第1章 §1 1.1 归纳推理

1、.§1归纳与类比1.1归纳推理1.理解归纳推理的含义，能利用归纳推理进展简单的推理.重点2.理解归纳推理在数学开展中的作用.难点根底·初探教材整理归纳推理阅读教材P3P5，完成以下问题.1.归纳推理的定义根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性，这种推理方式称为归纳推理.2.归纳推理的特征归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理.利用归纳推理得出的结论不一定是正确的.判断正确的打“，错误的打“×1统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于归纳推理.2由个别到一般的推理称为归纳推理.3由归纳推理所得到的结论一定是正

2、确的.【答案】123×质疑·手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们讨论交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：小组合作型数式中的归纳推理1观察以下各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，那么a10b10 【导学号：94210000】A.28B.76C.123D.1992fx，设f1xfx，fnxfn1fn1xn>1，且nN，那么f3x的表达式为_，猜测fnxnN的表达式为_.【精彩点拨】1记anbnfn，观察f1，f2，f3，f4，f5之间的关系，再归纳得出结论.2写出前n项发现规律，归纳猜测结果.【自主解答】1记anbnfn

3、，那么f3f1f2134；f4f2f3347；f5f3f411.通过观察不难发现fnfn1fn2nN，n3，那么f6f4f518；f7f5f629；f8f6f747；f9f7f876；f10f8f9123.所以a10b10123.2f1xfx，f2xf1f1x，f3xf2f2x，由f1x，f2x，f3x的表达式，归纳fnx.【答案】1C2f3xfnx等式或不等式进展归纳推理的方法：1要特别注意所给几个等式或不等式中项数和次数等方面的变化规律；2要特别注意所给几个等式或不等式中构造形式的特征；3提炼出等式或不等式的综合特点；4运用归纳推理得出一般结论.再练一题1.经计算发现以下不等式：<2

4、，<2，<2，根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a，b都成立的条件不等式：_.【答案】当ab20时，有<2，a，bR数列中的归纳推理1在数列an中，a11，an1，那么a2 017等于A.2B.C.2D.12古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，如图1­1­1：图1­1­1由于图中1，3，6，10这些数可以表示成三角形，故被称为三角形数，试结合组成三角形数的特点，归纳第n个三角形数的石子个数.【精彩点拨】1写出数列的前n项，再利用数列的周期性解答.2可根据图中点的分布规律归纳出三角形数的形成规律，如11，312，6123

5、；也可以直接分析三角形数与n的对应关系，进而归纳出第n个三角形数.【自主解答】1a11，a2，a32，a41，数列an是周期为3的数列，2 017672×31，a2 017a11.【答案】D2法一：由11，312，6123，101234，可归纳出第n个三角形数为123n.法二观察项数与对应项的关系特点如下：项数1234对应项分析：各项的分母均为2，分子分别为相应项数与相应项数加1的积.归纳：第n个三角形数的石子数应为.数列中的归纳推理在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和.1通过条件求出数列的前几项或前n项和；2根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解

6、；3运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式.再练一题2.数列an满足a11，an12an1n1，2，3，1求a2，a3，a4，a5；2归纳猜测通项公式an. 【导学号：94210001】【解】1当n1时，知a11，由an12an1，得a23，a37，a415，a531.2由a11211，a23221，a37231，a415241，a531251，可归纳猜测出an2n1nN.探究共研型几何图形中的归纳推理探究1在法国巴黎举行的第52届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成假设干堆“正三棱锥形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2，3，4，堆最底层第一层分别按图1­1

7、73;2所示方式固定摆放，从第二层开场，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以fn表示第n堆的乒乓球总数，试求f1，f2，f3，f4的值.图1­1­2【提示】观察图形可知，f11，f24，f310，f420.探究2上述问题中，试用n表示出fn的表达式.【提示】由题意可得：下一堆的个数是上一堆个数加下一堆第一层的个数，即f2f13；f3f26；f4f310；fnfn1.将以上n1个式子相加可得fnf136101222n2123n.有两种花色的正六边形地面砖，按如图1­1­3的规律拼成假设干个图案，那么第6个图案中有菱形纹的正六边形的

8、个数是图1­1­3A.26 B.31C.32D.36【精彩点拨】解答此题可先通过观察、分析找到规律，再利用归纳得到结论.【自主解答】法一：有菱形纹的正六边形个数如下表：图案123个数61116由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是65×6131.法二：由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需6个有纹正六边形围绕图案1外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块菱形纹正六边形每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共的菱形纹正六边形，故第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数为：65&#

9、215;6131.【答案】B归纳推理在图形中的应用策略通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数学之间的规律、特征，然后进展归纳推理.解答该类问题的一般策略是：再练一题3.根据图1­1­4中线段的排列规那么，试猜测第8个图形中线段的条数为_.图1­1­4【解析】分别求出前4个图形中线段的数目，发现规律，得出猜测，图形到中线段的条数分别为1，5，13，29，因为1223，5233，13243，29253，因此可猜测第8个图形中线段的条数应为2813509.【答案】509构建·体系1.用火柴棒摆“金鱼，如图1&

10、#173;1­5所示：图1­1­5按照上面的规律，第n个“金鱼图需要火柴棒的根数为A.6n2B.8n2C.6n2D.8n2【解析】a18，a214，a320，猜测an6n2.【答案】C2.假设空间中n个不同的点两两间隔 都相等，那么正整数n的取值A.至多等于3B.至多等于4C.等于5D.大于5【解析】n2时，可以；n3时，为正三角形，可以；n4时，为正四面体，可以；n5时，为四棱锥，侧面为正三角形，底面为菱形且对角线长与边长相等，不可能.【答案】B3.12×1×2×3，1222×2×3×5，122232&

11、#215;3×4×7，12223442×4×5×9，那么1222n2_.其中nN*.【解析】根据题意归纳出1222n2nn12n1，下面给出证明：k13k33k23k1，那么23133×123×11，33233×223×21，n13n33n23n1，累加得n131331222n2312nn，整理得1222n2nn12n1，故填nn12n1.【答案】nn12n14.观察以下等式：11234934567254567891049照此规律，第五个等式应为_. 【导学号：94210002】【解析】由于112，234932，345672552，456789104972，所以第五个等式为56789101112139281.【答案】5678910111213815.有以下三个不等式：124292521×94×52，6282221226×28×122，20210210