那么点P的坐标为. 三、解答题9.如图,需在一面墙上绘制几个一样的抛物线型图案.按照图中的直角坐标系,最左边的抛物线可以用y=ax2+bxa0表示.抛物线上B,C两点到地面的间隔 均为34 m,到墙边的间隔 分别为12 m,32 m.1求该拋物线的函数关系式,并求图案最高点到地面的间隔 ;2假设该墙的长度为10 m,那么最多可以连续绘制几个这样的拋物线型图案?B组提升题组一、选择题1.以下关于二次函数y=ax2-2ax+1a>1的图象与x

4、轴交点的判断,正确的选项是A.没有交点B.有一个交点,且它位于y轴右侧C.有两个交点,且它们均位于y轴左侧D.有两个交点,且它们均位于y轴右侧2.2019枣庄以下图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,且过点A3,0,二次函数图象的对称轴是直线x=1,以下结论正确的选项是A.b2<4acB.ac>0C.2a-b=0D.a-b+c=03.2019潍坊二次函数y=-x-h2h为常数,当自变量x的值满足2x5时,与其对应的函数值y的最大值为-1,那么h的值为A.3或6B.1或6C.1或3D.4或64.2019菏泽二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图,那么一次函数y=bx+a与反

5、比例函数y=a+b+cx在同一平面直角坐标系中的图象大致是二、填空题5.2019青岛假设抛物线y=x2-6x+m与x轴没有交点,那么m的取值范围是. 6.2019淄博抛物线y=x2+2x-3与x轴交于A,B两点点A在点B的左侧,将这条抛物线向右平移mm>0个单位,平移后的抛物线与x轴交于C,D两点点C在点D的左侧,假设B,C是线段AD的三等分点,那么m的值为. 三、解答题7.2019广东如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+ax+b交x轴于A1,0,B3,0两点,点P是抛物线上在第一象限内的一点,直线BP与y轴相交于点C.1求抛物线y=-x2+ax+b的解析式;

6、2当点P是线段BC的中点时,求点P的坐标;3在2的条件下,求sinOCB的值.8.2019陕西抛物线L:y=x2+x-6与x轴相交于A、B两点点A在点B的左侧,并与y轴相交于点C.1求A、B、C三点的坐标,并求ABC的面积;2将抛物线L向左或向右平移,得到抛物线L',且L'与x轴相交于A'、B'两点点A'在点B'的左侧,并与y轴相交于点C',要使A'B'C'和ABC的面积相等,求所有满足条件的抛物线的函数表达式.二次函数的综合应用培优训练一、选择题1.向上发射一枚炮弹,经x秒后的高度为y千米,且时间与高度的关系为y

7、=ax2+bx.假设此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等,那么在以下哪一个时间的高度是最高的A.第9.5秒B.第10秒C.第10.5秒D.第11秒2.烟花厂为成都春节特别设计制作了一种新型礼炮,这种礼炮的升空高度hm与飞行时间ts的关系式是h=-32t2+12t+30,假设这种礼炮在升空到最高点时引爆,那么从点火升空到引爆需要的时间为A.3 sB.4 sC.5 sD.6 s3.二次函数y=ax2+bx+ca0图象的一部分如下图,x=-1是对称轴,以下结论:ac<0;a-b+c=-9a;假设-3,y1,32,y2是抛物线上两点,那么y1>y2;将抛物线沿x轴向右平移一个单位后得到的新

8、抛物线的表达式为y=ax2-9.其中正确的选项是A.B.C.D.二、填空题4.科学家为了推测最合适某种珍奇植物生长的温度,将这种植物分别放在不同温度的环境中,经过一定时间后,测试出这种植物高度的增长情况,部分数据如表:温度t/-4-2014植物高度增长量l/mm4149494625科学家经过猜测并推测出l与t之间是二次函数关系.由此可以推测最合适这种植物生长的温度为. 5.如图,直线y=mx+n与抛物线y=ax2+bx+c交于A-1,p,B4,q两点,那么关于x的不等式mx+n>ax2+bx+c的解集是. 三、解答题6.旅游公司在景区内配置了50辆观光车供游客租赁使用

9、,假定每辆观光车一天内最多只能出租一次,且每辆车的日租金x元是5的倍数.发现每天的运营规律如下:当x不超过100元时,观光车能全部租出;当x超过100元时,每辆车的日租金每增加5元,租出去的观光车就会减少1辆.所有观光车每天的管理费是1 100元.1优惠活动期间,为使观光车全部租出且每天的净收入为正,那么每辆车的日租金至少应为多少元?注:净收入=租车收入-管理费2当每辆车的日租金为多少元时,每天的净收入最多?7.我国中东部地区雾霾天气趋于严重,环境治理已刻不容缓.我市某电器商场根据民众安康需要,代理销售某种家用空气净化器,其进价是200元/台.经过市场销售后发现:在一个月内,当售价是400元/

10、台时,可售出200台,且售价每降低10元/台,就可多售出50台.供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台,代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务.1试确定月销售量y台与售价x元/台之间的函数关系式;2求售价x的范围;3当售价x元/台定为多少时,商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w元最大?最大利润是多少?8.如图,直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6a0相交于A12,52和B4,m两点,点P是线段AB上异于A、B的动点,过点P作PCx轴于点D,交抛物线于点C.1求抛物线的解析式;2是否存在这样的P点,使线段PC的长有最大值?假设存在,求出这个最大值;假设不存在,请说明理由

11、.9.如图,直线y=-x+3与x轴,y轴分别交于B3,0,C0,3两点,抛物线y=ax2+bx+c过A1,0,B,C三点.1求抛物线的解析式;2假设点M是抛物线在x轴下方的一个动点,过点M作MNy轴交直线BC于点N,求线段MN的最大值;3在2的条件下,当MN获得最大值时,在抛物线的对称轴l上是否存在点P,使PBN是以BN为腰的等腰三角形?假设存在,求出点P的坐标,假设不存在,请说明理由.10.如图,在矩形OABC中,点O为原点,点A的坐标为0,8,点C的坐标为6,0.抛物线y=-49x2+bx+c经过点A、C,与AB交于点D.1求抛物线的函数解析式;2点P为线段BC上一个动点不与点C重合,点Q

12、为线段AC上一个动点,AQ=CP,连接PQ,设CP=m,CPQ的面积为S.求S关于m的函数表达式;当S最大时,在抛物线y=-49x2+bx+c的对称轴l上是否存在点F,使DFQ为直角三角形,假设存在,请直接写出所有符合条件的点F的坐标;假设不存在,请说明理由.11.如图1,平面直角坐标系中,二次函数y=-14x2+bx+c的图象与坐标轴分别交于点A、B、C,其中点A0,8,OB=12OA.1求二次函数的表达式;2假设OD=OB,点F为该二次函数在第二象限内图象上的动点,E为DF的中点.当CEF的面积最大时,求出点E的坐标;如图2,将CEF绕点E旋转180°,C点落在M处,假设M点恰好

13、在该抛物线上,求出此时CEF的面积.12.如图,直线y=-x+2与x轴交于B点,与y轴交于C点,A点坐标为-1,0.1求过A、B、C三点的抛物线的解析式;2在直线BC上方的抛物线上有一点D,过D作DEBC于E,作DFy轴交BC于F,求DEF周长的最大值;3在满足第2问的条件下,在线段BD上是否存在一点P,使DFP=DBC.假设存在,求出点P的坐标;假设不存在,说明理由.13.如图,在平面直角坐标系中,直线y=12x+2与x轴交于点A,与y轴交于点C.抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=-32且经过A、C两点,与x轴的另一交点为点B.1求二次函数y=ax2+bx+c的表达式;2假设点P为直线

14、AC上方的抛物线上的一点,连接PA,PC,BC.求四边形PABC面积的最大值,并求出此时点P的坐标;3抛物线上是否存在点M,过点M作MN垂直x轴于点N,使得以点A,M,N为顶点的三角形与ABC相似?假设存在,求出点M的坐标;假设不存在,请说明理由.第12讲二次函数A组根底题组一、选择题1.C当x=1时,y=a+2a-1+a-3>0,解得a>1,又根据抛物线顶点坐标公式可得-2a-12a<0,4a(a-3)-(2a-1)24a=-8a-14a<0,所以这条抛物线的顶点一定在第三象限,应选C.2.DA.由图象开口可知:a<0,由对称轴可知:-b2a>0,b>

15、;0,由抛物线与y轴的交点可知:c>0,abc<0,故A正确;B.由图象可知:x=-1时,y<0,y=a-b+c<0,a+c<b,故B正确;C.由图象可知:顶点的纵坐标大于2,4ac-b24a>2,a<0,4ac-b2<8a,b2+8a>4ac,故C正确;D.对称轴x=-b2a<1,a<0,2a+b<0,故D错误.应选D.3.A4.A5.D二、填空题6.答案-3<a<-2或13<a<12解析把m,0代入y=ax2+a2-1x-a得am2+a2-1m-a=0,m=-(a2-1)±(a2-1)

16、2+4a22a=-(a2-1)±(a2+1)2a,解得m1=1a,m2=-a,2<m<3,2<1a<3或2<-a<3,解得13<a<12或-3<a<-2.7.答案75解析设垂直于墙的材料长为x米,那么平行于墙的材料长为27+3-3x=30-3x,那么总面积S=x30-3x=-3x2+30x=-3x-52+75,故饲养室的最大面积为75平方米.8.答案2,2解析RtOAB的顶点A-2,4在抛物线y=ax2a0上,4=4a,解得a=1,抛物线的解析式为y=x2,ABx轴,B-2,0,OB=2,将RtOAB绕点O顺时针旋转90&#

17、176;,得到OCD,D点在y轴上,且OD=OB=2,D0,2,DCOD,DCx轴,P点的纵坐标为2,代入y=x2,得2=x2,解得x=2负值舍去,P2,2.三、解答题9.解析1根据题意得B12,34,C32,34,把B,C代入y=ax2+bxa0得34=14a+12b,34=94a+32b,解得a=-1,b=2,拋物线的函数关系式为y=-x2+2x,图案最高点到地面的间隔 =-224×(-1)=1 m.2令y=0,即-x2+2x=0,解得x1=0,x2=2,10÷2=5,最多可以连续绘制5个这样的拋物线型图案.B组提升题组一、选择题1.Da>1,=-2a2-4a=4

18、aa-1>0,ax2-2ax+1=0有两个不相等的实数根,即函数图象与x轴有两个交点,x=2a-4a(a-1)2a>0,应选D.2.D抛物线与x轴有两个交点,b2-4ac>0,即b2>4ac,所以A选项错误;抛物线开口向上,a>0,抛物线与y轴的交点在x轴下方,c<0,ac<0,所以B选项错误;二次函数图象的对称轴是直线x=1,-b2a=1,2a+b=0,所以C选项错误;抛物线过点A3,0,二次函数图象的对称轴是x=1,抛物线与x轴的另一个交点为-1,0,a-b+c=0,所以D选项正确.应选D.3.B对于二次函数y=-x-h2h为常数,当x=h时,函数

19、有最大值0,又当自变量x的值满足2x5时,与其对应的函数值y的最大值为-1,故h<2或h>5.当h<2,2x5时,y随x的增大而减小,故当x=2时,y有最大值,此时-2-h2=-1,解得h1=1,h2=3舍去;当h>5,2x5时,y随x的增大而增大,故当x=5时,y有最大值,此时-5-h2=-1,解得h1=6,h2=4舍去,综上可知h=1或6.应选B.4.B二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,a>0,该抛物线对称轴位于y轴的右侧,a、b异号,即b<0.当x=1时,y<0,a+b+c<0.一次函数y=bx+a的图象经过第一、二、四象限,反比

20、例函数y=a+b+cx的图象分布在第二、四象限,应选B.二、填空题5.答案m>9解析抛物线y=x2-6x+m与x轴没有交点,<0,即-62-4×1×m<0,解得m>9.6.答案2解析如图,B,C是线段AD的三等分点,AC=BC=BD,由题意得:AC=BD=m,当y=0时,x2+2x-3=0,x-1x+3=0,x1=1,x2=-3,A-3,0,B1,0,AB=3+1=4,AC=BC=2,m=2,故答案为2.三、解答题7.解析1把A1,0,B3,0代入抛物线y=-x2+ax+b,得0=-1+a+b,0=-9+3a+b,解得a=4,b=-3.抛物线的解析式

21、为y=-x2+4x-3.2当点P是线段BC的中点时,易得点P的横坐标为32,当x=32时,y=34,所以点P的坐标为32,34.3由2得点C的坐标为0,32,OC=32,又OB=3,BC=OC2+OB2=352.sinOCB=OBBC=3352=255.8.解析1令y=0,得x2+x-6=0,解得x=-3或x=2,A-3,0,B2,0.AB=5,令x=0,得y=-6,C0,-6,OC=6,SABC=12AB·OC=12×5×6=15.2由题意得A'B'=AB=5.要使SA'B'C'=SABC,只要抛物线L'与y轴的交

22、点为C'0,-6或C'0,6即可.设所求抛物线L':y=x2+mx+6,y=x2+nx-6.抛物线L'与抛物线L的顶点的纵坐标一样,24-m24=-24-14,-24-n24=-24-14,解得m=±7,n=±1n=1舍去.抛物线L'的函数表达式为y=x2+7x+6,y=x2-7x+6或y=x2-x-6.二次函数的综合应用培优训练一、选择题1.C当x=7时,y=49a+7b;当x=14时,y=196a+14b.根据题意得49a+7b=196a+14b,b=-21a,根据二次函数图象的对称性及抛物线的开口方向,得当x=-b2a=10.5

23、时,y最大,即高度最高.应选C.2.B礼炮在升空到最高点时引爆,且二次函数图象的开口向下,高度h取最大值时,t=-b2a,即t=-122×-32=4.应选B.3.D二次函数的图象开口向下,a<0,抛物线与y轴的正半轴相交,c>0,ac<0,故正确;抛物线的对称轴x=-b2a=-1,b=2a,当x=2时,y=0,4a+2b+c=0,4a+4a+c=0,c=-8a,a-b+c=-9a,故正确;抛物线的对称轴为x=-1,当x=-1时,抛物线有最大值,-3间隔 -1有2个单位长度,32间隔 -1有52个单位长度,y1>y2,故正确;设抛物线的解析式为y=ax+12+k

24、,将抛物线沿x轴向右平移一个单位后得出平移后的解析式y=ax2+k,c=-8a,a+k=-8a,k=-9a,将抛物线沿x轴向右平移一个单位后得到的新抛物线的表达式为y=ax2-9a,即y=ax2-9,故正确.正确结论为.应选D.二、填空题4.答案-1解析设l=at2+bt+ca0,将0,49,1,46,4,25代入后得方程组c=49,a+b+c=46,16a+4b+c=25,解得a=-1,b=-2,c=49,所以l与t之间的二次函数解析式为l=-t2-2t+49,当t=-b2a=-1时,l有最大值50,即最合适这种植物生长的温度是-1 .5.答案x<-1或x>4解析由题图可知,当x

25、<-1或x>4时,直线y=mx+n的图象在抛物线y=ax2+bx+c的上方,不等式mx+n>ax2+bx+c的解集为x<-1或x>4.三、解答题6.解析1由题意知,假设观光车能全部租出,那么0<x100,由50x-1 100>0,解得x>22,x是5的倍数,每辆车的日租金至少应为25元.2设每天的净收入为y元,当0<x100时,y1=50x-1 100,y1随x的增大而增大,当x=100时,y1的最大值为50×100-1 100=3 900;当x>100时,y2=50-x-1005x-1 100=50x-15x2+20x-1

26、 100=-15x2+70x-1 100=-15x-1752+5 025,当x=175时,y2的最大值为5 025,5 025>3 900,故当每辆车的日租金为175元时,每天的净收入最多,是5 025元.7.解析1根据题中条件售价每降低10元/台,月销售量就可多售出50台,那么月销售量y台与售价x元/台之间的函数关系式为y=200+50×400-x10,化简得y=-5x+2 200.2根据供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台,代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务,那么x300,-5x+2 200450,解得300x350.所以售价x的范围为300x350.

27、3w=x-200-5x+2 200,整理得w=-5x-3202+72 000.x=320在300x350内,当x=320时,w有最大值,为72 000,即售价定为320元/台时,商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w最大,最大利润是72 000元.8.解析1B4,m在直线y=x+2上,m=6,即B4,6,A12,52和B4,6在抛物线y=ax2+bx+6上,a122+12b+6=52,16a+4b+6=6,解得a=2,b=-8,抛物线的解析式为y=2x2-8x+6.2存在.设动点P的坐标为n,n+2,点C的坐标为n,2n2-8n+6,PC=n+2-2n2-8n+6=-2n2+9n-4=-2n

28、-942+498,-2<0,抛物线开口向下,有最大值,当n=94时,线段PC的长有最大值498.9.解析1由题意将点A1,0、B3,0、C0,3代入抛物线y=ax2+bx+c中,得a+b+c=0,9a+3b+c=0,c=3,解得a=1,b=-4,c=3,抛物线的解析式为y=x2-4x+3.2设点M的坐标为m,m2-4m+3,MNy轴,点N的坐标为m,-m+3.A1,0,B3,0在抛物线上且点M是抛物线在x轴下方的一个动点.1<m<3.线段MN=-m+3-m2-4m+3=-m2+3m=-m-322+94,当m=32时,线段MN取最大值,最大值为94.3假设存在.设点P的坐标为2

29、,n.当m=32时,点N的坐标为32,32,PB=(2-3)2+(n-0)2=1+n2,PN=2-322+n-322,BN=3-322+0-322=322.PBN以BN为腰的等腰三角形,分二种情况:当PB=BN,即1+n2=322时,解得n=±142,此时点P的坐标为2,-142或2,142.当PN=BN,即2-322+n-322=322时,解得n=3±172,此时点P的坐标为2,3-172或2,3+172.综上可知:在抛物线的对称轴l上存在点P,使PBN是以BN为腰的等腰三角形,点P的坐标为2,-142或2,142或2,3-172或2,3+172.10.解析1将A、C两点

30、坐标代入抛物线解析式,得c=8,-49×36+6b+c=0,解得b=43,c=8,抛物线的解析式为y=-49x2+43x+8.2OA=8,OC=6,AC=OA2+OC2=10,过点Q作QEBC与E点,那么sinACB=QEQC=ABAC=35,QE10-m=35,QE=3510-m,S=12·CP·QE=12m×3510-m=-310m2+3m.S=12·CP·QE=12m×3510-m=-310m2+3m=-310m-52+152,当m=5时,S取最大值;在抛物线对称轴l上存在点F,使DFQ为直角三角形,抛物线y=-49x

31、2+43x+8的对称轴为x=32,D的坐标为3,8,Q的坐标为3,4,当FDQ=90°时,F132,8,当FQD=90°时,那么F232,4,当DFQ=90°时,设F32,n,那么FD2+FQ2=DQ2,即94+8-n2+94+n-42=16,解得n=6±72,F332,6+72,F432,6-72,满足条件的点F共有四个,分别为F132,8,F232,4,F332,6+72,F432,6-72.11.解析1OA=8,OB=12OA=4,B4,0,y=-14x2+bx+c的图象过点A0,8,B4,0,-14×42+4b+c=0,c=8,解得b=

32、-1,c=8,二次函数的表达式为y=-14x2-x+8.2当y=0时,-14x2-x+8=0,解得x1=4,x2=-8,C点坐标为-8,0,D点坐标为0,4,设直线CD的解析为y=kx+dk0,故-8k+d=0,d=4,解得k=12,d=4,故直线DC的解析为y=12x+4.如图,过点F作y轴的平行线交DC于点P,设F点坐标为m,-14m2-m+8,那么P点坐标为m,12m+4,那么FP=-14m2-32m+4,SFCD=12·FP·OC=12×-14m2-32m+4×8=-m2-6m+16,E为FD中点,SCEF=12×SFCD=-12m2-

33、3m+8=-12m+32+252,当m=-3时,SCEF有最大值,-14m2-m+8=-14×9+3+8=354,E点纵坐标为12×354+4=518,F-3,354,E-32,518.F点坐标为m,-14m2-m+8,C点坐标为-8,0,D点坐标为0,4,Mm+8,-14m2-m+12,又M点在抛物线上,-14m+82-m+8+8=-14m2-m+12,解得m=-7,故SCEF=-12m2-3m+8=92.12.解析1直线y=-x+2与x轴交于B2,0,与y轴交于C0,2,设过A、B、C的抛物线的解析式为y=ax2+bx+ca0,把A-1,0,B2,0,C0,2的坐标代入,解得a=-1,b=1,c=2,抛物线的解析式为y=-x2+x