第1章 1.4　导数在实际生活中的应用

1、.1.4导数在实际生活中的应用1能应用导数解决实际问题重点2审清题意，正确建立函数关系式难点3无视变量的实际意义，忽略函数定义域易错点根底·初探教材整理导数在生活中的应用阅读教材P35P38“练习以上部分，完成以下问题1导数的实际应用导数在实际生活中有着广泛的应用，如用料最省、利润最大、效率最高等问题一般可以归结为函数的最值问题，从而可用导数来解决2用导数解决实际生活问题的根本思路1做一个容积为256 m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为_m.【解析】设底面边长为x m，高为h m，那么有x2h256，所以h.所用材料的面积设为S m2，那么有S4x·hx24x&#

2、183;x2x2.S2x，令S0，得x8，因此h4m【答案】42某一件商品的本钱为30元，在某段时间内，假设以每件x元出售，可卖出200x件，当每件商品的定价为_元时，利润最大【解析】利润为Sxx30200xx2230x6 000，Sx2x230，由Sx0，得x115，这时利润到达最大【答案】115质疑·手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们讨论交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型面积、体积的最值问题请你设计一个包装盒，如图1­4­1，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，

3、再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AEFBxcm图1­4­11某广告商要求包装盒的侧面积Scm2最大，试问x应取何值？2某厂商要求包装盒的容积Vcm3最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值【精彩点拨】弄清题意，根据“侧面积4×底面边长×高和“体积底面边长的平方×高这两个等量关系，用x将等量关系中的相关量表示出来，建立函数关系式，然后求最值【自主解答】设包装盒的高为h cm，底面边长为a cm.由得ax，h30

4、x，0x30.1S4ah8x30x8x1521 800，所以当x15时，S获得最大值2Va2h2x330x2，V6x20x由V0，得x0舍去或x20.当x0,20时，V0；当x20,30时，V0.所以当x20时，V获得极大值，也是最大值此时，即包装盒的高与底面边长的比值为.1解决面积、体积最值问题的思路要正确引入变量，将面积或体积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值2解决导数在实际应用时应注意的问题1列函数关系式时，注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域；2一般地，通过函数的极值来求得函数的最值假如函数fx在给定区间内只有一个极值点或函数fx在开区间上只有一个点

5、使fx0，那么只要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可，不必再与端点处的函数值进展比较再练一题1将一张2×6 m 的矩形钢板按如图1­4­2所示划线，要求至全为矩形，且其中与，与分别是全等的矩形，且，沿线裁去阴影部分，把剩余部分焊接成一个以为底，为盖的水箱，设水箱的高为x m，容积为y m3.图1­4­21写出y关于x的函数关系式；2x取何值时，水箱的容积最大【解】1由水箱的高为x m，得水箱底面的宽为22x m，长为3x m.故水箱的容积为y2x38x26x0<x<12由y6x216x60，解得x舍去或x.因为y2x38x2

6、6x0<x<1在内单调递增，在内单调递减，所以当x的值为时，水箱的容积最大用料最省、本钱费用最低问题位于A，B两点处的甲、乙两村合用一个变压器，如图1­4­3所示，假设两村用同型号线架设输电线路，问变压器设在输电干线何处时，所需电线总长最短图1­4­3【精彩点拨】可设CDx，那么CE3x，利用勾股定理得出AC，BC的长，从而构造出所需电线总长度的函数【自主解答】设CDx km，那么CE3xkm.那么所需电线总长lACBC0x3，从而l.令l0，即0，解得x1.2或x6舍去因为在0,3上使l0的点只有x1.2，所以根据实际意义，知x1.2就是我

7、们所求的最小值点，即变压器设在DE之间离点D的间隔 为1.2 km处时，所需电线总长最短1用料最省、本钱费用最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答2利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使fx0时，假如函数在这点有极大小值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点获得最大小值再练一题2甲、乙两地相距400千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米/时，该汽车每小时的运输本钱P元关于速度v千米/时的函数关系是Pv4v315v，1求全程运输本钱Q元关于速度v的函数关系式；2为使全程

8、运输本钱最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输本钱的最小值. 【导学号：01580020】【解】1QP···400v26 0000<v1002Q5v，令Q0，那么v0舍去或v80，当0<v<80时，Q<0；当80<v100时，Q>0，v80千米/时时，全程运输本钱获得极小值，即最小值，且Q最小值Q80元探究共研型利润最大、效率最高问题探究在实际问题中，假如在定义域内函数只有一个极值点，那么函数在该点处取最值吗？【提示】根据函数的极值与单调性的关系可以判断，函数在该点处取最值，并且极小值点对应最小值，极大值点对应最大值某商场销售

9、某种商品的经历说明，该商品每日的销售量y单位：千克与销售价格x单位：元/千克满足关系式y10x62，其中3x6，a为常数，销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克1求a的值；2假设该商品的本钱为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大【精彩点拨】1根据x5时，y11求a的值2把每日的利润表示为销售价格x的函数，用导数求最大值【自主解答】1因为x5时，y11，所以1011，a2.2由1知，该商品每日的销售量y10x62，所以商场每日销售该商品所获得的利润fxx3210x3x62,3x6，从而，fx10x622x3x630x4·x6，于是，当x变化时

10、，fx，fx的变化情况如下表：x3,444,6fx0fx单调递增极大值42单调递减由上表可得，x4是函数fx在区间3,6内的极大值点，也是最大值点，所以，当x4时，函数fx获得最大值，且最大值等于42.故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大1经济生活中优化问题的解法经济生活中要分析消费的本钱与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导消费活动2关于利润问题常用的两个等量关系1利润收入本钱2利润每件产品的利润×销售件数再练一题3某工厂消费某种产品，该产品的月消费量x吨与每吨产品的价格p元/吨之间的关系式为：p

11、24 200x2，且消费x吨的本钱为R50 000200x元问该厂每月消费多少吨产品才能使利润到达最大？最大利润是多少？【解】每月消费x吨时的利润为fxx50 000200xx324 000x50 000x0，由fxx224 0000，解得x200或x200舍去因为fx在0，内只有一个点x200使fx0，故它就是最大值点，且最大值为f200×201924 000×20050 0003 150 000元，故每月消费200吨产品时利润到达最大，最大利润为315万元构建·体系1炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进展冷却和加热，假如第x小时，原油温度单位：为fxx3x

12、280x5，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是_【解析】原油温度的瞬时变化率为fxx22xx1210x5，所以当x1时，原油温度的瞬时变化率获得最小值为1.【答案】12从边长为10 cm×16 cm的矩形纸板的四角截去四个一样的小正方形，作成一个无盖的盒子，那么盒子容积的最大值为_cm3. 【导学号：01580021】【解析】设盒子容积为y cm3，盒子的高为x cm.那么y102x162xx0<x<54x352x2160x，y12x2104x160.令y0，得x2或x舍去，ymax6×12×2144cm3【答案】1443电动自行车的耗电量y与速度x

13、之间的关系为yx3x240xx>0，为使耗电量最小，那么其速度应定为_【解析】由题设知yx239x40，令y>0，解得x>40，或x<1，故函数yx3x240xx>0在40，上递增，在0,40上递减当x40时，y获得最小值由此得为使耗电量最小，那么其速度应定为40.【答案】404某产品的销售收入y1万元是产量x千台的函数：y117x2x0，消费本钱y2万元是产量x千台的函数：y22x3x2x0，为使利润最大，应消费_千台【解析】设利润为y，那么yy1y217x22x3x22x318x2x0，y6x236x6xx6令y0，解得x0或x6，经检验知x6既是函数的极大值点又是函数的最大值点【答案】65某商品每件本钱9元，售价30元，每星期卖出432件，假如降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x单位：元，0x30的平方成正比，商品单价降低2元时，一星期多卖出24件1将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；2如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？【解】1假设商品降价x元，那么多卖的商品数为kx2件，由题意知24k·22，得k6.假设记商品在一个星期的获利为fx，那么依题意有fx30x9·432