2015年湖北省高考数学试卷(文科)

1、2021年省高考数学试卷文科一、选择题：本大题 10小题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有 一项为哪一项符合题目要求的。1. 3 分2021? i 为虚数单位，i607=A. - iB. iC. 1D.- 12. 3分2021?我国古代数学名著?九章算术?有“米谷粒分题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米夹谷，抽样取米一把，数得254粒夹谷28粒，那么这批米夹谷约为 A. 134 石 B. 169 石C. 338 石D. 1365 石3. 3 分2021?命题“ ？ x° 0, +s , Inx 0=X0- 1 的否认是A. ?x° 0, +8, I

2、nx 0工X0-1 B.?x°?0,+ , Inx 0=x° 1C. ?x 0, +8 , inx 丰 x 1 D.?x?0,+8 , inx=x 14. 3分2021?变量x和y满足关系y= 0.1x+1 ,变量y与z正相关，以下结论中正确的选项是A. x与y负相关，x与z负相关B. x与y正相关，x与z正相关C. x与y正相关，x与z负相关D. x与y负相关，x与z正相关5. 3分2021?丨1,丨2表示空间中的两条直线，假设 p：丨1,丨2是异面直线，q：丨1,丨2不 相交，那么A. p是q的充分条件，但不是 q的必要条件B. p是q的必要条件，但不是 q的充分条件C

3、. p是q的充分必要条件D. p既不是q的充分条件，也不是 q的必要条件6.A.(2, 3) B. (2, 4(3 分)(2021?)函数 f61? x>07. ( 3 分)(2021?)设 x R,定义符号函数 sgnx=，那么(l -1+i<0A. |x|=x|sgnx|B. |x|=xsgn|x|C. |x|=|x|sgnxD. |x|=xsgnx& 3分2021?在区间0 , 1上随机取两个数 x, y,记p1为事件“x +y 的概率,F2为事件“ xy w亍的概率，那么A. pc P2V寺B.十寺<P.C, 卩2<寺<中 D.寺<口2<

4、;口9. 3分2021?将离心率为e1的双曲线C的实半轴长a和虚半轴长b b同时增 加m m> 0个单位长度，得到离心率为e2的双曲线0,那么A. 对任意的a, b, e1>e2B. 当 a > b 时，e1> e2；当 av b 时，e1< e2C. 对任意的a, b, e1< e2D. 当 a > b 时，eiv e2；当 av b 时，ei> e22210. (3 分)(2021?)集合 A= (x, y) |x +y < 1, x, y Z, B= (x, y) |x| < 2, |y| w 2, x, y Z，定义集合 A&

5、#174; B= (X1+X2, yi+y2)| (xi, yi) A, (X2, y2) B，那么 A ® B中元素的个数为()A. 77B. 49C. 45 D. 30、填空题11.(3 分)(2021?向量.丄丄J，|=3，贝y dr.12.(3 分)(2021?设变量x, y满足约束条件y-y<23x - y>0，那么3x+y的最大值为.13.(3 分)(2021?)-% 2的零点个数为.14.计，(1)直方图中的a=.(2 )在这些购物者中，消费金额在区间(3 分)(2021?某电子商务公司对)发现消费金额(单位：万元)都在区间10000名网络购物者2021年度

6、的消费情况进行统0.3 , 0.9，其频率分布直方图如下列图.0.5 , 0.9的购物者的人数为.15. (3分)(2021?)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北 75°的 方向上，仰角为 30°,那么此山的高度 CD=m16. (3分)(2021?)如图，圆C与x轴相切于点T (1, 0),与y轴正半轴交于两点 A, B ( B在A的上方)，且|AB|=2 .(1 )圆C的标准方程为.(2)圆C在点B处切线在x轴上的截距为. 217. ( 3分)(2021?

7、) a为实数，函数f (x) =|x - ax|在区间0,1上的最大值记为g(a).当 a=时，g (a)的值最小.三、解答题18. (12分)(2021?)某同学将“五点法画函数TT f (x) =Asin (wx+0) (w>2在某一个时期的图象时，列表并填入局部数据，如下表:WX+071Asi n(1)(wx+0)I请将上述数据补充完整,兀5填写在答题卡上相应位置,3兀5兀-5并直接写出函数2n0f (x)的解析式;(2 )将y=f (x )图象上所有点向左平移辛个单位长度，得到y=g (x)图象，求 y=g (x)的图象离原点O最近的对称中心.19. (12分)(2021?)设等

8、差数列an的公差为d,前n项和为Sn,等比数列bn的公比为 q, b1=a1, b2=2, q=d, Se=100.(1 )求数列a n , b n的通项公式(2 )当 d> 1 时，记 Cn =求数列c n的前n项和Tn .20. (13分)(2021?)?九章算术?中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥 称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑在如下列图的阳马P- ABCD中,侧棱PD丄底面 ABCD且PD=CD点E是PC的中点，连接 DE BD BE(I)证明：DE!平面PBC试判断四面体 EBCD是否为鳖臑.假设是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；假设不

9、是，请说明理由；(n)记阳马 P-ABCD的体积为 V，四面体EBCM体积为V2,求 的值.V2是偶函数，f (x) +g (x) =ex,其中e为自然对数的底数.R,且f (x)是奇函数,(1 )求 f (x), g (x)的解析式，并证明：当 x> 0 时，f (x) > 0, g (x)> 1;-v bg (x) + (1 - b).(2)设 aw 0, b> 1,证明：当 x > 0 时，ag (x) + (1 - a)v 22. (14分)(2021?)一种画椭圆的工具如图 1所示.0是滑槽AB的中点，短杆 ON可绕O 转动，长杆MN!过N处铰链与 ON

10、连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN=ON=,1MN=3当栓子D在滑槽AB作往复运动时，带动 N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为 C，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系.(1) 求椭圆C的方程；(2) 设动直线I与两定直线l 1: x- 2y=0和丨2: x+2y=0分别交于P, Q两点.假设直线I总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：OPQ勺面积是否存在最小值？假设存在，求出该最小值；假设不存在，说明理由.N叭*J W 込1BO/Bl2021年省高考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题：本大题 10小题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中

11、，只有 一项为哪一项符合题目要求的。1. ( 3 分)(2021? ) i 为虚数单位，i607=()A. - i B. iC. 1D.- 1分析直接利用虚数单位i的运算性质得答案.607 6062、 303303解答解：i =i ? i= (i )? i= (- 1)? i= - i .应选：A.点评此题考查了虚数单位i的运算性质，是根底的计算题.2. ( 3分)(2021?)我国古代数学名著?九章算术?有“米谷粒分题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米夹谷，抽样取米一把，数得254粒夹谷28粒，那么这批米夹谷约为( )A. 134 石 B. 169 石C. 338 石D. 1365

12、 石分析根据254粒夹谷28粒，可得比例，即可得出结论.解答解：由题意，这批米夹谷约为1534x£L 169石，254应选：B.点评此题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比拟根底.3. ( 3 分)(2021?)命题“ ？ xo( 0, +s) , Inx o=xo- 1 的否认是()A. ?xo( 0, +8), Inx 0工xo- 1B.?xo?(0,+) , Inx o=xo-1C. ?x ( 0, +8), inx 丰 x - 1D.?x?(0,+8), inx=x - 1分析根据特称命题的否认是全称命题即可得到结论.解答解：命题的否认是：？ x( 0, +8

13、), | nx丰x - 1 ,应选：C点评此题主要考查含有量词的命题的否认，比拟根底.4. ( 3分)(2021?)变量x和y满足关系y= - 0.1x+1 ,变量y与z正相关，以下结论中正确的选项是()A. x与y负相关，x与z负相关B. x与y正相关，x与z正相关C. x与y正相关，x与z负相关D. x与y负相关，x与z正相关分析由题意，根据一次项系数的符号判断相关性，由y与z正相关，设y=kz , k>0，得到x与z的相关性.解答解：因为变量x和y满足关系y=- 0.1x+1 , 一次项系数为-0.1 v 0,所以x与y负 相关；变量y与z正相关，设，y=kz, (k > 0

14、),所以kz= - 0.1x+1，得到z= _工£，一次项 系数小于0,所以z与x负相关；应选：A.点评此题考查由线性回归方程，正确理解一次项系数的符号与正相关还是负相关的对应是解题的关键.5. ( 3分)(2021?)丨1,丨2表示空间中的两条直线，假设p: l1, l2是异面直线，q： 11,丨2不相交，那么()A. p是q的充分条件，但不是 q的必要条件B. p是q的必要条件，但不是 q的充分条件C. p是q的充分必要条件D. p既不是q的充分条件，也不是 q的必要条件分析根据充分条件和必要条件的定义结婚空间直线的位置关系，进行判断即可.解答解：假设丨1,丨2是异面直线，那么丨

15、1,丨2不相交，即充分性成立， 假设丨1 ,丨2不相交，那么11, 12可能是平行或异面直线，即必要性不成立， 故p是q的充分条件，但不是 q的必要条件，应选：A.点评此题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据空间直线的位置关系是解决此题的关键.A. 2, 3 B. 2, 46. 3 分2021?函数 f6分析根据函数成立的条件进行求解即可.皿-|x|>0解答解：要使函数有意义，那么>|0?x - 2瓷-3<o|，即，此时 2v x v 3,即 2v x v 3 或 x > 3, 4W x W 4,解得 3 vx< 4 且 2v x v 3,即函数的定义域为2,

16、3U 3, 4,应选：C点评此题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件.I K>07. 3分2021?设x R,定义符号函数sgnxg °，汎二Q，那么-K 7<0A. |x|=x|sgnx|B. |x|=xsgn|x|C. |x|=|x|sgnxD. |x|=xsgnx分析去掉绝对值符号，逐个比拟即可.解答解：对于选项正确;对于选项对于选项，而左边，而左边显然不正确;=|x|=显然不正确;P2为事件“ xy <的概率，那么A. piV P2V 2B.C.P2Vy,记pi为事件“x的概率,+y w二和事件2概型公式求出概率，比拟大小.分析分别求出

17、事件“x对应的区域，然后求出面积，禾U用几何满足事件“ xy w丄的区域如图阴影局部卞对于选项 D,右边=xsg nx=05x=0，而左边=|x|= f?-15<UII - X, 2<o显然正确;应选：D.点评此题考查函数表达式的比拟，正确去绝对值符号是解决此题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题.& 3分2021?在区间0, 1上随机取两个数 x,-1 o1 吗十 '_l±dx所以P2- 一r1令兮讪'14 1+1 垃>寺;应选：B.利用几何概型公点评此题考查了几何概型的公式运用；关键是分别求出阴影局部的面积,式解答.9. 3分2021?

18、将离心率为ei的双曲线G的实半轴长a和虚半轴长b b同时增 加m m> 0个单位长度，得到离心率为e2的双曲线0?,那么A. 对任意的a, b, ei>e2B. 当 a> b 时，ei>e2；当 av b 时，eiv e2C. 对任意的a, b, eiv e2D. 当 a > b 时，eiv e2；当 av b 时，ei> e2分析分别求出双曲线的离心率，再平方作差，即可得出结论.解答解：由题意，双曲线 Ci： c2=a2+b2, ei丄;a(b+m 2, e2=-2 2双曲线 C2： c' = (a+m) +即b+nj冬a+m当 a> b 时

19、，eiv e2；当 av b 时，ei>e2,应选：D.点评此题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比拟根底. 2 2i0.(3 分)(20i5?)集合 A= (x, y) |x +y < i, x, y Z, B= (x, y) |x| < 2, |y| w 2, x, y Z，定义集合A® B=(xi+X2,yi+y2)|(xi,yi)A,(X2,y2) B，那么 A® B中元素的个数为()A. 77B. 49C. 45 D. 30 分析由题意可得，A= ( 0, 0), ( 0, 1), ( 0, - 1), (1, 0), (- 1 , 0),

20、B= ( 0, 0), ( 0, 1), ( 0, 2), ( 0, - 1), ( 0, - 2), (1 , 0), (1 , 1) , (1 , 2) ( 1, - 1), (1 , - 2) (2 , 0),(2 , 1), (2 , 2) (2, - 1), (2, - 2), (- 1, - 2), (- 1, - 1), (- 1, 0), (- 1 , 1), (-1 , 2), (- 2, - 2), (- 2, - 1), (- 2 , 0), (- 2 , 1), (- 2 , 2) ,根据定义可求解答解：解法一：2 2 A= (x , y) |x +y < 1 ,

21、 x , y Z= (0 ,0),(0 ,1),(0, -1),( 1, 0),( - 1,0),B= (x , y) |x| <2 , |y| < 2 , x , y Z=( 0 ,0), (0 ,1), (0 ,2),(0, - 1), (0,- 2),(1, 0), (1, 1), (1, 2) (1, -1), (1, - 2)( 2, 0), (2,1), (2,2)(2, - 1), (2,-2) , (- 1 , - 2), (- 1, - 1),(-1 , 0), (-1 , 1), (- 1 ,2), (-2,- 2), (- 2,-1), (- 2 , 0),

22、(- 2 , 1), (- 2 , 2) /A® B= (X1+X2 , y计y2)| (X1 , y1) A, (X2 , y2) B, A® B= (0 , 0), (0 , 1), (0 , 2), (0, - 1), ( 0, - 2), (1, 0), (1 , 1), (1, 2) (1, -1), (1, - 2) (2 , 0), (2 , 1), (2 , 2), (2, - 1) (2, - 2), (- 1, - 2), (- 1, - 1),(-1 , 0), (- 1 , 1), (- 1 , 2), (- 2, - 2) , (- 2, - 1)

23、, (- 2 , 0), (- 2 , 1), (- 2 , 2),(-2 , 3), (- 2, - 3), (0, - 3), ( 2, - 3), (- 1, 3), (- 1, - 3), (1 , 3), (2 , 3), (0 , 3), (3, - 1), (3 , 0) (3 , 1), (3 , 2), (3 , - 2) (- 3 , 2) (- 3 , 1), (1, - 3), (-3, - 1), (- 3 , 0), (- 3, - 2) 共 45 个兀素；解法二：因为集合A= (x , y) |x2+y2< 1, x , y Z,所以集合A中有5个元素，即图

24、中圆中的整点，B= (x , y) |x|< 2 , |y| < 2 , x , y Z,中有5X 5=25个元素，即图中正方形 ABCD中的整点，A® B= (x什X2 , y1+y2)1 (X1 , y1) A , ( X2 , y2) B的元素可看作正方形 ABiGDi 中的整点(除去四个顶点)，即7 X 7 -4=45个.应选：C.点评此题以新定义为载体， 主要考查了集合的根本定义与运算，解题中需要取得重复的元素.二、填空题 MIH |=G11. (3分)(2021?)向量一-丄匚,| 一纠=3,那么一 _？=9 .分析由结合平面向量是数量积运算求得答案.解答解：

25、由丄厂，得R? £=0 ,即工? ( 一 =0 ,; =3 ,OA-=|OA|2=9故答案为：9.点评此题考查了平面向量的数量积运算，考查了向量模的求法，是根底的计算题.12. (3分)(2021?)设变量x, y满足约束条件 盘_尺2 ，那么3x+y的最大值为10分析作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值.解答解：作出不等式对应的平面区域如图，由 z=3x+y，得 y= - 3x+z,平移直线y= - 3x+z ,由图象可知当直线 y= - 3x+z ,经过点C时，直线y= - 3x+z的截距最大, 此时z最大.此时z的最大值为z=3X 3+1=10

26、,故答案为：10.点评此题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法.13. (3分)(2021?)函数的零点个数为 2分析将函数进行化简，由f (x) =0,转化为两个函数的交点个数进行求解即可.2 2解答解：f (x) =2sinxcosx - x =sin2x - x ,2由 f (x) =0 得 sin2x=x ,2作出函数y=sin2x和y=x的图象如图：由图象可知，两个函数的图象有2个不同的交点，即函数f (x)的零点个数为2个，点评此题主要考查函数零点个数的判断, 的交点问题是解决此题的关键.利用函数和方程之间的关系转化为两个函数图象14. ( 3分)(20

27、21?)某电子商务公司对计，发现消费金额(单位：万元)都在区间10000名网络购物者2021年度的消费情况进行统0.3 , 0.9，其频率分布直方图如下列图.(1) 直方图中的a= 3.(2) 在这些购物者中，消费金额在区间0.5 , 0.9的购物者的人数为6000分析(1)频率分布直方图中每一个矩形的面积表示频率，先算出频率，在根据频率和为1,算出a的值；(2)先求出消费金额在区间0.5 , 0.9的购物者的频率，再求频数.解答解：(1)由题意，根据直方图的性质得(1.5+2.5+a+2.0+0.8+0.2 )x 0仁1，解得a=3(2)由直方图得(3+2.0+0.8+0.2 )X 0.1

28、X 10000=6000故答案为：(1) 3(2) 6000点评此题考查了频率分布直方图中每一个矩形的面积表示频率，频数=频率X样本容量，属于根底题.15. (3分)(2021?)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北 75°的 方向上，仰角为 30°,那么此山的高度 CD= 100卜m分析设此山高h (m),在厶BCD中，禾U用仰角的正切表示出BC,进而在 ABC中利用正弦定理求得h.解答解：设此山高h ( m),那么BCih,在厶 ABC中，/ BAC=30，/

29、 CBA=105，/ BCA=45 ,AB=600.解得 h=100 . j. ( m 故答案为：100. 点评此题主要考查了解三角形的实际应用.关键是构造三角形，将各个条件向这个主三角形集中，再通过正弦、余弦定理或其他根本性质建立条件之间的联系，列方程或列式求解.16. (3分)(2021?)如图，圆C与x轴相切于点T (1, 0),与y轴正半轴交于两点 A, B ( B在A的上方)，且|AB|=2 .(1 )圆C的标准方程为 (x 1) 2+ (y 血)2=2 .(2)圆C在点B处切线在x轴上的截距为1二.厂9 )J丿、O Tx分析(1)确定圆心与半径，即可求出圆C的标准方程；(2)求出圆

30、C在点B处切线方程，令y=0可得圆C在点B处切线在x轴上的截距. 解答解：(1)由题意，圆的半径为屈！=血，圆心坐标为(1,血)，圆C的标准方程为(x 1) ：+ (y -巾)2=2;(2)由(1)知，B (0, 1+一 】)，_圆 C在点 B处切线方程为(0- 1) (x 1) + (1+ 二-土)(y-二)=2,令 y=0 可得 x= - 1 V2.故答案为：(x 1) 2+ (y-心)2=2; 1 .'：.点评此题考查圆的标准方程，考查圆的切线方程，考查学生的计算能力，属于中档题.17. (3分)(2021? ) a为实数，函数f (x) =|x 2 ax|在区间0 , 1上的最

31、大值记为g(a).当 a=_ -二-2 时，g (a)的值最小.分析通过分aw 0、Ov aw 2 :'： - 2、a> 22三种情况去函数f (x)表达式中绝对值符号，禾U用函数的单调性即得结论.孑2-2a4|分下面几种情况讨论:2解答解：对函数 f (x) =|x - ax|=|(x - 当aw 0时，f (x) =x2 - ax在区间0 , 1上单调递增,当Ov aw 2 ' 2时,吩=|(評-汽-(1 - a)=-:-4,f (1) =1 - a,4 护-f (x) ma：=g (1) =1 a ；-2v0,当 2<2 v a< 1 时，f (x) m

32、ax=g ( a)=2_3_4综上所述，g (a)1 a,2/2 - 2亍，22- 2<a<l ?oo g (a)在(-二 g ( a) min=g (:')；-!上单调递减，在 匚： ,+o)上单调递增,当 1v av 2 时，g (a)当 a> 2 时，g ( a) =f2 a T(1) =a- 1;-f ( x) max=g ( 1) =1 - a ；综上，当 a=2 -戈时，g (a) min=3 - 2近,故答案为：2伍-2.点评此题考查求函数的最值，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于难题.三、解答题18. (12分)(2021?)某同学将“五点法

33、画函数TT f (x) =Asin (wx+0) (w>在某一个时期的图象时，列表并填入局部数据，如下表:WX+0x7tAsin(1)(2)(wx+0)0请将上述数据补充完整，5填写在答题卡上相应位置,2n并直接写出函数f (x)的解析式;将y=f (x )图象上所有点向左平移得到 y=g (X)图象，求y=g (x)的图象离原点O最近的对称中心.分析(1)由五点作图法即可将数据补充完整，写出函数的解析式；(2)由函数y=Asin(3x+© )的图象变换可得 g (x)，解得其对称中心即可得解.解答解：(1)数据补充完整如下表：wx+OAsin (wx+O)7T0函数f ( x

34、)的解析式为：f (x)(2 )将y=f (x )图象上所有点向左平移JTn37T22兀7 TV5TTT505(2x -Z).67T个单位长度，得到y=g (x)=5si n62n=5sin2( x+)6=5s in (2x+f).由2x+：=kn,k Z,可解得:k兀兀x=212,k Z,当k=0时，可得:7Tx=.12从而可得离原点o最近的对称中心为：(-，0 )函数 y=Asin (®x + O)点评此题主要考查了由y=Asin (wx + O)的局部图象确定其解析式, 的图象变换，属于根本知识的考查.等比数列bn的公比为19. (12分)(2021?)设等差数列an的公差为d

35、,前n项和为Sn, q, b1=a1, b2=2, q=d, 3o=1OO.(1 )求数列a n , b n的通项公式(2 )当d> 1时，记C，求数列C n的前n项和Tn .n分析(1)利用前10项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可;(2 )当d> 1时，由(1)知Cn,写出Tn、丄Tn的表达式，利用错位相减法与等比解答解：(1)设a1=a，由题意可得n 1(2)当 d> 1 时，由(1)知 an=2n 1, bn=2,n- 1数列的求和公式，计算即可.10-4W=100ad=2电2n- 11=bn=八Cn2 _Tn=2+_2 2 Tn=6 +5?1+7?1+9?22

36、V.+3?1+5?1+7? 一22丄+1+丄+ L23242n Tn=1+3?24丄+24+( 2n 3)(2n- 1) ? 一=3-2n点评此题考查求数列的通项与求和,利用错位相减法是解决此题的关键,+ (2 n 1)注意解题方法的积累，属于中档题.20. (13分)(2021?)?九章算术?中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥 称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑在如下列图的阳马P- ABCD中,侧棱PD丄底面 ABCD且PD=CD点E是PC的中点，连接 DE BD BE(I)证明：DE!平面PBC试判断四面体 EBCD是否为鳖臑.假设是，写出其每个面的直角(只

37、需写出结论)；假设不是，请说明理由；(H)记阳马P-ABCD的体积为 V，四面体EBCM体积为V2, 求的值.分析(I)证明BCL平面PCD DEL平面PBC可知四面体 EBCD勺四个面都是直角三角形，即可得出结论；(H)由，PD是阳马P-ABCD的高，所以V1电S血D叩+虻吃1>PD.由(I)知,DE是鳖臑D- BCE的高,bclCE 所以-DE=|EC-CE-DE即可求的值.解答(I)证明：因为 PD丄底面ABCD所以PD丄BC, 因为ABCD为正方形，所以 BCL CD因为 PDA CD=D所以BC丄平面PCD因为DE?平面PCD所以BCL DE因为PD=CD点E是PC的中点，所以

38、DEI PC因为 PCH BC=C所以DE!平面PBC由BC丄平面PCD DE!平面PBC可知四面体 EBCD勺四个面都是直角三角形， 即四面体 EBCD是一个鳖臑，其四个面的直角分别是/BCD / BCE / DEC / DEB(H)由,PD是阳马P ABCD的高,所以Vi=由(I)知，DE是鳖臑D- BCE的高，BCL CE,所以 V2ce rE=rBC-CE*DE因为PD=CD点E是PC的中点,所以 DE=CE= - CD2所以=4点评此题考查线面垂直的判定与性质，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.21. (14分)(2021?)设函数f ( x) , g ( x)

39、的定义域均为 R,且f (x)是奇函数，g (x) 是偶函数，f (x) +g (x) =ex,其中e为自然对数的底数.(1 )求 f (x), g (x)的解析式，并证明：当x> 0 时，f (x) > 0, g (x)> 1;(2 )设 aw 0, b > 1,证明：当 x > 0 时，ag (x) + (1 - a)v 丨'-丨 v bg (x) + (1 - b).I分析(1)运用奇、偶函数的定义，由函数方程的思想可得f ( X)、g ( X)的解析式，再由指数函数的单调性和根本不等式，即可证得f (x) > 0, g ( x)> 1

40、；(2 )当 x> 0 时，-> ag (x) +1 - a? f (x) > axg (x) + (1 - a) xv bg (x)xy+1 - b? f (x)v bxg (x) + (1 - b) x，设函数 h (x) =f (x)- cxg (x) -( 1 - c) x，通 过导数判断单调性，即可得证.解答解：(1) f ( X)是奇函数，g (x)是偶函数, 即有 f (- x) =- f (x)，g (- x) =g (x )，f (X) +g (x) =ex，f (- X ) +g (- X ) =e x，x即为-f (X ) +g (x) =e ，/ X

41、-X (e +e解得f (x)X-X(e - e )，x x那么当 x> 0时，e > 1， 0ve v 1，f (x) > 0; g (x) =一 ( ex+ex) > x 2. J =1，那么有当 x>0 时，f (x) > 0，g (x) > 1;(2)证明：f'( x) =(ex+e-x) =g (x)，gz( x)十(ex- e-x) =f (x)，fG)当 x> 0 时，> ag (x) +1 - a? f (x) > axg (x) + (1 - a ) x，f工)v bg (x) +1 - b? f (x )v

42、 bxg (x) + (1 - b) x,I设函数 h (x) =f (x)- cxg (x) -( 1 - c) x, h'( x) =f'( x) - c (g (x) +xg'( x)-( 1 - c) =g (x)- cg (x)- cxf (x)-( 1 - c) = (1 - c) (g (x)- 1)- cxf (x), 假设 cw 0那么 h'( x)> 0,故 h ( 乂)在(0, +8)递增，h (x)> h (0) =0, (x > 0), 即有 f (x)> cxg (x) + (1 - c) x，故 > ag (x) +1 - a 成立； 假设 c> 1 那么 h'( x)v 0,故 h (乂)在(0, +8)递减，h (x)?h (0) =0, (x> 0),