第1章 1.1 直角坐标系平面上的伸缩变换

1、.1.1直角坐标系，平面上的伸缩变换1.1.1直角坐标系1.1.2平面上的伸缩变换1.回忆在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，体会坐标系的作用.2.理解在伸缩变换作用下平面图形的变化情况，掌握平面直角坐标系中的伸缩变换.重点根底初探1.直角坐标系1直线上点的坐标点O，长度单位和选定的方向三者就构成了直线上的坐标系，简称数轴.直线上的点与全体实数之间就建立了一一对应关系.2平面直角坐标系取定两条互相垂直的且有方向的直线和长度单位构成平面上的一个直角坐标系，记为xOy，有序数组x，y为点M的坐标.在平面上建立了直角坐标系后，平面上的点就与全体有顺序的实数对之间建立了一一对应关系.3空间直角坐标系

2、过空间中一个定点O，作三条互相垂直且有一样长度单位的数轴，就构成了空间直角坐标系.在建立了空间直角坐标系后，空间中的点和有序数组x，y，z之间建立了一一对应关系.2.平面上的伸缩变换把点Px，y变为平面上新的点QX，Y，伸缩变换的坐标表达式为：，其中a0，b0.特别提醒：1在坐标伸缩变换的作用下，可以实现平面图形的伸缩，因此，平面图形的伸缩变换可以用坐标的伸缩变换来表示.2在使用时，要注意点的对应性，即分清新旧：QX，Y是变换后的点的坐标，Px，y是变换前的点的坐标.考虑探究1.如何根据几何图形的几何特征建立恰当的坐标系？【提示】假如图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；假如图形有对称轴，

3、可以选对称轴为坐标轴；假设题目有长度的线段，以线段所在的直线为x轴，以端点或中点为原点.建系原那么：使几何图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上.2.如何理解点的坐标的伸缩变换？【提示】在平面直角坐标系中，点Px，y变换到QX，Y.当a1时，是横向拉伸变换，当0a1时，是纵向拉伸变换，当0b100.所以，埋设地下管线m的方案不需修改.类型三伸缩变换求点的坐标和曲线方程在同一平面直角坐标系中，伸缩变换：.【导学号：62790001】1求点A，2经过变换所得的点A的坐标；2求双曲线C：x21经过变换后所得曲线C的焦点坐标.【精彩点拨】1由伸缩变换求得X，Y.即用x，y表示X，Y.2将求得的x，y代入原

4、方程得X，Y间的关系.【尝试解答】1设点AX，Y.由伸缩变换：得到又点A，2.于是X31，Y21.变换后点A的坐标为1，1.2设曲线C上任意一点QX，Y，将代入x21，得1，化简得1，曲线C的方程为1.a29，b216，c225，因此曲线C的焦点F15,0，F25,0.解答此题的关键：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；二是明确变换前后点的坐标关系，利用方程思想求解.再练一题3.假设将例题中第2题改为：假如曲线C经过变换后得到的曲线的方程为x218y，那么能否求出曲线C的焦点坐标和准线方程？请说明理由.【解】设曲线C上任意一点Mx，y，经过变换后对应点MX，Y.由得*又MX，Y

5、在曲线x218y上，X218Y将*代入式得3x218y.即x2y为曲线C的方程.可见仍是抛物线，其中p，抛物线x2y的焦点为F0，.准线方程为y.类型四由条件求伸缩变换在同一平面直角坐标系中，求一个伸缩变换，使得圆x2y21变换为椭圆1.【精彩点拨】区分原方程和变换后的方程设伸缩变换公式代入变换后的曲线方程与原曲线方程比较系数.【尝试解答】将变换后的椭圆的方程1改写为1，设伸缩变换为，代入上式.得1，即2x22y21.与x2y21比较系数，得所以伸缩变换为因此，先使圆x2y21上的点的纵坐标不变，将圆上的点的横坐标伸长到原来的3倍，得到椭圆y21，再将该椭圆的纵坐标伸长到原来的2倍，得到椭圆1

6、.1.求满足图象变换的伸缩变换，实际上是让我们求出变换公式，将新旧坐标分清，代入对应的曲线方程，然后比较系数可得.2.解题时，区分变换的前前方向是关键，必要时需要将变换后的曲线的方程改写成加注上或下标的未知数的方程形式.再练一题4.在同一平面坐标系中，求一个伸缩变换使其将曲线y2sin变换为正弦曲线ysin x.【解】将变换后的曲线的方程ysin x改写为ysin x，设伸缩变换为代入Ysin X，bysin ax，即ysin ax.比较与原曲线方程的系数，知所以伸缩变换为即先使曲线y2sin的点的纵坐标不变，将曲线上的点的横坐标缩短为原来的倍，得到曲线y2sin x；再将其纵坐标缩短到原来的倍，得正弦曲线ysin x.真题链接赏析教材P5习题11T3伸缩变换的坐标表达式为曲线C在此变换下变为椭圆X21.求曲线C的方程.在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线4Y21，求曲线C的方程并画出图形.【命题意图】此题主要考察曲线与方程，以及平面直角坐标系中的伸缩变换.【解】设Mx，y是曲线C上任