2015年高中数学《空间几何体的表面积和体积》自测试题

1、2021年高中数学?空间几何体的外表积和体积?自测试题【梳理自测】一、柱、锥、台和球的侧面积和体积1 .某球的体积大小等于其外表积大小，那么此球的半径是A '3B. 3C. 4 D. 52. 正六棱柱的高为6,底面边长为4,那么它的全面积为A. 483 + ；'3 B. 483 + 2 C. 24 ：'6+ D. 1443. 棱长为2的正四面体的外表积是A ,'3B. 4C. 4 ： 3D. 164. 一个几何体的三视图如下列图，那么该几何体的体积为 .5. 如下列图，在棱长为 4的正方体ABCD- ABCD中，P是AB上AB,那么多面体P BBGC的体积为.1

2、6答案：1. B 2. A 3. C 4.12 + n 5.以上题目主要考查了以下容:柱、锥、台和球的侧面积和体积面积体积圆柱S 侧=2 n rhV= Sh= n r 2h圆锥S 侧=n rl1J 21V="3Sh=§ n r h= § nrVl2 r2圆台S 侧=n r 1+ r 211 v=3s 上+ S下+寸 St S下h122="3n r 1+ r2+ r12h直棱柱S 侧 ChV= Sh正棱锥1S侧=2Ch' h '为斜高1 v=|Sh正棱台1 ,S 侧=2C+ c hV= §S 上+ S下+VSt S下h球S球面=4

3、 n RV=冷二、几何体的外表积1 .棱柱、棱锥、棱台的外表积就是各面面积之和.2圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的外表积等于侧面积与底 面积之和.【指点迷津】1. 一种数学思想计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进展，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直 来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状与平面图形面积的求法.2. 两种位置：球的组合体的切与外接如球切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体， 正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 球与旋转体的组合，通常作它们的轴 截面进展解题.3. 三种方法

4、一一求空间几何体体积的常用方法(1) 公式法：直接根据相关的体积公式计算.(2) 等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求 出一些体积比等.(3) 割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进展适当的分割或补形，转化为可计算体积的几 何体.考向一 几何体的外表积与侧面积例题1 (1)(2021 高考卷)某三棱锥的三视图如下列图，该三棱锥的外表积是()A. 28+ 6 '5B. 30+ 6 .'5C. 56+ 12 .'5D. 60+ 12 ' 522021 市高三调研四棱锥P ABCD勺三视图如下列图，那么四棱锥 P ABCD

5、勺四个侧面中面 积最大的是A. 3 B. 2 ：5C. 6 D. 8【审题视点】 根据几何体的三视图画出其直观图，利用直观图的图形特征求其外表积或侧面积.【典例精讲】1由几何体的三视图可知，该三棱锥的直观图如下列图，其中 AE!平面 BCD CDLBD,且 CD= 4，BD= 5，BE2，ED= 3，AE4.T AE= 4， ED= 3，. AD= 5.又 CDL BD CDL AE, CDL平面 ABD故 CDL AD二 AC= ：' 41 且 Sacd= 10.在 Rt ABE中，AE= 4，BE= 2,故 A吐2 5.在 Rt BCD中, BD= 5， CD= 4，故 Sbc尸

6、10，且 BC= 41.在厶ABD中, AE= 4，BD= 5,故 Sa ab尸 10.1在厶ABC中, A吐2 5 BOAC 41,那么AB边上的高h = 6,故2 ：5X 6= 6 ' 5.因此，该三棱锥的外表积为 S= 30+ 6,5 由三视图知四棱锥如下列图，N为CD的中点，M为AB的中点，易知PW3,PN= '5 ，SPDC 2 X 4X ：5二2 5 ，SPBC= S PAD= 2 X 2X 3 = 3， Spab=4X 3= 6.应选c.【答案】 BC【类题通法】1多面体的外表积是各个面的面积之和；旋转体的外表积等于侧面面积与底面面积的和.假设所给的几何体是规那么

7、的柱体、锥体或台体，那么可直接利用公式进展求解;假设以三视图的形式给出，解题的关键是对给出的三视图进展分析，从中发现几何体中各元素间的位置关系与数量关系，得到几何体的直观图，然后根据条件求解.变式训练jf甕割1. 2021 潍坊市考前适应性训练如图为某个几何体的三视图，那么该几何体 的侧面积为A. 16+ 4n B. 12+ 4nC. 16+ 8n D. 12+ 8n解析：选A该几何体是半圆柱和一个三棱柱的组合体，其侧面积为4n + 6+ 10= 16+ 4n .考向二几何体的体积例题2 12021 省五校联考假设某几何体的三视图单位：cm如下列图，那么此几何体的体积等于m.2021 高考卷某

8、几何体的三视图如下列图，那么该几何体的体积为主】榭tl4C. 200 D.240【审题视点】由三视图分清是旋转体，还是多面体或是组合体，然后求出计算体积所需要的量,代入公式.【典例精讲】1 21该几何体的直观图为上为圆台、下为半球的组合体，其体积V=冗X 3X 4+ 4X 2+ 22) + 苏 3nX 43 =学+128n 212n2先将三视图复原为空间几何体，再根据体积公式求解.由三视图知该几何体为直四棱柱，其2+ 8X4底面为等腰梯形，上底长为 2，下底长为8，咼为4，故面积为S= 20.又棱柱的咼为 10,所以体积 V Sh= 20X 10= 200.212【答案】 丁 n C【类题通法

9、】1假设所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，那么可直接利用公式进展求解.假设所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，那么常用转换法、分割法、补形法等方 法进展求解.3假设以三视图的形式给出几何体，那么应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件 求解.变式训练2. 2021 市二测一个几何体的三视图与其尺寸如下列图单位：cm，其中正主视图是直角三 角形，侧左视图是半圆，俯视图是等腰三角形，那么这个几何体的体积是n 3C.严3冗cm解析：选A依题意得，该几何体是一个圆锥的一半沿圆锥的轴剖开，其中该圆锥的底面半径112n 3为1、高为3,因此该几何体的体积为2X 3XnX 1

10、x3 ="2cm,选A考向三 球的组合体与球的性质例题3 (1)(2021 高考全国卷)H是球O的直径AB上一点，AH： H吐1 : 2，AB丄平面a，H为垂足，a截球O所得截面的面积为n,那么球O的外表积为(2)(2021 省“江南十校联考)一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如下列图(图中三个四边形都是边长为2的正方形)，那么该几何体外接球的体积为 2N1 NZ俯视圈【审题视点】(1)利用球的截面性质求解三角形.(2)寻找球的直径与几何体边长间的关系.【典例精讲】如图，设球O的半径为R,那么由AH： H吐1 ：2得1 2HA= 3 2R= 3RRo* 3-截面面积为n=n

11、(HM)， HM= 1.在 Rt HMO中 OM= OH+ HlM,社 9R2+ hM= 9+ 1， R= S 球=4 n R = 4 n42 9(2)依题意可知，新的几何体的外接球也就是原正方体的外接球，要求的直径就是正方体的体对 角线， 2R= 2 ;' 3(R为球的半径)， R= ,3球的体积 V= |n戌=4 ：3n .【答案】扌冗24 .'3 n【类题通法】 解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的 关系和数量关系，选准最正确角度作出截面要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以 与表达这些元素之间的关系，到达空间问题平面化的目的.

12、变式训练3. 2021 模拟两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上假设3圆锥底面面积是这个球面面积的16,那么这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为.解析：如图，设球的半径为 R,圆锥底面半径为r.3由题意得n4 n R.根据球的截面的性质可知两圆锥的高必过球心0,且两圆锥的顶点以与圆锥与球的交点是球的大圆上的点，且AB丄OQ.00=氏r2=养，1 R因此体积较小的圆锥的高 A0= R- 2R= 2,R 3体积较大的圆锥的高bo = R+ 2=2R.1且这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比为3.答案：3几何体体积的计算方法典型例题 2021 高

13、考卷如图，在三棱柱ABG ABC中, D, E，F分别是AB AC, AA的中点.设 三棱锥F ADE的体积为V，三棱柱A1B1C1 ABC的体积为V2,那么V :.【方法分析】题目条件：在三棱柱 ABC-A1B1G中，从侧棱与底边中点处分割出一个三棱锥. 解题目标：两个几何体体积之比. 关系探究：i 把三棱柱看作是任意三棱柱：通过点 D, E, F为中点得出三棱柱与三棱锥的底面面积以与高之间的关系，然后利用体积公式得到体积之间的比值.ii把三棱柱看作任意三棱柱，根据同底同高的三棱锥与三棱柱体积之间的关系， 直接得出答案.iii把三棱柱看作特殊三棱柱：如正三棱柱，并设出各棱长，具体计算体积.【

14、解答过程】 方法i 设三棱柱的底面ABC的面积为S,高为h,那么其体积为V2= Sh.因为D,1E分别为AB, AC的中点，所以 ADE勺面积等于4S.又因为F为AA的中点，所以三棱锥F ADE的高1 11111 等于尹 于是三棱锥F ADE的体积Vp3x4S 尹=24Sh= 24，故 V 匕=1 : 24.1方法i 连接 AC, A1B,那么 VsVA ABC8工11而 VA ABC= 3匕，二 M = 242.方法i假设三棱柱 A1B1C ABC为正三棱柱，设 AB= 2, AA= 2.那么Sh= Jx22x2 = 2 3,vJx山x 1仝1 3412' V1 : V2 = 1 :

15、 24.【答案】 1 : 24【回归反思】1对于规那么几何体体积的大小可直接考虑底面积与高的量.2用特殊代替一般可解决体积比面积比之类的问题.3在锥体中平行于底的截面分割出的小锥体与原锥体的体积比为相似比的立方. 真题体验1. 一几何体的三视图如下列图，那么该几何体的体积为A. 200+ 9n B. 200+ 18nC. 140+ 9n D. 140+ 18n解析：选A由三视图可知该几何体的下面是一个长方体，上面是半个圆柱组成的组合体.长方体的长、宽、高分别为10、4、5,半圆柱底面圆半径为3,高为2,故组合体体积V= 10X 4X 5+ 9n = 200+ 9 n .2. 2021 高考卷直三棱柱ABC-A1B1C的6个顶点都在球O的球面上.假设AB= 3, AC= 4, AB丄AC AA= 12,那么球O的半径为.2 10AC.D. 3 10解析：选C根据球的接三棱柱的性质求解.因为直三棱柱中 A吐3, AC= 4，AA= 12, AB丄AC，所以BC= 5,且BC为过底面ABC的截面圆的直径.取BC中点D,那么ODL底面ABC那么O在侧面BCGB，矩形BCCB的对角线长即为球直径，13所以 2R='122 + 52= 13,即 R=q.3.