2015年高考数学模拟试卷(新课标)9

1、2021年高考数学模拟试卷(新课标)1. 以下命题中，错误的选项是(). (A) 过平面a外一点可以作无数条直线与平面a平行(B) 与同一个平面所成的角相等的两条直线必平行(C) 假设直线/垂直平面a的两条相交直线，那么直线/必垂直平面a(D) 垂直于同一个平面的两条直线平行2. 集合A = x|x2-3x+2<0, B = |x|>0,a>0 >,假设“xw A是“xwB的充分非必要条件，那么a的取值围是().(A) Ovavl (B) a>2 (C) l<n<2 (D) a>l3. 假设曲线/(x,y) = 0上存在两个不同点处的切线重合，那

2、么称这条切线为曲线的自公切线，以下方程的曲线有自公切线的是().(A) F + y-1 = 0 (B)卜Jy21 + = 0(C) x2 + y2 %|.v|-l = O (D) 3X2 xy + l = Q迪Hl ( s、4. 等差数列an的前"项和为S，向量= 仏OP； =(B)且OP = OP + “OP那么用小m. R表示“=<C)k-m(D)n 一 m5.耐 l + 3 + 5i + (2 1)n->x 3矿 + 3n + l6.关于方程$1=1的解为.3 2r-37.巳知全集(/ = R,集合P = < y|y = A,O<x<lk 那么QP

3、=.&设 xeR向量 a = (x,l)6 = (1,-2)且a丄厶，那么a + h=.9.在'ABC 中，假设 ZA = 60 ZB = 45 BC = 3屁 那么 AC=.10. 在极坐标系中，° = 2&+1(03&<2兀)与&誇的交点的极坐标为.11. 用一平面去截球所得截面的面积为3/rcnf,球心到该截面的距离为lcm,那么该 球的体积1/1812. 复数z = a + hi (a> heR ,且bO),假设疋一4加是实数，那么有序实数对(a, h)可以是.(写出一个有序实数对即可)13. 关于x的不等式ax23ax+a

4、-2<0的解集为R,那么实数d的取值围.14. 设摩夭轮逆时针方向匀速旋转，24分钟旋转一周，轮上观光箱所在圆的方程为 < + / = 1.时间2 0时，观光箱A的坐标为(扌,f )，那么当0 </<24时(单位: 分)，动点A的纵坐标y关于/的函数的单调递减区间是.Q 415. 假设不等式(x+y)(+ )16对任意正实数“、，恒成立，那么正实数a的最小值为.16. 计算机毕业考试分为理论与操作两局部，每局部考试成绩只记“合格与“不合格, 只有当两局部考试都“合格者，才颁发计算机"合格证书.甲、乙两人在理论考试4 21 5中“合格的概率依次为三、亍，在操作考

5、试中“合格的槪率依次为所有考试 是否合格，相互之间没有影响.那么甲、乙进行理论与操作两项考试后，恰有1人获得“合 格证书的慨率.17. 数列©,对任意的RwN",当n = 3k时，an = an ；当h3R时，an=n ,T那么该数列中的第10个2是该数列的第项.sinxe 0,2i,有以下4个命题：-/(x-2),xe(2,-w)任取兀、疋丘0、+8),都有|/(x1)-/(x2)|2恒成立； f (x) = 2kf (x+2k) (k e N*),对于一切 x w 0,-Ko)恒成立；函数y = /(x)-ln(x-l)有3个零点;对任意.V>0,不等式f(x)&

6、lt;-恒成立，那么实数R的取值围是2,13x|_8那么其中所有真命题的序号是.19. 如图，在体积为J亍的正三棱锥A-BCD中，长为2妇，£为棱BC的中点, 求(1) 异面直线AE与CD所成角的大小(结果用反三角函数值表示)；(2) 正三棱锥A-BCD的外表积.20. 如图，点A、B是单位圆。上的两点，点C是010与x轴的正半轴的交点，将锐角 a的终边04按逆时针方向旋转兰到0.3V(1)假设点A的坐标为l + sm2a1 +cos 2a的值;(2)用a表示BC.并求|BC|的取值国.21.为了寻找马航MH370残骸，我国“雪龙号科考船于2021年3月26日从港口。出 发，沿北偏东

7、a角的射线OZ方向航行，而在港口北偏东0角的方向上有一个给科考船补给物资的小岛AOA = 300>/13 海里,且 tana =壬,cos 0 =现指挥部需要紧急征调位于港口0正东加海里的B处的补给船，速往小岛A装上补给物资供应科 考船.该船沿BA方向全速追赶科考船，并在C处相遇.经测算当两船运行的航线与海 岸线围成的三角形OBC的面积S最小时，这种补给方案最优.0B(1) 求S关于“2的函数关系式S(m)；(2) 应征调位于港口正东多少海里处的补给船只，补给方案最优？22.设椭圆I；的中心利抛物线匚的顶点均为原点o, r】、r的焦点均在x轴上，过匚 的焦点f作直线/与r交于a、b两点.

8、在r上各取两个点将其坐标记录于 下表中：X3-24y*-2>/30-421求匚的标准方程;2假设/与匚交于C、D两点，化为I；的左焦点，求主竺的最小值；S 厶 FqCD3点P、0是匚上的两点，且OP丄O0,求证：!_= +_=为定值；反之，当OP OQ? + !=为此定值时，OP丄O0是否成立？请说明理由.0P OQ23.曲线C的方程为y2 = 4.v,过原点作斜率为1的直线和曲线C相交，另一个交点记为片，过片作斜率为2的直线与曲线C相交，另一个交点记为冬，过£作斜率 为4的直线与曲线C相交，另一个交点记为乙，如比下去，一般地，过点化作斜率为2" 的直线与曲线C相交，

9、另一个交点记为化札，设点代兀,，儿wN*1指出,并求儿+i与儿的关系式neN* ；2求y2J/?eN*的通项公式，并指出点列人，P、,匕出，向哪一点无限接近？说明理由；3令an = y2-y2n数列©的前"项和为S，设»=,求所有可能-Sn + 14 ° 的乘积bj bjQO W j <n的和.參考答案1. B解析试题分析：按顺序考察，对A,我们知道，我平面外一点有且只有一个平面与这个平面平 行，而那个平面的所有直线与与这个平面平行，故力正确；对B,如圆锥的所有母线与底 面所成的角都相等，但它们不平行，B错误，应选0. C、D是线面垂直的判定与性质

10、定 理.考点：线面平行与垂直的判定与性质.2. A解析试题分析：由题意A = x|l<x<2, 8 = xx<-2x>a,题设条件说明AqB.所以 0 Vd vl.考点：解不等式，充分必要条件.3. C解析试题分析：A中曲线方程为，=一亍+1,曲线是抛物线，没有自公切线，B中方程化简为.丫?0时，x+l' + h= 4. xSO时，+此曲线是两段劣圆弧，不存在自公切线，C中曲线如以下列图，是两个圆弧，相应的两个圆有公切线，即曲线有自公切线,解析试题分析：由题意丄=耳+巴二d,所以Pg%,片,如，只伙，学在同一条直 n2nnt kf />7线上，那么由 OP

11、 = A OPl + /hOP1 得& + “ = 1,且n = Am4-pk ,解得“= .选 C.考点：向量中三点共线的性质，向量的线性表示.15. -3解析试题分析：limZ + J+"-1+3“ + 1=lim 二=lun _r+ 3h + 1 f 3,1S+ + 7n ir考点：数列的极限.6. 2解析试题分析：原方程为2、(2'3)3 = 1,即(2x)2-3-2J-4 = 0, (2" 4)(2'+1) = 0,所以2r=4, x = 2.考点：行列式，指数方程.7. (-8,1解析试题分析：p = y|y>l = (l,+oo)

12、,所以：P = (y),1.考点：集合的运算.&y/10解析试题分析：由題意 ab = x-2 = 01 x=2, &+b = (3,1), a + b = 32 +(-1/ =.考点：向量垂直与向量的模.9. 2忑解析试题分析：由正弦定理得丄咯二竺厂即竺二=丄&】，解得AC = 2书.sin B sin 4sin 45° siii60°考点：正弦定理.10. (龙+ 1,彳)解析试题分析：由题意p= 2xf + l=兀+1,故其交点极坐标为(兀+1冷).考点：曲线的交点坐标.3211. 兀3解析试题分析：设截面圆半径为广，那么龙尸=3龙，尸=3 ,

13、球半径为R,那么/?2 = r:+J2 = 3 + l = 4t R = 2 ,所以卩= */?' = ¥龙(cm5)考点：球的截面的性质，球体积公式.12.(2,1)或满足a = 2b的任意一对非零实数对解析试题分析：Z2 -= (« + bi)2 - 4b(a + bi) = ci2 -b2 - 4ab+(2ab - 4b2 )i 是实数，那么 lab-Mr =0 ,由于0 ,故a = 2b.考点：复数的概念.13. (-£,0解析试题分析：0 = 0时，不等式为一 2<0,恒成立，当时，有< <0,A = 9cr - 4a(a -

14、2) v 0.QQ解得一一<a<0,综上有一一Vd<0.55考点：不等式恒成立问题，二次不等式的解集.14. 2.14解析试题分析：由题意，7* = 24 ,设 y = sm(曲+ 0)，那么 |- =» 又 sm(O+0) = £2?存+尹夢，,71,兀兀、0 =, 即 y = sm(/ + ),312324 + 2 </<24 + 14,取 k = 0,那么 2<r <14. 考点：三角函数的解析式与性质.15. 4解析试 题 分 析：(兀+y)(£ + *) = d + 4+色 + 叟?d + 4 + 4 苗=(&a

15、mp;+2)x yy x(7« + 2)2 >16=>«>4t 因此a 最小值为 4.考点：根本不等式.八2316. 45解析试题分析：甲合格的概率为x = »乙合格的概率是x = ,两人中恰有1人合格5 253 692 的概率是jX(l二)+(二)x2-空9丿 '57 945考点：相互独立事件有一个发生的概率.17. 39366 ( 23夕)解析试题分析：由题意，6 = 2, 4=。6=冬=2，由此可得4=2，k w N*,故第10个32应该是4屮=2,即第239项.考点：数列的通项公式与数列的项.18. ®解析试题分析：从函

16、数的定义可知f(x)hV=l ,/(x)w小=一1 ,因此|/()-/()|<1-(-1) = 2 正 确；由 定 义fa + 2k) = tf(x+2k-2) = *f(x+2k-4) = *fa+2k-2i) = . = *fa),因此 /(Q = 2*/(x+2R),错误；函数y = /(x)与，= ln(l)的图象如以下列图所求，它们有三个交点，因此方程f(x) = hi(x-l)有3个解，正确；对，由于/(|) = p(事实上从函数定义95919k萨厂帀分即%时'不等式介r不恒成立，故错误.或图象可知/极呦=/(2,1-1-1) = £因此不等式f(x) &l

17、t; 要成立，必须有缶 S.1 2加亠*2/?-k> 22】故填®.19- (1) arccosT; (2) E風解析试题分析：1此题求异面直线所成的角，根据定义要把这个角作出来，一般平移其中一条, 到与另一条相交为此，题中由于有BC的中点E,因此我们以8D中点F,就有曰那么ZAEF就是所求的角或其补角；2要求正三棱锥的外表积，必须求得斜高，由已 知体积，可以先求得棱锥的高，取ABCD的中心0,那么A0就是棱锥的高，下面只要根 据正棱锥的性质正棱锥中的直角三角形应该能求得侧棱长或斜高，有了斜高，就能求得 棱锥的侧面积了，再加上底面积，就得到外表积了.试题解析：1过点A作AO丄平

18、面BCD ,垂足为0,那么。为BCD的中心，由2:-3 AO=V3 得40 = 1 (理 1 分文 2 分)又在正三角形BCD中得OE=1,所以AE = £理2分文4分理5分文8分理6分文10分所以，异面直线AE与CD所成的角的大小为aiccosV6理7分文12分取3D中点F,连结AF、EF ,故EF CD ,所以ZAEF就是异面直线AE与CD所成的角.理4分文6分 在AAEF 中，AE = AF =迈,EF = *,所以 cos ZAEF =AE2 + EF2-AF2 _x/6 2AEEF- = 42由AE = >/2可得正三棱锥A-BCD的侧面积为13S = 3 BC AE

19、 = * 2忑忑=3來理 10 分所以正三棱锥A-BCD的外表积为S = 3>/6 + -02=3>/6 + 3>/3 .理 12 分4考点：1异面直线所成的角；2棱锥的体积与外表积.20. (1) ； (2)18解析3 4试题分析：1单位圆上点A的坐标为,根据三角函数的定义有 cosz = -,sma = -,这样我们很快可求得sin2zcos2a,也即求出上单2冬的值；2551 +cos 2aBC在卜OEC中，此三角形的两边长为1, BOC = a + -而，因此只要应用余弦定理就 3能求得BC的长，|BC=2 2cosa + j,要求其国，首先求得a + y的圉，根据

20、<z + yp-y,此时可得 cosa +彳w -£,#,那么必有 W1,2 + JT, BC 的围随之而得，|3C|wl,“+©.34试题解析：(1)由，cosa = -.sina = 一 (2分)554分8分c c24。r 7sin 2a = 2 sin a cos a = 、 cos 2a = cos* a snr a =25251 +兰6分l + sin2a 25 _ 491 +cos 2a 7 is(2)由单位圆可知:|OC| = |OB| = 1,= a +由余弦定理得：|BC= OC十OB -2OCOBcos ZCOB= 1 + 1 2cos= 2-2c

21、os a + 310 分: aw7ta + e3G12 分|BC|2g(1,2 + >/3),.-.|BC|g2丿14 分考点：1三角函数的定义与求值；2余弦定理与三角函数的围问题.21. (1) S(m)=300"m-700(/n > 700): (2) 1400.解析试题分析：1此题条件可以理解为ZBOC是固定的，点A也是不变，直线BC过点A , 要求 BOC面枳的最小值，根据条件.我们用解析法来解题，以0为坐标原点向向 为x正半轴，向北方向为y轴正半轴，建立直角坐标系，那么可得直线OZ的方程为y = 3x.点A坐标为900,600,又有点B坐标为人0.可得直线BA方

22、程它与直线OZ的交点C的坐标可解得，而SSOBC=OByct这样要求的表达式就可得；2在1根底上,S = 300/Zr ,其最小值求法，把分式的分子分母同时除以加丄，得尸黑，分母m - 700“7001_m是关于丄的二次函数，最值易求.m试题解析：1以0点为原点，正北的方向为y轴正方向建立直角坐标系，1分 那么直线 0Z 的方程为 y = 3x ,设点 A xo, yo ,那么= 30V13 sin/? = 900 ,3分4分y0 = 300>/13cos/7 = 600,即 A (900f 600),又B m, 0»那么直线AB的方程为：y =八殷0x_m,900 一 m由此

23、得到C点坐标为:200/n600/ww-700 /h-700)>6分(7 > 700)8分:,Sm) = OBxyc=300用m-1002由知S7=300F _300加一700 一 7001nr m10 分300300晋+ -700(+一爲尸+爲12 分删当知爲即心4°°时S'最小,(或令 I = m- 700 t 那么 S(m)=300/ _m- 700300(/ + 700)'7002> 840000.当且仅当m = 1400时，S加最小14 分征调加=1400海里处的船只时，补给方案最优. 考点：解析法解应用题.22.1r.：+=i,

24、 r,： y2 = 4x. ；2-；3证明见解析.43-3解析试题分析：1分析哪些点在椭圆上，哪些点在抛物线上，显然-2,0是椭圆的顶点，因 此a = 2,从而点、/了.一£是椭圆上的点，另两点生抛物线上，代入它们的标准方程可求 得其方程；2 F.AB与化CD的顶点都是壮，底在同一直线上，因此基、其面积之比这样我们只要求出直线/与两曲线相交弦长即可，直线4分理设料到直线/的距离为d,SFqCdy = kx-b与曲线/x,y = 0交于两点，其弦长为,当然由于 直线过圆锥曲线的焦点，弦长也可用焦半径公式表示;3从题意可看出，只有把|OP| ,OQ 求出来，才能得出结论，为了求OP, O

25、Q,我们可设OP方程为y = kx,那么00方程为I117y = 这样|OP|, O0都能用R表示出来，再计算一+ 可得其为定值k17反之假设我们只能设OP方程为y = k、x, 00方程为y = k、x、分别 OP 卩0 12求出OPOQt代入此式，得出k&,如果一定能得到叭=-1,那么就一定有OP丄O0,否那么就不一定有OP丄O0.1np- Icq12Fl,0是抛物线的焦点，也是椭圆的右焦点，当直线/的斜率存在时,设人 y = R(x_i),设织切)，B(x_y> C(xry3) , D(x4,y4)联立方程>0恒成一力 ，得 k2x2 -(2k2 +4)x+k2 =0

26、 ,“0 时y = k(x-l)立.AB也可用焦半径公式得：|肋| =耳+耳+ 2 =竺单5分联立方程+ 143» 得(3±4k2)x2 -Sk2x+4k2-12 = 0 9 >()恒成立.y = g l)14十“QJ=J汝严+啟呗+叭(3+4k2)23 +荻&分)4(1 + T).Sziab _ k _3 + 4L _ 1 4 4' 712(1 + F)= 3T =戸+亍>亍3 + 4/当直线/的斜率不存在时，/： x = l,SZqAb _ 4S岭 CQ 3此时.|4国=4CD = 3.所以，邑兰的最小值为勺.S伦 CD38分9分10 分11

27、73理证明：假设P、Q分别为长轴和短轴的端点，那么 一+ = OP |OQ1211 分假设P. Q都不为长轴和短轴的端点.设OP y = fcr;那么OQ:y =- + 兀.PXp,p ,灾仑联立方程V=1-解得g是'处崔Ty = kx12 分£+r=i冋理.联立方程<43竝岂_12k'121'解得“厂站刁必=站石;13 分1111Ik2+ 77-i=p=0P OQ"122k212R1212 + 12 123 + 4k + 3 + 4L3k2 + 4 + 3k2 + 47 反之，对于r;上的任意两点只q.当亠+!=上时, OP OQ 12设OP

28、:y = klx, OQ:y = k2x.易得122 _ 12 防7 徨 4灯+ 34R/+37彳予=1212 妤+ 12 12 好+12 12即8屮2? + Ik； + 6 = 7伙f好 + 好 + R2? +1亦即ktk2 =±lf 15 分716 分所以当_L_+_L_为定值_时，OP丄O0不成立 op- OQ- 12“反之的方法二：如果有OP丄O0,且O0不在坐标轴上，作O0关于坐标轴对称的射 线与r；交于0, OQ = OQt显然，OP丄O0与OP丄O0不可能同时成立.考点：1椭圆、抛物线的标准方程；2直线与圆锥曲线相交弦长问题；3直线与圆锥 曲线的综合问题.23.1畑+ 儿=4 $；2儿】 = £+扌扩心2,罟,詈;342rt+3-5.4n+:+1645解析试题分析：1由于kppj2，点出，鬥比又都是拋物线上的点，代入进去变形可得到儿 与儿札的关系为儿“ +儿=4*；2由于只要求数列儿的奇数项，因此把1中得 到的关系式中分别为2一