第1章§2 2.2　绝对值不等式的解法

1、.2.2绝对值不等式的解法1理解绝对值的几何意义，掌握去掉绝对值的方法重点2会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|axb|c；|axb|c；|xa|xb|c.c0重点、关键点根底·初探教材整理1含有一个绝对值不等式的解法阅读教材P8P9“考虑交流以上部分，完成以下问题1绝对值的不等式|x|a与|x|a的解集不等式a0a0a0|x|ax|axa|x|ax|xa，或xaxR，且x0R2.|axb|c与|axb|cc0型不等式的解法1|axb|ccaxbc；2|axb|caxbc或axbc.判断正确的打“，错误的打“×1|x|<a的解集是a，a2不等式|x2|3的解

2、集是，15，3假设|xa|<2的解集是1,3时，a的值为2.【解析】1×当a0时，|x|<a的解集为.2由|x2|3，得x23或x23，即x5或x1.3×假设|xa|<2的解集为1,3时，1和3是|xa|2的根，即解得故a1.【答案】1×23×教材整理2|xa|xb|c与|xa|xb|cc0型不等式的解法阅读教材P8P9“考虑交流以上部分，完成以下问题1利用绝对值不等式的几何意义求解2利用零点分段法求解3构造函数，利用函数的图象求解填空：1|x4|x2|>1的解集为_2假设fx|xa|xb|的最小值为3，当a<fx恒成立时，

3、a的取值范围是_3|x3|>|x1|的解集为_【解析】1|x4|x2|42|2>1，不等式的解集为R.2由条件可知，当a<fx恒成立时，a<fxmin，即a<3.3由原不等式得x32>x12，整理得x<1.【答案】1R2a<33，1质疑·手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们讨论交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 小组合作型|axb|c与|axb|c型不等式的解法解以下不等式：11<|x2|3；2|2x5|>7x.【精彩点拨】1可利用公式转化为|axb|>cc>0或|axb|&l

4、t;cc>0型不等式后逐一求解，也可利用绝对值的定义分两种情况去掉绝对值符号，还可用平方法转化为不含绝对值的不等式2可利用公式法转化为不含绝对值的不等式【自主解答】1法一：原不等式等价于不等式组即解得1x<1或3<x5，所以原不等式的解集为x|1x<1或3<x5法二：原不等式可转化为：或由得3<x5，由得1x<1，所以原不等式的解集是x|1x<1或3<x5法三：原不等式的解集就是1<x229的解集，即解得所以1x<1或3<x5.所以原不等式的解集是x|1x<1或3<x52由不等式|2x5|>7x，可得2x

5、5>7x或2x5<7x，整理得x>2或x<4.所以原不等式的解集是x|x<4或x>21形如a<|fx|<bb>a>0型不等式的简单解法是利用等价命题法，即a<|fx|<b0<a<ba<|fx|<b或b<fx<a.2|fx|>gx和|fx|<gx型不等式的解法是将fx看做一个整体，gx看做一个常数，即可化为fx>gx或fx<gx和gx<fx<gx求解3形如|fx|<fx，|fx|>fx型不等式的简单解法是利用绝对值的定义，即|fx|>f

6、xfx<0，|fx|<fxx.再练一题1解不等式|x2x2|x23x4. 【导学号：94910007】【解】x2x220，|x2x2|x2x2.原不等式等价于x2x2x23x4，解得x3.原不等式的解集为x|x3.|xa|±|xb|cc 型不等式的解法解不等式|x1|x1|3.【精彩点拨】此题考察|xa|xb|c型含两个绝对值的不等式的解法，解答此题可利用绝对值的几何意义去掉绝对值符号求解，也可用零点分区间讨论法求解，或者用图象法，利用图形分析求解【自主解答】法一：如下图，设数轴上与1,1对应的点分别为A，B，那么A，B两点的间隔 和为2，因此区间1,1上的数都不是不等式

7、的解设在A点左侧有一点A1，到A，B两点的间隔 和为3，A1对应数轴上的x.1x1x3，得x.同理设B点右侧有一点B1到A，B两点间隔 和为3，B1对应数轴上的x，x1x13.x.从数轴上可看到，点A1，B1之间的点到A，B的间隔 之和都小于3；点A1的左边或点B1的右边的任何点到A，B的间隔 之和都大于3.所以原不等式的解集是.法二：当x1时，原不等式可以化为x1x13，解得x.当1<x<1时，原不等式可以化为x1x13，即23，不成立，无解当x1时，原不等式可以化为x1x13，所以x.综上所述，原不等式的解集为.法三：将原不等式转化为|x1|x1|30.构造函数y|x1|x1|

8、3，即y作出函数的图象，如下图：函数的零点是，.从图象可知，当x或x时，y0，即|x1|x1|30.解得原不等式的解集为.这三种解法是解含有两个绝对值和差不等式常用的方法，解法一中关键是找到特殊点，解法二中的分类讨论要遵循“不重不漏的原那么，解法三那么要准确画出函数图象，并准确找出零点.再练一题2解不等式|2x1|<|x|1.【解】当x0时，原不等式可化为2x1x1，解得x0，与x0矛盾，此时无解；当0x时，原不等式可化为2x1x1，解得x0，又0x，从而有0x；当x时，原不等式化为2x1x1，x2.因此x2.综合知，原不等式的解集是x|0x2探究共研型含参数的不等式探究1函数fx|xa

9、|xb|的最小值是什么？当|ab|c时，不等式|xa|xb|c的解集是什么？【提示】因为|xa|xb|xaxb|ab|.当|ab|c时，不等式|xa|xb|c的解集为R.事实上，对于一切xR，有|xa|xb|xaxb|ab|c.探究2对于afx在R上恒成立求a的取值范围时，如何转化求解？对于afx呢？对于a>fx的解集为，求a的取值范围时如何转化求解，对于a<fx呢？【提示】afx恒成立afxmax.afx恒成立afxmin.a>fx解集为afx恒成立a<fx解集为afx恒成立探究3对于afx有解求a的范围时，如何转化求解？afx有解呢？【提示】afx有解afxmin.

10、afx有解afxmax.函数fx|xa|.1假设不等式fx3的解集为x|1x5，务实数a的值；2在1的条件下，假设fxfx5m对一实在数x恒成立，务实数m的取值范围【精彩点拨】1解fx3，由集合相等，求a.2求yfxfx5的最小值，确定m的范围【自主解答】1由fx3，得|xa|3，解得a3xa3.又不等式fx3的解集为x|1x5，所以解得a2.2法一由1知a2，此时fx|x2|，设gxfxfx5|x2|x3|，于是gx利用gx的单调性，易知gx的最小值为5.因此gxfxfx5m对xR恒成立，知实数m的取值范围是，5法二当a2时，fx|x2|.设gxfxfx5|x2|x3|.由|x2|x3|x2

11、x3|5当且仅当3x2时等号成立，得gx的最小值为5.因此，假设gxfxfx5m恒成立，应有实数m的取值范围是，51第2问求解的关键是转化为求fxfx5的最小值，法一是运用分类讨论思想，利用函数的单调性；法二是利用绝对值不等式的性质应注意等号成立的条件2将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、浸透，这是命题的新动向，解题时应强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵敏应用再练一题3假设关于x的不等式|x2|x1|a的解集为，务实数a的取值范围【解】法一：令y1|x2|x1|，y2a.y1y1，y2的图象如下图由图可知，当a<3时，|x2|x1|a的解集为.法二：|x2|x1|表示数轴上的

12、点Ax到B2和C1两点的间隔 之和，而|BC|3，所以A到B，C两点的间隔 之和的最小值为3.即对一切xR，总有|x2|x1|3.因为|x2|x1|a的解集为，所以只需a<3即可，所以a的取值范围是a<3.构建·体系1不等式|x|·12x0的解集是A.B，0C.D【解析】原不等式等价于解得x且x0，即x，0.【答案】B2不等式|x2|x2的解集是A，2B，C2，D，22，【解析】原不等式同解于x20，即x2.【答案】A3集合AxR|x1|<2，Z为整数集，那么集合AZ中所有元素的和等于_【解析】AxR|x1|<2xR|1<x<3集合A中包含的整数有0,1,2，故AZ0,1,2【答案】34在实数范围内，不等式|x2|1|1的解集为_. 【导学号：94910008】【解析】由于|x2|1|1，即1|x2|11，即|x2|2，所以2x22，所以0x4.【答案】0,45设函数fx