2005年全国硕士研究生入学考试数学三真题解析

1、2005年全国硕士研究生入学考试数学三真题解析一、填空题(此题共6小题，每题4分，总分值24分.把答案填在题中横线上)2x(1) 极限 lim xsin p =2 .x +1【分析】此题属基此题型，直接用无穷小量的等价代换进行计算即可【详解】l i mxsi n=lim x22.x?： x 1 X: x 1(2) 微分方程xy-y=0满足初始条件y(1)=2的特解为 xy = 2.【分析】直接积分即可.【详解】 原方程可化为(xy) 0，积分得 xy = C，代入初始条件得C=2，故所求特解为 xy=2.(3) 设二元函数 z = xex刊 + (x+1) In(1 + y)，那么 dz 仆)

2、=2edx+(e + 2)dy【分析】 基此题型，直接套用相应的公式即可.【详解】三=ex内+xex旳十I n + y),dx-：Zx y x 1xe,:y1 y于是 dz = 2edx + (e+ 2)dy .(1,0) ' 3(4)设行向量组(2,1,1,1)，(2,1,a,a)，(3,2,1,a)，(4,3,2,1)线性相关，且 a = 1，那么1a= 2【分析】 四个4维向量线性相关，必有其对应行列式为零，由此即可确定a.【详解】由题设，有2 12 13 24 31 1a a1 a2 1=(a -1)(2a -1) =0，得 a =1,a 二扌，但题设(5)从数1,2,3,4中

3、任取一个数，记为 X,再从1,2/ ,X中任取一个数，记为Y,那么PY =2=1348【分析】 此题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式，且第一次试验的各种两两互不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分【详解】PY =2 = PX =1PY =2X =1 + PX =?PY = 2X =2+ PX =3PY = 2X = 3+ PX = 4PY = 2X = 4(0-1.11)2341348(6)设二维随机变量(X,Y)的概率分布为1000.4a1b0.1,b= 0.1随机事件X =0与X Y =1相互独立，那么a= 0.4【分析】 首先所有概率求和为1，可得a+b=0.5,其次，利用事件的

4、独立性又可得一等式，由此可确定a,b的取值.【详解】 由题设，知 a+b=0.5又事件X =0与X Y =1相互独立，于是有PX =0, X Y =1 =PX =0PX Y =1，即 a=(0.4 a)(a b),由此可解得a=0.4, b=0.1二、选择题(此题共8小题，每题4分，总分值32分.每题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)32(7)当a取以下哪个值时，函数f(x)=2x -9x ，12x-a恰好有两个不同的零点(A) 2.(B)4.(C)6.(D)8. B 【分析】 先求出可能极值点，再利用单调性与极值画出函数对应简单图形进行分析， 当恰好

5、有一个极值为零时，函数f(x)恰好有两个不同的零点.【详解】 f (x)二6x2 -18x 12= 6(x1)(x -2)，知可能极值点为x=1,x=2，且f (1) = 5 -a, f (2) = 4 - a，可见当a=4时，函数f(x)恰好有两个零点， 故应选(B).(8)设 J 二 cos x2 y2d；，|2 ： 11 cos(x2y2)d二，l3 ： !cos(x2y2)2d二,DDD其中 D =( x, y) x2 + y2 兰 1，那么(A) I 3 2 1 .(B) 丨1 ，丨2 T3.【分析】 关键在于比拟.x2 y2x2y2与(x2 y2)2在区域2 2D=(x,y)x +

6、y兰1上的大小.【详解】在区域D =( x, y)2 2 2 2x y < 1上，有0空x y < 1，从而有-1x2 y2 _x2 y2_(x2 y2)2_0由于cosx在上为单调减函数，于是20 二cos x2 y2 < co s( y2)乞 co sx2 y2)2因此JJcosx2 + y2db < JJcos(x2 + y2)db c JJcos(x2 + y2)2db，故应选(A).DDDoOoC(9)设an0, n =1,2,，假设an发散，(-1)nan收敛，那么以下结论正确的选项是n=1n=1QOQOoOCO(A)7 a?n二收敛，二：a2n发散( B)

7、 V a2n 收敛，a2n J发散n =4nWn TQOod(C)(a2nV ' a2n)收敛(D)、心2.a2n)收敛D n生nA【分析】可通过反例用排除法找到正确答案1 oOoO【详解】取an二一，那么V an发散，' (-1)njan收敛,nn £n 占QOQOQO但V a?n4与v a2n均发散，排除(A),(B)选项，且心2.a?n )发散，进一步排除n=1n=1n £QO(C) ,故应选(D).事实上，级数 V (a2n-a2n)的局部和数列极限存在n =1(10)设f(x) =xsin x cosx,以下命题中正确的选项是(A) f(0)是极大

8、值，f()是极小值.2(C)f(0)是极大值，f()也是极大值.2Ji(B) f(0)是极小值，f ()是极大值.2jt(D) f(0)是极小值，f()也是极小值.2B 【分析】 先求出f (x), f (x)，再用取极值的充分条件判断即可【详解】f(x)=sinx+xcosxsin x = xcosx，显然 f"(0)=0 f "()= 0，2又 f (x) =c o x - xs i rx，且 f (0) = 10, f ( )0，故 f(°)是极小值,2 2冗f ()是极大值，应选(B).2(11)以下四个命题中，正确的选项是(A)假设f(X)在(0, 1)

9、内连续，贝U f(x)在(0,1)内有界.(B) 假设f (x)在(0，1)内连续，贝U f(x)在(0，1)内有界.(C) 假设f(X)在(0, 1)内有界，贝U f(x)在(0, 1)内有界.(D) 假设f (x)在(0, 1)内有界，那么f(X)在(0, 1)内有界 C 【分析】通过反例用排除法找到正确答案即可11【详解】设f(x)=，那么f(x)及f (x)2均在(0，1)内连续，但f(x)在(0, 1)xxB_1内无界，排除(A)、(B)；又f(x) = x在(0, 1)内有界，但f(X)：在(0, 1)内2*'x无界，排除(D).故应选(C).(12)设矩阵A= j)3 3

10、满足A = AT，其中A是A的伴随矩阵，AT为A的转置矩阵假设an,a12,a13为三个相等的正数，那么a为(31厂(A)(B)3.(C)-.(D),3. A 3 3【分析】 题设与A的伴随矩阵有关，一般联想到用行列展开定理和相应公式：AA* 二 A*A = AE.* * *【详解】由A = A及AA = A A = |AE ,有a = Aj，i，j = 1,2,3,其中Aj为aq的23代数余子式，且AAT=AEn A =|A n|A=0或A =1故正确选项3：'1/' 2，那么 >1 ,而|A -anAn'O12A12a3Ai3二 3a 121- 0,于是 A

11、=1 ,且a11为(A).(13)设'1,、2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为A(1 2 )线性无关的充分必要条件是(A)=0.(B)2=0.(C) =0.(D)2=0.【分析】讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可【详解】方法一：令k/kzAG、2) =0，那么由于1,2线性无关，于是有k +k2 九=0, k2>-2 =0.当2=0时，显然有& =0, k? =0，此时, AC i叱2线性无关；反过来,假设r , A“ 心2线性无关，那么必然有2=0,否那么，一:冷与A_：冷卜篇2= '冷线性相关, 故应选B.方法二：由于%,

12、理旳 +a2 =%，鮎8 + ¥-2G2 =,02 I 、1，可见：1， A1卜二2线性无关的充要条件是二2=0.故应选D.11(B)(20- 如(16),20 S(16).4411(20- t°.1(15),20t°.1(15).44C 2 214设一批零件的长度服从正态分布NJ,二，其中，二 均未知.现从中随机抽取16个零件，测得样本均值 x二20cm，样本标准差s =1cm，那么的置信度为 0.90的置信区间是11(A)(20 -：t 0.050.05 (16).4 411(C)(200.05 (15).(D)44【分析】 总体方差未知，求期望的区间估计，用

13、统计量:xt(n_ 1).【详解】由正态总体抽样分布的性质知， tn -1，故的置信度为0.90的、 - 1 置信区间是(x t-.(n -1),x 'Jn 21 11仁(n 1)，即(20-一鮎.05(15),20 鮎心。5).故、n 244应选C.三、解答题此题共9小题,15此题总分值8分1 + x 1求lim 丄三-丄.X0 1 - e x【分析】-:"型未定式,总分值94分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.,x1【详解】lim( x ) x) 1 ex一般先通分，再用罗必塔法那么x+x2_1+ep=limxx 50x1 -e 所以16此题总分值8分设fu具有二

14、阶连续导数，且【分析】【详解】先求出二阶偏导数,由条件可得g =；x.x2:yr2g-2y-2二 g_y_2 x2y3 x丄2彳丄一xx + x 1 +e=lim厂x刃x2=加2xJ02x= lim 2 ex p 2g(x, y)=f丄yfr，求x y再代入相应表达式即可2f C)珞 f (xx x y-22: g -y -x17此题总分值x9 分)f (-)y2x+ y y2x3y2 .：2gf 2:Xf0f C)x-心.y二(x, y)0 乞 x E 1,0 乞 y 乞 1 Ux2+y2D被积函数含有绝对值,计算二重积分【分析】分即可.应当作分区域函数看待，利用积分的可加性分区域积【详解】

15、记 D1 =( x, y) x2 y2 乞 1,(x, y) D，2D2 =( x, y)xy2 i,(x,y) D，是x y -1d二二 (x y - 1)dxdy 亠 ii(x y -1)dxdyDiD2兀1= -0 (r2 _1)rdr 亠 1 i(x2y2-1)dxdy ! (x2y2-1)dxdyDDi二+ 'dx '(x280 o'2 - 1y -1)dy - mJT 1-1)rdr =4318此题总分值9分00 1求幕级数一11x2n在区间-1,1内的和函数ni 2n +1S(x).【分析】幕级数求和函数一般采用逐项求导或逐项积分, 幕级数展开式，【详解】

16、转化为几何级数或函数的从而到达求和的目的设1S(x)(2TT1)x2n，旳 1'Wk"O0S2 (x)七'2nx ，n 4S(x) = S,(x) -S2(x)，x(-1,1).由于QOS2(x)八 x2nn =1QO(xS (x)八 xn=12n2 ,x (-1,1), -x因此xSMx) = 0dt1 -t2丄4，21 -x又由于1 , 1 xIn2x 1 -x0,X £1,X = 0.所以S(x) = 3(x) - S2(x)二Fln1xI 0,19此题总分值8分设 f(x),g(x)在0,1上的导数连续，且 f(0)=0, f (x) _ 0 , g

17、 (x) _ 0 .证明：对任何 a 0,1,有a10g(x)f (x)dx(x)g(x)dx_f(a)g(1).【分析】可用参数变易法转化为函数不等式证明，或根据被积函数的形式，通过分部积分讨论.【详解】方法一：设x1F(x) = 0 g(t)f (t)dt 0 f(t)g (t)dt - f (x)g(1)，那么F(x)在0，1上的导数连续，并且F (x)二 g(x)f (x)- f (x)g(1) = f (x)g(x) - g(1)，由于x 0,1时，f (x) _0,g (x) _ 0，因此F (x)乞0，即F(x)在0，1上单调递减.注意到1 1F(1)0g(t)f (t)dt &

18、#176;f(t)g (t)dt-f(1)g (1)，1 1 1 1而 0 g(t)(t)dt = 0 g(t)df (tg(t)f(t) 0 f(t)gt)dt1= f(1)g(1)- .0f(t)g (t)dt，故 F(1)=0.因此X 0,1时，F (x) 一 0 ,由此可得对任何a 0,1，有a10g(x)f (x)dx 0f(x)g(x)dxf(a)g(1).方法a a0- 0 f(x)g (x)dxa0 g(x)f (x)dx = g(x)f(x)a=f (a)g(a) - 0 f (x)g (x)dx，a10g(x)f (x)dx 0f(x)g (x)dxa1=f (a)g(a)

19、 - 0 f (x)g (x)dx 0 f(x)g (x)dx1f (a)g(a) a f (x)g (x)dx.由于0,1时，g (x) 一0,因此f (x)g (x) 一 f (a)g (x)，x a,1，1 10 f (x)g (x)dx 一 0 f (a)g (x)d f (a)g(1) - g(a)，从而a10 g(x) f lx)dx+ 10 f (x)g'(x)dx-f(a)g(a) f (a)g(1) - g(a)二 f(a)g(1).(20) (此题总分值13分) 齐次线性方程组| x1 2x2 3x3 二 0,(i) 2x-i 3x2 5x3 = 0, x1 x2

20、ax3 二 0,和Xi +bx2 +CX3 =0,(ii )丿22x<| +b x2 +(c+1)x3 = 0,同解，求a,b, c的值.【分析】 方程组ii显然有无穷多解，于是方程组i也有无穷多解，从而可确定a,这样先求出i的通解，再代入方程组ii确定b,c即可.ii有无穷多解【详解】方程组ii的未知量个数大于方程个数，故方程组方程组因为方程组门与ii同解，所以方程组i的系数矩阵的秩小于3.对方程组i的系数矩阵施以初等行变换31 _1从而a=2.此时，方程组的系数矩阵可化为1 231012 35 t011112一.000一故-1,-1,1丁是方程组i的一个根底解系将 - -1,x2 -

21、 -1, x3 =1代入方程组ii可得b = 1, c = 2 或 b = 0, c = 1.当b =1,c =2时，对方程组ii的系数矩阵施以初等行变换，有显然此时方程组i 与ii同解.当b =0,c =1时，对方程组ii的系数矩阵施以初等行变换，有；101；101【202一卫00一显然此时方程组i 与ii的解不相同综上所述，当a=2,b=1,c=2时，方程组门与ii同解21此题总分值13分A c设D=| T为正定矩阵，其中 A,B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为m江n矩阵.CTB 一I计算ptdp，其中PEo-AJCEnII利用I的结果判断矩阵B _CtAC是否为正定矩阵，并证明你的结论【分

22、析】第一局部直接利用分块矩阵的乘法即可；第二局部是讨论抽象矩阵的正定性,般用定义【详解】1因PTEm= !-CtAaolEn 一，有rT fEmol_ACEm A廿P DP = | T-ctaEn 一CTB_打En 一_AC1,Em一-AC 1o B_CTa4c_En -Ao1o B-CtA°CII矩阵B -CtAC是正定矩阵由I的结果可知，矩阵D合同于矩阵A oMT4|to B-CtA，C又D为正定矩阵，可知矩阵M为正定矩阵.因矩阵M为对称矩阵，故B-CtA'C为对称矩阵.对X =0,0，,0T及任意的丫 =(%,y2, ,yn)T = 0，有(XT,YT)AoB -CtA

23、C八丫-Yt(CtA4C)Y 0.故 b-cta*c 为正定矩阵22此题总分值13分设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f (x, y)4 0 < x £ 1,0 < y V 2x, ：0,其他.求：(I)(x,y)的边缘概率密度fX (x), fY(y);(II) Z =2X -Y 的概率密度 fz(z).(III ) PY 岂 1 X 岂丄.2 2【分析】 求边缘概率密度直接用公式即可；而求二维随机变量函数的概率密度，一般用分布函数法，即先用定义求出分布函数，再求导得到相应的概率密度；直接用条件概率公式计算即可.【详解】(I)关于X的边缘概率密度 2x尹dv 0 丈 x <1,fx(xX 打f(X,y)dy 屮 J 其他.2x, 0 £ X £1,：0,其他.关于Y的边缘概率密度1七c|ydx,0 c y c 2,fY(y)M f (x,y)dx 2甘他 0其他.1 _ A 0 ： y ： 2, .02'其他.(II)令 FZ(z)二 PZ 乞 z二 P2X -Y < z,1)当 z ：0时，FZ(z)二 P2X -丫 z =0 ;2) 当 0Ez：2 时，Fz(z)二 P2X -丫 乞 z1 2=Z - z ;43) 当 z2 时，FZ(z