第1章 第4节 探究单摆的振动周期

1、.第四节探究单摆的振动周期13分如图141，把一个有孔的小木球装在弹簧的一端，弹簧的另一端固定，小球穿在光滑杆上，可以自由振动，这个系统可称为弹簧振子吗？假设将小木球改为同体积的钢球呢？图141【答案】小球为木球时，系统不能看作弹簧振子，小球为钢球时，系统可看作弹簧振子系统能否看成弹簧振子需同时满足两个条件：小球运动过程中不受阻力，小球质量明显大于弹簧质量第一种情景中不满足条件.23分简谐运动这种运动形式具有什么特征？【答案】简谐运动是物体在平衡位置附近所做的往复性运动因此它具有往复性的特点也可认为，做简谐运动的物体每隔一定时间它将重复原先的运动，它具有周期性的特点它又是以平衡位置为中心的振动

2、，因此又具有对称性的特点34分如图142，小球套在光滑程度杆上，与弹簧组成弹簧振子，O为平衡位置，小球在O附近的AB间做简谐运动，设向右为正方向，那么：图1421动能最大的位置在_2加速度为负向最大的位置在_【解析】平衡位置是振动物体运动速度最大的位置，也即动能最大的位置，即图中O点；因加速度是矢量，做第2问要看准正方向，因正方向向右，所以加速度为负向最大的位置在A.【答案】1O2A课 标导 思1知道什么是单摆2理解摆角很小时，单摆的振动是简谐运动3探究单摆的周期跟什么因素有关，掌握单摆的周期公式，并能用来进展有关计算. 学生P8一、单摆1组成1细线，2小球2理想化要求1质量关系：细线质量与小

3、球质量相比可以忽略2线度关系：球的直径与线的长度相比可以忽略3力的关系：忽略摆动过程中所受阻力作用实验中为满足上述条件，我们尽量选择质量大，体积小的球和尽量细轻的线二、单摆的回复力1回复力的提供摆球的重力沿圆弧方向的分力2回复力的特点在偏角很小时，单摆所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置，即Fx.3运动规律单摆在偏角很小时做简谐运动，其振动图象遵循正弦函数规律三、单摆振动周期的实验探究1探究单摆的振幅、位置、摆长对周期的影响1探究方法：控制变量法2实验结论单摆振动的周期与摆球质量无关振幅较小时周期与振幅无关摆长越长，周期越大；摆长越短，周期越小2周期公式1提出：周期公式

4、是惠更斯首先提出的2公式：T2，即T与摆长l的二次方根成正比，与重力加速度g的二次方根成反比 学生P9一、透析单摆模型1运动特点1摆球以悬点为圆心做变速圆周运动，在运动过程中只要速度v0，半径方向都受向心力2摆球以平衡位置为中心做往复运动，在运动过程中只要不在平衡位置，轨迹的切线方向都受回复力2摆球的受力1任意位置：如图143所示，G2Gcos ，FG2的作用就是提供摆球绕O做变速圆周运动的向心力；G1Gsin 的作用是提供摆球以O为中心做往复运动的回复力图1432平衡位置：摆球经过平衡位置时，G2G，G10，此时F应大于G，FG的作用是提供向心力；因在平衡位置，回复力F回0，与G10相符3单

5、摆的简谐运动在很小时理论值为5，sin ，G1Gsin x，G1方向与摆球位移方向相反，所以有回复力F回G1xkx.因此，只有在摆角很小时，单摆才做简谐运动，其振动图象遵循正弦函数规律，图象是正弦或余弦曲线二、单摆振动的周期单摆的周期公式T2是惠更斯从实验中总结出来的单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向并且指向平衡位置的分力，偏角越大回复力越大，加速度越大，由于摆球的运动轨迹是圆弧，所以除最高点外，摆球的回复力并不等于合外力在有些振动系统中g不一定为9.8 m/s2，因此出现了等效重力加速度的问题1公式中的g由单摆所在的空间位置决定由Gg知，g随地球外表不同位置、不同高度的变化而变化，在不同星球上

6、也不一样，因此应求出单摆所在处的等效值g代入公式，即g不一定等于9.8 m/s2.2g还由单摆系统的运动状态决定如单摆处在向上加速发射的航天飞机内，设加速度为a，此时摆球处于超重状态，沿圆弧切线方向的回复力变大，摆球质量不变，那么重力加速度的等效值gga.再如，单摆假设处于在轨道上运动的航天飞机内，摆球完全失重，回复力为零，那么等效值g0，所以周期为无穷大，即单摆不摆动了3g还由单摆所处的物理环境决定如带电小球做成的单摆在竖直方向的匀强电场中，回复力应是重力和竖直电场力的合力在圆弧切线方向的分力，所以也有g的问题三、等效单摆的探究1实际摆的等效摆长的求法实际摆的摆球不可能是质点，对不规那么的摆

7、动物体或复合物体，摆长均为从悬点到摆动物体重心的长度，而从悬点到摆线与摆球连接点的长度通常叫摆线长等效摆长是指摆动圆弧的圆心到摆球重心的间隔 ，而不一定是摆线的长度如图144所示，摆球可视为质点，各段绳长均为l，a、b中摆球做垂直纸面的小角度摆动，c中小球在纸面内做小角度摆动，O为垂直纸面的钉子，l/3，等效摆长分别为lalsin ，lbllsin ，lc半个周期为l，另半个周期为，周期分别为Ta2 ，Tb2 ，Tc .图144假设摆球不可视为质点，摆球的直径为d，那么lalsin ，lbllsin ，lc的半个周期为l，另半个周期为l，周期分别为Ta2 ，Tb2 ，Tc 2可等效为单摆的圆周

8、运动假设物体在光滑的半径较大的圆周上做小幅度的圆周运动时，如图145所示，小球所受重力沿切线方向指向平衡位置的分力的大小为FGsin ，在R时，很小，sin ，Fxkx，符合简谐运动的动力学特征，因此可以将此运动等效为单摆的简谐运动，其等效单摆的周期公式T2 .图145一、单摆周期公式的应用两个单摆甲和乙，它们的摆长之比为41.假设它们在同一地点做简谐运动，那么它们的周期之比T甲T乙_.在甲摆完成10次全振动的时间内，乙摆完成的全振动次数为_【导析】单摆的周期与摆长的平方根成正比，与当地重力加速度的平方根成反比【解析】此题主要考察对单摆周期公式的理解因两单摆在同一地点做简谐运动，g一样，由周期

9、公式T2 知T，因此周期之比为21；甲完成10次全振动的时间t10T甲，乙在一样时间内完成的全振动次数n20.【答案】2120处理单摆问题：一要充分理解单摆摆动的情景；二要充分理解周期公式中各量的意义、本质，方可准确应对灵敏多变的单摆问题如许多问题中的“等效摆长、“等效重力加速度等. 1有一摆长为L的单摆，悬点正下方某处有一小钉，当摆球经过平衡位置向左摆动时，摆线的上部将被挡住，使摆长发生变化现使摆球做小角度摆动，图146为摆球从右边最高点M摆至左边最高点N的闪光照片悬点和小钉未摄入，P为摆动中的最低点，每相邻两次闪光的时间间隔相等，那么小钉距悬点的间隔 为图146AL/4BL/2C3L/4

10、D条件缺乏，无法判断【解析】题图中M到P为四个时间间隔，P到N为两个时间间隔，即左半部分单摆的周期是右半部分单摆周期的，根据周期公式T2 可得，左半部分单摆的摆长为，即小钉距悬点的间隔 为3L/4，故C选项正确【答案】C二、等效摆长问题如图147所示，ACB为光滑弧形槽，弧形槽半径为R，R.甲球从弧形槽的球心处自由落下，乙球从A点由静止释放，问两球第1次到达C点的时间之比图147【导析】球在槽上的运动可看成简谐运动，到C点的时间为单摆周期的；甲球做自由落体运动【解析】甲球做自由落体运动Rgt，所以t1.乙球沿圆弧做简谐运动由于R，可认为摆角10此振动与一个摆长为R的单摆振动模型一样，故此等效摆

11、长为R，因此第1次到达C处的时间为t2T ，所以t1t2.【答案】对这类问题，首先确认符合单摆模型的条件，即沿圆弧运动、小角度摆动、回复力Fkx，然后确定等效摆长，最后利用公式T2或简谐运动规律分析、求解. 2如图148所示，图148光滑的半球壳半径为R，O点在球心的正下方，一小球由距O点很近的A点由静止放开，同时在O点正上方有一小球自由落下，假设运动中阻力不计，为使两球在O点相碰，小球由多高处自由落下R【解析】球由A点开场沿球内外表运动时，只受重力和支持力作用，等效为单摆的运动因为R，所以球自A点释放后做简谐运动，其周期为T2，要使两球在O点相碰，两者到O点的运动时间相等小球由A点由静止释放

12、运动到O点的时间为2n1，n1,2,3，由于O点正上方自由落下的小球到O的时间也为2n1时两球才能在O点相碰，所以hgt2g2n12n1,2,3，【答案】n1、2、3三、等效重力加速度问题如图149所示，带正电的小球与绝缘细线构成的单摆处在场强为E的竖直向下的匀强电场中，试求其做简谐运动的摆动周期图149【导析】求出等效的重力加速度，利用周期公式进展计算【解析】摆球静止在平衡位置处细线的拉力为FmgqE故等效重力加速度为gg周期T2 2 【答案】2实际问题中，g不一定为9.8 m/s2，而要由单摆所处的位置和摆球的受力情况决定. 1发生下述哪一种情况时，单摆周期会增大A增大摆球质量B缩短摆长C

13、减小单摆振幅D将单摆由山下移至山顶【解析】根据单摆周期公式T2 ，周期与摆球质量和振幅无关，A、C错误；缩短摆长，周期变小，B错误；由山下移至山顶，g减小，T增大，D正确【答案】D2关于单摆，以下说法中正确的选项是A摆球受到的回复力方向总是指向平衡位置B摆球受到的回复力是它的合力C摆球经过平衡位置时，所受的合力为零D摆角很小时，摆球受的合力的大小跟摆球对平衡位置的位移大小成正比【解析】单摆的回复力不是它的合力，而是重力沿圆弧切线的方向的分力；当摆球运动到平衡位置时，回复力为零，但合力不为零，因为小球还有向心力，方向指向悬点即指向圆心；另外摆球所受的合力与位移大小不成正比，应选A.【答案】A3要增加单摆在单位时间内的摆动次数，可采取的方法是A增大摆球的质量B缩短摆长C减小摆动的角度 D升高气温【解析】由单摆的周期公式T2，可知周期只与l、g有关，而与质量、摆动的幅度无关当l增大时，周期增大；g增大时，周期减小；l减小时，周期减小，频率增大所以选B.【答案】B4如图1410所示，曲面AO是一段半径为2 m的光滑圆弧面，圆弧与程