2017年中考数学100份试卷分类汇编：圆的综合题

1、2021中考全国100份试卷分类汇编圆的综合题B, A, C作，女口1、 2021?在厶ABC中，/C为锐角，分别以 AB, AC为直径作半圆，过点 下列图.假设 AB=4，AC=2 3- S2=，那么S3 - S4的值是A.B.C.D.考点：圆的认识分析：首先根据AB、AC的长求得S1+S3和S2+S4的值，然后两值相减即可求得结论解答:解： AB=4AC=2,S 什S3=2 n,S2+S4=,TS 1 - S2=,. S1+S3-S2+S4= S - S2+ S3 - S4=nS 3 - S4= n,应选D.点评：此题考查了圆的认识，解题的关键是正确的表示出S+S3和S2+S的值.2、 2

2、021?丨以下说确的是A. 平分弦的直径垂直于弦B. 半圆或直径所对的圆周角是直角C. 相等的圆心角所对的弧相等D. 假设两个圆有公共点，那么这两个圆相交 考点：圆与圆的位置关系；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理.分析：利用圆与圆的位置关系、垂径定理、圆周角定理等有关圆的知识进展判断即可解答：解：A、平分弦不是直径的直径垂直于弦，故本选项错误；B、半圆或直径所对的圆周角是直角，故本选项正确；C、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项错误；D两圆有两个公共点，两圆相交，故本选项错误，应选B.点评：此题考查了圆与圆的位置关系、垂径定理、圆周角定理等有关圆的知识，牢记这些定 理是

3、解决此题的关键.3、 2021?一块矩形木板，它的右上角有一个圆洞，现设想将它改造成火锅餐桌桌面，要求木板大小不变，且使圆洞的圆心在矩形桌面的对角线上.木工师傅想了一个巧妙的方法，他测量了 PQ与圆洞的切点 K到点B的距离与相关数据单位：cm，从点N沿折线NF- FMNF/ BC FM/ AB切割，如图 1所示.图2中的矩形EFGH是切割后的两块木板拼接成符合要求的矩形桌面示意图不重叠，无缝隙，不记损耗，那么CN AM的长分别是18cm31cm .考点：圆的综合题分析：如图，延长0K交线段AB于点M，延长PQ交BC于点G,交FN于点N',设圆孔半 径为r.在Rt KBG中，根据勾股定理

4、，得 r=16cm根据题意知，圆心 0在矩形 EFGH的对角线上，那么 KN =AB=42cm OM =KM +r=CB=65cm那么根据图中相关线 段间的和差关系求得 CN=QG QN =44 - 26=18 cm，AM=BG PDF KM =130- 50- 49=31 cm.解答：解：如图，延长 OK交线段AB于点M，延长PQ交BC于点G,交FN于点N'. 设圆孔半径为r.在Rt KBG中，根据勾股定理，得bG+kG=bK，即130 - 502+ 44+门 2=1002,解得，r=16cm.根据题意知，圆心 O在矩形EFGH勺对角线上，那么KN =AB=42cm OM =KM +

5、r=CB=65cmQN =KN - KQ=42- 16=26cm，KM =49 cm， CN=QGQN =44- 26=18cm， AM=BC PD- KM =130- 50 - 49=31 cm，综上所述，CN AM的长分别是18cm 31cm.故填：18cm 31cm.图102点评：此题以改造矩形桌面为载体，让学生在问题解决过程中，考查了矩形、直角三角形与 圆等相关知识，积累了将实际问题转化为数学问题经验，渗透了图形变换思想，表达 了数学思想方法在现实问题中的应用价值.4、 2021如图，AB是O O的直径，弦CDL AB于点G,点F是CD上一点，且满足=，连接AF并延长交O O于点E,连

6、接AD DE假设CF=2，AF=3.给出以下结论： ADFA AED FG=2； tan / E=； Sadef=4 .其中正确的选项是 写出所有正确结论的序号.考点：相似三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理.分析：由AB是OO的直径，弦 CDLAB根据垂径定理可得：=,DGCG继而证得 ADMA AED 由=,CF=2,可求得 DF的长，继而求得 CGDG4,那么可求得 FG2; 由勾股定理可求得 AG的长，即可求得tan / ADF的值，继而求得tan / E=； 首先求得 ADF的面积，由相似三角形面积的比等于相似比，即可求得ADE的面积,继而求得SA def=4.解答：解： AB是

7、O O的直径，弦 CDLAB=,DGCG/ ADI=Z AED/ FAD：/ DAE公共角， AD2 AED故正确； =, CF=2,- FD：6, CD=DF+CF=8, CCDG4, FG=CG- CF=2 ；故正确； AF=3, FG=2, AG=,在 RtAAGD中, tan / ADG=, tan / E=；故错误； DF=DGFG=6, AD=, Sadf=DF? AG=x 6x =3,= Saaec=7,Sadef=S AED Saad=4；故正确.故答案为：.点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理以与三角函数等知识此题综合性较强，难度适中，注意掌

8、握数形结合思想的应用.5、2021年如图，在平面直角坐标系中， ABC是O O的接三角形，AB= AC点P是AB的 中点，连接PA PB PC假设/ BPG 60°，求证：AC . 3AP ；2如图,PAB的值.C1如图，解析：1证明：弧 BC=弧 BC, / BAC=Z BPC= 60 ° . 又 AB= ACABC为等边三角形/ ACB= 60°,t 点 P 是弧 AB 的中点，/ ACP= 30°,又/ APC=Z ABC= 60°,. AC= , 3 AP.2解：连接 AO并延长交PC于F,过点E作EGLAC于G,连接OC / AB=

9、AC, AFL BC BF= CF.点 P 是弧 AB 中点，:丄 ACP=Z PCB - Eg EF./ BPC=Z FOC24 sin / FOC= sin / BPC仝.25设 FC= 24a ,那么 OC= OA= 25a , - OF= 7a , AF= 32a.在 Rt AFC中，AC= AF2+FC? , AC= 40a.在 Rt AGE和 Rt AFC中，sin / FAC=EGAEFCACEG32a EG24a Eg 12a.40aC tan / PAB= tan / PCB=EF 空 -CF 24a26、 2021?丨在平面直角坐标系 xOy中，点A 6, 0，点B 0,

10、6，动点C在以半径为3 的OO上，连接 OC过O点作ODLOC OD与OO相交于点 D其中点 C O D按逆时针方向 排列，连接AB.1当OC/ AB时，/ BOC的度数为 45°或135°2连接AC, BC,当点C在OO上运动到什么位置时， ABC的面积最大？并求出 ABC 的面积的最大值.3连接AD,当OC/ AD时，求出点C的坐标；直线 BC是否为OO的切线？请作出判断，并说明理由.考点： 专题： 分析：圆的综合题.综合题.1根据点A和点B坐标易得厶OA为等腰直角三角形， 那么/ OBA=45，由于OC/ AB 所以当C点在y轴左侧时，有/ BOCMOBA=45 ;当

11、C点在y轴右侧时，有/ BOC=180 -Z OBA=135 ;2由厶OAB为等腰直角三角形得 AB=OA=6根据三角形面积公式得到当点 C到AB 的距离最大时， ABC的面积最大，过 O点作OELAB于E，OE的反向延长线交OO 于 C,此时C点到AB的距离的最大值为 CE的长然后利用等腰直角三角形的性质计算出OE然后计算厶ABC的面积；3过C点作CFLx轴于F，易证Rt OC® Rt AOD那么=，即=，解得CF=再 利用勾股定理计算出 OF=,那么可得到 C点坐标；由于OC=3 OF=所以Z COF=30，那么可得到 BOC=60，Z AOD=60，然后根 据“SAS判断 BO

12、QAAOD所以Z BCOZ ADC=90，再根据切线的判定定理可确 疋直线BC为OO的切线.解答：解：1：点 A6，0，点 B 0，6， OA=OB=6 OAB为等腰直角三角形， Z OBA=45，TOC/ AB当C点在y轴左侧时，Z BOCZ OBA=45 ;当 C点在y轴右侧时，Z BOC=180 -Z OBA=135 ;2TA OAB为等腰直角三角形， AB=OA=，当点C到AB的距离最大时， ABC的面积最大，过O点作OELAB于E，OE的反向延长线交OO 于C，如图，此时 C点到AB的距离的 最大值为CE的长， OAB为等腰直角三角形， AB=OA=， OE=AB=3 CE=OC+C

13、E=3+址 ABC 的面积=CE? AB=X 3+3X 6=9+18.当点C在OO上运动到第三象限的角平分线与圆的交点位置时， ABC的面积最大，最大值为9+18.3如图，过C点作CF丄x轴于F,TOC/ AD/ ADON COD=90 ,/ DOAN DAO=90 而/ DOAN COF=90 , N COFN DAO Rt OCF Rt AOD=，即=，解得CF=, 在 Rt OCF中，OF=, C点坐标为-，丨；直线BC是OO的切线.理由如下：在 Rt OCF中，OC=3 OF= N COF=30 , N OAD=30 , N BOC=60 , / AOD=60 ,在 BOC和厶AOD中

14、 BOC2AAOD SAS, N BCON ADC=90 , OCL BC直线BC为OO的切线.点评：此题考查了圆的综合题：掌握切线的判定定理、平行线的性质和等腰直角三角形的判定与性质；熟练运用勾股定理和相似比进展几何计算.7、 2021?半径为2cm的与OO边长为2cm的正方形ABCD在水平直线I的同侧，OO与I 相切于点F, DC在 l 上.1过点B作的一条切线 BE E为切点. 填空：如图1，当点A在OO上时，N EBA的度数是 30° 如图2，当E, A, D三点在同一直线上时，求线段OA的长；2以正方形ABCD勺边AD与OF重合的位置为初始位置，向左移动正方形图 3，至边M

15、 N分别是边BC AD与OO的公共点，求扇形 MON勺面积的围.考点：圆的综合题.分析：1根据切线的性质以与直角三角形的性质得出/ EBA的度数即可；利用切线的性质以与矩形的性质和相似三角形的判定和性质得出=，进而求出0A即可；2设/ MON=°，得出S扇形Mo=X22=n进而利用函数增减性分析当N, M A分别与D, B, 0重合时，MN最大，当MN=DC=2寸，MN最小，分别求出即可.解答：解：1半径为2cm的与O 0边长为2cm的正方形ABCD在水平直线I的同侧，当 点A在OO上时，过点 B作的一条切线 BE, E为切点，0B=4 E0=2 / OEB=90 ,/ EBA的度数

16、是：30°如图2,直线I与OO相切于点F,/ 0FD=90 ,正方形 ADCB中, Z ADC=90 , 0F/ AD/ 0F=AD=2四边形0FDA为平行四边形，Z 0FD=90 ,平行四边形 0FDA为矩形， DALA0 正方形 ABCD中 , DAL AB0, A, B三点在同一条直线上； EAL 0B Z 0EBZ A0E E0MA B0E 0占=0A? 0B 0A 2+0A=4 ,解得：0A=- 1土，/ 0A> 0, 0A 1;方法二：在 Rt 0AE 中，cos Z E0A=在 Rt EOB中，cos Z EOB=-=,解得：0A=- 1土，/ 0A> 0,

17、 OA 1;方法三：/ OEL EB EAL 0B由射影定理，得 oE=oa? ob 0A 2+OA=4 ,解得：0A=- 1土，/ 0A> 0 , OA 1 ;2 22如图 3，设/ MON=° , S扇形 mo=X2 =n cm，S随n的增大而增大，/ MON取最大值时， S扇形MO最大， 当/ MON取最小值时，S扇形mo最小，过O点作OKL MN于K,/ MON=2 NOK MN=2N,在 Rt ONK中，sin / NOK=/ NOK随NK的增大而增大，/ MON随MN的增大而增大，当 MN最大时/ MON最大，当 MN最小时/ MON最小， 当N, M A分别与D,

18、 B, O重合时，MN最大，MN=BD/ MONN BOD=90 , S扇形moni大=n cm, 当MN=DC=2, MN最小， ON=MN=OM/ NOM=6° ,S扇形moi最小=n cm,nWS 扇形mo莊n. 故答案为：30°.点评：此题主要考查了圆的综合应用以与相似三角形的判定与性质和函数增减性等知识，得出扇形MON勺面积的最大值与最小值是解题关键.8、 2021?丨如图，在 ABP中，C是BP边上一点，/ PACN PBA OO 是厶ABC的外接圆， AD是OO的直径，且交 BP于点E.1求证：PA是OO的切线；2过点C作CFLAD垂足为点 F,延长CF交AB

19、于点G假设AG? AB=12,求AC的长；3在满足2的条件下，假设 AF: FD=1: 2, GF=1,求OO的半径与sin / ACE的值.考点： 分析：圆的综合题.1根据圆周角定理得出/ ACD=90以与利用/ PACN PBA 得出/CADN PAC=90进 而得出答案；2首先得出厶CAGp BAC进而得出 AC=AG? AB,求出AC即可；3先求出AF的长，根据勾股定理得：AG=即可得出sin / ADB=利用/ ACEN ACBN ADB 求出即可.解答：1证明：连接CD,/AD是OO的直径，/ ACD=90 ,/ CADN ADC=90 ,又/ PACN PBA / ADCN PB

20、A/ PACN ADC/ CADN PAC=90 , PALOA而 AD是OO的直径， PA是OO的切线；2解：由1知，PAL AD 又T CFL AD CF/ PA/ GCAM PAC 又 I / PAC=/ PBA/ GCA/ PBA 而/ CAGM BAC CA®A BAC-=,即 AC2=AG? AB,/ AG? AB=12 ,2 AC=12 , AC=23解：设 AF=x, / AF: FD=1: 2, FD=2x AD=AF+FD=3x2在 Rt ACD中 , / CF丄 AD, AC =AF? AD,即 3x =12 ,解得；x=2 , AF=2 AD=6 OO 半径为

21、 3 ,在 Rt AFG中，/ AF=2 GF=1,根据勾股定理得：AG=由2知，AG? AB=12, AB=连接BD/AD是OO的直径， / ABD=90 ,在 Rt ABD中，/ sin / ADB= AD=6 sin / ADB=/ ACE/ ACBM ADB sin / ACE=点评：此题主要考查了圆的综合应用以与勾股定理和锐角三角函数关系等知识，根据得出AG的长以与AB的长是解题关键.9、2021?丨如图1,正方形ABCD的边长为2,点M是BC的中点，P是线段MC上的一个动 点不与M C重合，以AB为直径作O O,过点P作OO的切线，交AD于点F ,切点为E.1求证：OF/ BE2设

22、BP=x, AF=y,求y关于x的函数解析式，并写出自变量 x的取值围；3延长DC FP交于点G,连接OE并延长交直线 DC与H图2，问是否存在点 P,使 EFSA EHG E、F、O与E、H G为对应点？如果存在，试求2中x和y的值；女口果不存在，请说明理由.考点： 分析：圆的综合题.1首先证明 Rt FA3 Rt FEO进而得出/ AOF=/ ABE即可得出答案；2过F作FQL BC于Q,利用勾股定理求出 y与x之间的函数关系，根据 M是BC 中点以与BC=2,即可得出BP的取值围；3首先得出当/ EFOM EHG=2EOF 时，即/ EOF=30 时，Rt EFS Rt EHG 求 出y

23、=AF=OZ? tan30 ° =，即可得出答案.解答：1证明：连接OEFE、FA是OO的两条切线/ FAOM FEO=90在 Rt OAF和 Rt OEF 中， Rt FAORt FEO HU,/ AOFM EOFM AOE/ AOFM ABE OF/ BE2解：过F作FQLBC于Q PQ=BP BQ=x- yPF=EF+EP=FA+BP=x+y/在 Rt PFQ中 fq2+q=pf222+ x - y2=x+y2化简得：，1 < XV 2；3存在这样的P点，理由：I / EOF/AOF / EHG/ EOA=/ EOF当/ EFO/ EHG=/ EOF 时，即/EOF=30

24、 时，Rt EFSRt EHG 此时Rt AFO中,y=AF=OZ? tan30 ° =,当时， EFSA EHG点评：此题主要考查了圆的综合应用以与全等三角形的判定和性质以与相似三角形的判定 与性质等知识，得出 fG+qPupF2是解题关键.10、2021?莱芜如图，00的半径为1，直线CD经过圆心O,交OO于C D两点，直径 AB丄CD点M是直线CD上异于点 C O D的一个动点，AM所在的直线交于00 于点N,点P 是直线 CD上另一点，且 PM=PN1当点M在00部，如图一，试判断 PN与00的关系，并写出证明过程；2当点M在00外部，如图二，其它条件不变时，1的结论是否还成

25、立？请说明理由；3当点M在00外部，如图三，/ AMO=1°，求图中阴影局部的面积.圉一團二图三考点： 分析：圆的综合题.1根据切线的判定得出/ PNOM PNMM ONAM AMOM ONA 进而求出即可；2根据得出/ PNMMONA=90，进而得出/ PNO=180 - 90° =90°即可得出答案;3首先根据外角的性质得出/ AON=30进而利用扇形面积公式得出即可.解答：1PN与00相切. 证明：连接ON另E么/ ONAM OAN/ PM=PN / PNMM PMN/ AMOM PMNM PNMM AMO M PNOM PNMM ONAM AMOM ONA

26、=90 . 即PN与00相切.2成立. 证明：连接ON 另E么/ ONAM OAN/ PM=PN :丄 PNMW PMN 在 Rt AOM中,/ OMA：+ OAM=9° ,/ PNM乂 ONA=90 ./ PNO=180 - 90° =90° 即PN与OO相切.3解：连接 ON由2可知/ ONP=90 ./ AMO=1° , PM=PN/ PNM=1°，/ OPN=30 , / PON=60，/ AON=30 .作NE! OD垂足为点 E,那么 NE=ON sin60 ° =1X =.S 阴影=Saao+S 扇形 aon ScOt=

27、O(? OA+CO NE=X 1 X 1 + n-X 1 X=+ n-.图一C圉二】图三熟练根据切线的判定得出对应点评：此题主要考查了扇形面积公式以与切线的判定等知识, 角的度数是解题关键.11、2021?丨如图，在OO 中，直径 AB丄CD垂足为 E,点M在OC上，AM的延长线交OO 于点G,交过C的直线于F,/仁/2,连结 CB与DG交于点N.1求证：CF是OO的切线；2丨求证： ACMhA DCN13假设点 M是CO的中点，OO的半径为4, cos/ BOC，求BN的长.4考点： 分析：圆的综合题.1根据切线的判定定理得出/ 1+Z BCO=90，即可得出答案；2利用得出Z 3=Z 2,

28、Z 4=Z D,再利用相似三角形的判定方法得出即可；3根据得出OE的长，进而利用勾股定理得出EC, AC, BC的长，即可得出 CD,利用2中相似三角形的性质得出NB的长即可.解答：1证明： BCO 中，BO=CO/ B=Z BCO在 Rt BCE中，/ 2+Z B=90° ,又/ 仁/ 2,二/ 1+Z BCO=90，即/ FCO=90 , CF是OO的切线；2证明： AB 是OO 直径，/ ACB=/ FCO=90 ,/ ACB-Z BCOM FCO-Z BCQ即/3=Z 1,./ 3=Z 2,/ 4=Z D,.A ACMhA DCN3解：TOO的半径为4,即卩AO=CO=BO=

29、41在 Rt COE中，cos / BOC=,41 OE=CO cos / BOC=4 =1,4由此可得：BE=3 AE=5,由勾股定理可得：CE=AC=2BC=2/AB是OO 直径，AB!CD由垂径定理得：CD=2CE=2/ ACMh DCN点 M是 CO的中点，CM=AO=4=2 , CN= BN=BG CN=2-=.点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以与切线的判定和勾股定理的应用等知识, 根据得出厶ACMh DCN是解题关键.12、2021如图1,在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P是反比例函数y=x>0图象上任意一点，以P为圆心，PO为半径的圆与坐标轴分别交于点A B.1

30、求证：线段AB为OP的直径；2求厶AOB的面积；3如图2 , Q是反比例函数 y=x> 0图象上异于点 P的另一点，以 Q为圆心，QC为半 径画圆与坐标轴分别交于点 C、D.求证：DC? OC=BO OA考点：反比例函数综合题.分析：1/ AOB=90，由圆周角定理的推论，可以证明AB是OP的直径;2将厶AOB的面积用含点P坐标的表达式表示出来，容易计算出结果；3对于反比例函数上另外一点 QOQ与坐标轴所形成的 COD的面积，依然不变，与厶AOB 的面积相等.解答：1证明：I / AOB=90，且/ AOB是OP中弦AB所对的圆周角， AB是OP的直径.2解：设点 P 坐标为m n m&

31、gt;0, n > 0，点P是反比例函数y=x>0图象上一点， mn=12如答图，过点 P作PMLx轴于点M PNLy轴于点N,那么OM=m ON=n由垂径定理可知，点 M为OA中点，点N为OB中点， OA=2OM=2mOB=2ON=2n-S aob=BC? OA=x 2nX 2m=2mn=2 12=24.3证明：假设点 Q为反比例函数y= x> 0图象上异于点 P的另一点，参照2，同理可得：Sco=DO? CO=24那么有：SmoD=SsoB=24 ,即 BO? OA=DO CO DO? OC=BO OA点评：此题考查了反比例函数的图象与性质、圆周角定理、垂径定理等知识，难

32、度不大试题的核心是考查反比例函数系数的几何意义对此题而言，假设反比例函数系数为k,那么可以证明OP在坐标轴上所截的两条线段的乘积等于 4k;对于另外一点 Q所形成的O Q此 结论依然成立.13、2021?如图，PA为OO的切线，A为切点，直线 PO交OO与点E, F过点A作PO的 垂线AB垂足为D,交OO与点B,延长BO与OO交与点C,连接AC, BF.1求证：PB与OO相切；2试探究线段 EF, OD OP之间的数量关系，并加以证明；3假设 AC=12, tan / F=,求 cos/ ACB的值.考点：圆的综合题.分析：1连接OA由OP垂直于AB,利用垂径定理得到 D为AB的中点，即 OP

33、垂直平分 AB,可得出AP=BP再由OA=OB OP=OP利用SSS得出三角形 AOP与三角形BOP全等, 由PA为圆的切线，得到OA垂直于AP,利用全等三角形的对应角相等与垂直的定义得 到OB垂直于BP,即PB为圆O的切线；2由一对直角相等，一对公共角，得出三角形AOD与三角形OAP相似，由相似得比例，列出关系式，由 OA为EF的一半，等量代换即可得证.3连接BE,构建直角厶BEF在该直角三角形中利用锐角三角函数的定义、勾股定理可设BE=x, BF=2x,进而可得EF=x;然后由面积法求得 BD=x所以根据垂径定理求 得AB的长度，在Rt ABC中，根据勾股定理易求 BC的长；最后由余弦三角

34、函数的定 义求解.解答：1证明：连接OA PA与圆O相切， PAL OA 即/ OAP=90 ,/ OPL AB D为AB中点，即OP垂直平分AB PA=PB在 OAP和厶OBP中, OAP OBP SSS,/ OAPM OBP=90 , BP丄 OB那么直线PB为圆O的切线;22答：EF=4DC? PO证明：/ OAPM ADO=90，/ AODM POA OAD OPA2=，即卩 OA=OC? OP/ EF为圆的直径，即 EF=2OA EF2=OD? OP 即 EF2=4OCP OF；3解：连接BE那么/ FBE=90 ./tan / F=,=,可设 BE=x, BF=2x,那么由勾股定理

35、，得EF=x,/ BE? BF=EF? BD BD=x又 AB丄 EF, AB=2BD=x Rt ABC 中，BC=x aC+aU=bC,2厂、2厂、2 12 + x=x,解得：x=4, BC=4< =20, cos / ACB=点评：此题考查了切线的判定与性质， 相似与全等三角形的判定与性质以与锐角三角函数关 系等知识，熟练掌握切线的判定与性质是解此题的关键.14、(2021年)如图，AD是圆O的切线，切点为 A, AB是圆O 的弦。过点B作BC/ AD交圆O于点C,连接AC过P C点C作CD/ AB交AD于点D。连接AO并延长交 BC于点M交过点C的直线于点 P,且 BCP ACD

36、判断直线PC与圆O的位置关系，并说明理由：(2) 假设 AB=9, BC=6，求 PC的长。解析：解法一： 直线PC与圆O相切。如图，连接CO并延长，交圆O于点N,连接BN/ AB/ CD BA(= ACDBAC BNC BNC ACDBCP ACD BNC BCP/ CN是圆O的直径， CBN90。BNC BCN90, BCP BCN90。 PCO90 ，即 PC OC又点C在圆O上，直线 PC与圆O相切。(4分)/ AD是圆O的切线， AD OA即 OAD90。/ BC/ AD OMQ18OOAD90 ，即 OM BC MCMB ABAC在 Rt AM(中,AMC90,AC=AB=9,M(

37、=-1-BC=3,由勾股定理，得 AM AC2 MC= 92 32 =6 2。设圆O的半径为r。在 Rt OM(中,OM=90 ，OMAM AO=6、Q r，MC3, OOr，由勾股定理，得 OM MC=OC，即6p2 r 2 32=r2。解得r#?。在厶OM和 OCF中,OMC OCP MOC COP OMG OCP：OM_ CM 6282 _ 3OC= PC，即 27= PCA2 P(=277。8 分AOBACD解法二：直线PC与圆O相切。如图，连接OC/ AD是圆O的切线， AD OA即 OAD90。 B(ZZ AD - OM=180OAD90 ,即 OM BC-MCMB - - AB=

38、AC> MAB MACBAC2 MAC 又T MOC2 MAC： MOC BAC/ AB/ CD BA(= ACD： MOC ACD 又t BCP MOC BCP / MOC OCM9O , BCP OCM90。 PCO9O ，即PC OC又点 C在圆O上，直线 PC与圆O相切。 亠 1(2)在 Rt AM(中,AMC90 , AC=AB=9, M(=BC=3,由勾股定理，得 AM AC2 MC= 9232 =6 2。设圆O的半径为r。在 Rt OM(中,OM=90 , OIMAM AO=6 j? r, MC3, OOr,由勾股定理，得 OM MC=OC，即6申 r 2 32=r2。解得

39、r=-28-2o在 0M和 OCF中，T OMC OCP MOC COPo 8 分OM_ CMOC= PC，278pC15、2021?丨如图，00的直径AB=10, C D是圆上的两点，且.设过点 D的切线ED交AC 的延长线于点F.连接OC交AD于点G1求证：DF丄AF.2求OG勺长.考点：切线的性质.分析：1连接BD,根据，可得/ CADM DAB=30，/ ABD=60，从而可得/ AFD=90 ;2根据垂径定理可得 OG垂直平分 AD继而可判断 06是厶ABD的中位线，在Rt ABD 中求出BD,即可得出OG解答：解：1连接BD/ CADM DAB=30，/ ABD=60 ,/ ADF

40、M ABD=60 , M CADM ADF=90 , DF丄 AF.2在 Rt ABD中，/ BAD=30 ,AB=10, BD=5T =, OG垂直平分AD OG是厶ABD的中位线， OG=BD=点评：此题考查了切线的性质、圆周角定理与垂径定理的知识，解答此题要求同学们熟练掌 握各定理的容与含 30°角的直角三角形的性质.16、 2021?六盘水1观察发现如图1：假设点A、B在直线m同侧，在直线 m上找一点P,使AP+BP勺值最小，做法 如下：作点B关于直线m的对称点B',连接AB ,与直线m的交点就是所求的点 P,线段AB 的长度即为AP+BP的最小值.如图2：在等边三角

41、形 ABC中，AB=2,点E是AB的中点，AD是高，在 AD上找一点P,使BP+PE的值最小，做法如下:作点B关于AD的对称点，恰好与点 C重合，连接CE交AD于一点，那么这点就是所求的点P,故BP+PE的最小值为.2实践运用如图4：点P是四边形ABCD一点，分别在边如图3： OO的直径CD为2，的度数为60°,点B是的中点，在直径 CD上作出点P, 使BP+AP的值最小，那么 BP+AP勺值最小，那么 BP+AP的最小值为.AB BC上作出点 M点 N 使PM+PN勺值最小，保存作图痕迹，不写作法.考点：圆的综合题；轴对称-最短路线问题.分析：1观察发现：利用作法得到CE的长为BP

42、+PE的最小值；由AB=2,点E是AB的中点，根据等边三角形的性质得到CELAB / BCEM BCA=30 , BE=1，再根据含30度的直角三角形三边的关系得CE=2实践运用：过 B点作弦BE! CD连结 AE交CD于 P点，连结OB OE OA PB, 根据垂径定理得到 CD平分BE,即点E与点B关于CD对称，那么AE的长就是BP+AP 的最小值；由于的度数为60°,点B是的中点得到/ BOC=30，/ AOC=60，所以/ AOE=60 +30° =90°,于是可判断 OAE 为等腰直角三角形，那么 AE=OA=3拓展延伸：分别作出点 P关于AB和BC的对

43、称点E和F,然后连结EF, EF交AB 于M交BC于N解答：解：1观察发现如图2，CE的长为BP+PE的最小值，在等边三角形 ABC中，AB=2,点E是AB的中点 CEL AB / BCEM BCA=30 , BE=1, CE=BE=故答案为；2实践运用如图3，过B点作弦BE! CD连结AE交CD于 P点，连结OB OE OA PB, / BE! CD CD平分BE,即点E与点B关于CD对称，的度数为60°,点B是的中点，/ BOC=30，/ AOC=60 ,/ EOC=30 ,:丄 AOE=60 +30° =90°,/ OA=OE=1 AE=OA= AE的长就是

44、 BP+AP的最小值.故答案为；3拓展延伸 如图4.点评：此题考查了圆的综合题：弧、弦和圆心角之间的关系以与圆周角定理在有关圆的几何证明中经常用到，同时熟练掌握等边三角形的性质以与轴对称-最短路径问题.17、 2021?压轴题如图，在平面直角坐标系中，A 8, 0，B 0, 6，OM经过原点O与点A B.1求OM的半径与圆心 M的坐标；2过点B作OM的切线I，求直线I的解析式；3/ BOA的平分线交 AB于点N,交OM于点E,求点N的坐标和线段 OE的长.考点：圆的综合题.专题：综合题.分析：1根据圆周角定理/ AOB=90得 AB为OM的直径，那么可得到线段 AB的中点即点 M的坐标，然后利

45、用勾股定理计算出AB=10,那么可确定OM的半径为5;2点B作OM的切线I交x轴于C,根据切线的性质得 AB丄BC,利用等角的余角相等得到/ BAOM CBO然后根据相似三角形的判定方法有Rt AB3Rt BCQ所以=,可解得OC=那么C点坐标为-，0，最后运用待定系数法确定 I的解析式；3作NDLx轴，连结AE易得 NOD为等腰直角三角形，所以 ND=OD ON=ND再 利用 ND/ OB 得到 ADNh AOB 那么 ND OB=AD AQ 即 ND 6= 8 - ND： 8,解得 ND=所以OD= ON=即可确定 N点坐标；由于 ADWAAOB利用 ND OB=AN AB, 可求得AN=

46、那么BN=10-=,然后利用圆周角定理得/ OBA=OEAM BOEM BAE所以 BONWA EAN再利用相似比可求出ME最后由OE=ON+N计算即可.解答：解：1t/ AOB=90 , AB为OM的直径， A 8 , 0, B 0, 6，OA=8 OB=6 AB=10 OM的半径为5;圆心M的坐标为4，3；2点B作OM的切线I交x轴于C，如图， BC与OM相切，AB为直径， AB丄 BC/ ABC=90 ,/ CBO£ ABO=90 , 而/ BAOM ABO=90 ,/ BAOM CBO Rt AB3 Rt BCO=，即=，解得OC=C点坐标为-，0设直线BC的解析式为y=kx+b ,把B0, 6C