第1章 §2 2.2 点的极坐标与直角坐标的互化

1、.2.2点的极坐标与直角坐标的互化1.理解极坐标系与直角坐标系的联络.2.理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别.易错易混点3.能进展极坐标和直角坐标的互化.重点根底·初探教材整理极坐标与直角坐标的互化1.互化的前提条件把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取一样的长度单位，如图1­2­3所示.图1­2­32.互化公式设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是x，y，极坐标是，0，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表：点M直角坐标x，y极坐标，互化公式2x2y2 tan x0在一般情况下，由tan 确定角时

2、，可根据点M所在的象限取最小正角.把极坐标写成直角坐标，把直角坐标写成极坐标.1_；2_；30,2_；4_.【解析】1x2cos ，y2sin 1，直角坐标为，1.22，tan ，极坐标为.30,2在y轴上，2，极坐标为.4x4cos2，y4sin2.直角坐标为2，2.【答案】1，12342，2质疑·手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们讨论交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 小组合作型化极坐标为直角坐标分别把以下点的极坐标化为直角坐标.1；2；3.【精彩点拨】【自主解答】1xcos 3cos0，ysin 3sin3.点的极坐标化为直角坐标为0,3.

3、2xcos 4cos2，ysin 4sin2.点的极坐标化为直角坐标为2,2.3cos ，sin ，xcos 4cos4cos，ysin 4sin4sin.点的极坐标化为直角坐标为 ，.1.点的极坐标与直角坐标的互化公式的三个前提条件：1极点与直角坐标系的原点重合；2极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合；3两种坐标系的长度单位一样.2.将点的极坐标，化为点的直角坐标x，y时，要求角的正弦值和余弦值，纯熟掌握特殊角的三角函数值，灵敏运用三角恒等变换公式是关键.再练一题1.把以下各点的极坐标化为直角坐标，并判断所表示的点在第几象限.1；2；3；42，2.【解】1由题意知x2cos2×1，y

4、2sin2×.点的直角坐标为1，是第三象限内的点.2x2cos 1，y2sin ，点的直角坐标为1，是第二象限内的点.3x2cos1，y2sin，点的直角坐标为1，是第四象限内的点.4x2cos 22cos 2，y2sin22sin 2.点2，2的直角坐标为2cos 2，2sin 2，是第三象限内的点.直角坐标化为极坐标分别把以下点的直角坐标化为极坐标限定0,0<2.10,0；21，1；3.【精彩点拨】【自主解答】1由于直角坐标原点0,0与极点重合，所以限定0,0<2时，其极坐标为0，.2，tan 1，0,2.由于点1，1在第三象限，所以.点的直角坐标1，1化为极坐标为.

5、3，tan 1，0,2.由于点在第一象限，所以.点的直角坐标化为极坐标为.将点的直角坐标x，y化为极坐标，时，运用公式，tan x0即可.在0,2范围内，由tan x0求时，要根据直角坐标的符号特征判断出点所在的象限.假如允许R，再根据终边一样的角的意义，表示为2k，kZ即可.再练一题2.分别将以下点的直角坐标化为极坐标0，R.12,2；2，.【解】14，tan ，R，由于点2,2在第二象限，2k，kZ.点2,2化为极坐标为，kZ.22，tan ，R.由于点，在第四象限，所以2k，kZ.点的直角坐标，化为极坐标为，kZ.探究共研型互化公式的综合应用探究1平面直角坐标系中点的坐标与极坐标系下的极

6、坐标是可以互化的，联络它们的纽带是什么？【提示】任意角的三角函数的定义及其根本关系式是联络点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带.事实上，假设0，sin ，cos ，那么xcos ，ysin ，2|OM|2x2y2，tan x0.探究2将直角坐标化为极坐标时如何确定和的值？【提示】由2x2y2求时，不取负值；由tan x0确定时，根据点x，y所在的象限获得最小正角.当x0时，角才能由tan 按上述方法确定.当x0时，tan 没有意义，这时又分三种情况：1当x0，y0时，可取任何值；2当 x0，y0时，可取；3当x0，y0时，可取.在极坐标系中，假如点A，B的极坐标分别为A，B，且ABC为等腰直角

7、三角形，求直角顶点C的极坐标与该三角形的面积.【精彩点拨】解答此题既可以把极坐标转化为直角坐标来解，也可以利用余弦定理来解决.【自主解答】法一：利用坐标转化.对于点A，直角坐标为，点B的直角坐标为，.设点C的直角坐标为x，y，由题意得ACBC，且|AC|BC|，A·B0，即x，y·x，y0，xxyy0，x2y24.又|AC|2|BC|2，于是x2y2x2y2，即yx，代入得x22，解得x±，或点C的直角坐标为或.2，tan 1，或，点C的极坐标为或.SABC|AC|BC|AC|2×84.法二：设点C的极坐标为，0,02，|AB|2|OA|4，C，|AC|

8、BC|，|AC|BC|2，即化简得24，由0得2，代入得cos0，k，kZ，即k，kZ，又02，令k0,1，得或，点C的极坐标为或，SABC|AC|BC|AC|2×84.1.本例综合考察了点的极坐标与直角坐标的互化公式以及等腰直角三角形的意义和性质.结合几何图形可知，点C的坐标有两解，设出点的坐标寻求等量关系建立方程组求解是关键.2.坐标平面内两点间的间隔 公式：1假如点的直角坐标Ax1，y1，Bx2，y2，那么|AB|；2假如点的极坐标A1，1，B2，2，那么|AB|再练一题3.在极坐标系中，点A和点B的极坐标分别为和3,0，O为极点.1求|AB|；2求SAOB.【解】法一：|AB

9、|.SAOB|OA|·|OB|·sinAOB×2×3×sin .法二：A，B的直角坐标为A1，B3,0，|AB|.SAOB×3×.构建·体系1.点A的极坐标是，那么点A的直角坐标为A.1，B.，1C.，1D.，1【解析】xcos 2cos2cos2×，ysin 2sin2sin2×1，A，1为所求.【答案】C2.极坐标为3,3的点在直角坐标系的A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】因为3，3，xcos 0，ysin 0，所以极坐标为3,3的点在直角坐标系的第二象限.【答案】B3.点M的直角坐标为，那么点M的极坐标为_>0,0<<2.【解析】，且，M的极坐标为.【答案】4.假设点A的直角坐标为2,0，点B的极