二次函数与几何综合压轴题题型归纳

1、教师:学生： 科目:课题函数的综合压轴题型归类教学目标1、要学会利用特殊图形的性质去分析二次函数与特殊图形的关系2、掌握特殊图形面积的各种求法重点、难点1、利用图形的性质找点2、分解图形求面积教学内容一、二次函数和特殊多边形形状二、二次函数和特殊多边形面积三、函数动点引起的最值问题四、常考点汇总4、二次函数与X轴的交点为整数点问题。方法同上例：假设抛物线y mx2 3m 1 x 3与x轴交于两个不同的整数点，且 m为正整数，试确定此抛物线的解析式。5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下：关于x的方程mx2 3m 1x 2m 30 m为实数，求证：无论 m为何值，方程

2、总有一个固定的根。解：当m 0时，x 1 ；23 m 1、小 3,当 m 0 时，m3 0， x，为 2、X2 1 ；2mm6、函数过固定点问题，举例如下：抛物线y x2 mx m 2 定的点，并求出固定点的坐标。解：把原解析式变形为关于 m的方亍2 y x2 0，解得：y1 x 0x抛物线总经过一个固定的点1,题目要求等价于：关于 m的方程综上所述：无论 m为何值，方程总有一个固定的根是1。m是常数，求证：不管 m为何值，该抛物线总经过一个固呈 y x22 m 1 x ；1 ；11 °y x22 m 1 x不管m为何值，方程恒成立小结：关于x的方程ax b有无数解7、路径最值问题(

3、待定的点所在的直线就是对称轴)(1) 如图，直线h、丨2，点A在丨2上，分别在li、丨2上确定两点M、N，使得AM MN之 和最小。三角形的面积求解常用方法：如右图,S PAEF1/2 PM- x=1/2 AN- y(2) 如图，直线丨1、丨2相交，两个固定点 A、B，分别在丨1、丨2上确定两点 M、N，使得BM MN AN之和最小。6(3) 如图，A、B是直线I同旁的两个定点，线段 a，在直线I上确定两点E、F ( E在F的&在平面直角坐标系中求面积的方法：直接用公式、割补法9、函数的交点问题:一次函数(y ax2+ bx+ c)与一次函数(y kx+ h )(1 )解方程组y ax

4、 + bx+ C可求出两个图象交点的坐标。 ykx+ h(2 )解方程组y ax + bx+ C，即ax2+ b-k x + c h 0 ,通过 可判断两个图象的交点y kx+ h的个数有两个交点 仅有一个交点 没有交点> 00v 010、方程法(1) 设：设主动点的坐标或根本线段的长度(2 )表示：用含同一未知数的式子表示其他相关的数量(3 )列方程或关系式11、几何分析法例题精讲特别是构造“平行四边形、“梯形、“相似三角形、“直角三角形、“等腰三角形等图形时,利用几何分析法能给解题带来方便。几何要求几何分析涉与公式应用图形跟平行有关的图形平移11 / 12 k1 k2、k辿X1X2平

5、行四边形矩形梯形跟直角有关的图形勾股定理逆定理 利用相似、全等、平 行、对顶角、互余、 互补等._ 2 2ab v yA yxa xb直角三角形 直角梯形 矩形跟线段有关的图形利用几何中的全等、 中垂线的性质等。A / 2 2AB 7 yA yXa Xb等腰三角形全等 等腰梯形跟角有关的图 形利用相似、全等、平 行、对顶角、互余、 互补等一根底构图：y=x2 2x 3 (以下几种分类的函数解析式就是这个)和最小，差最大在对称轴上找一点 P,使得PB+PC勺和最小，求出 P点坐标在对称轴上找一点 P,使得PB-PC的差最大，求出 P点坐标求面积最大连接AC,在第四象限找一点 P,使得 ACP面积

6、最大，求出P坐标 讨论直角三角 连接AC,在对称轴上找一点 P,使得 ACP为直角三角形, 求出P坐标或者在抛物线上求点 巳使厶ACP是以AC为直角边的直角三角形.讨论等腰三角连接AC,在对称轴上找一点 P,使得 ACP为等腰三角形,求出P坐标 讨论平行四边形 1、点E在抛物线的对称轴上，点 F在抛物线上, 且以B,代F, E四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F的坐标二综合题型例1 (中考变式)如图，抛物线y X2 bx c与x轴交与A(1,0),B(-3 , 0)两点，顶点为D 交Y轴于C(1) 求该抛物线的解析式与厶 ABC的面积。 在抛物线第二象限图象上是否存在一点M使厶MBC是以/

7、BCM为直角的直角三角形，假设存在,求出点P的坐标。假设没有，请说明理由 假设E为抛物线B、C两点间图象上的一个动点 不与A B重合，过E作EF与X轴垂直，交BC 于F,设E点横坐标为x.EF的长度为L，求L关于X的函数关系式？关写出 X的取值范围？当E点运动到什么位置时，线段EF的值最大，并求此时 E点的坐标？在5的情况下直线 BC与抛物线的对称轴交于点 Ho当E点运动到什么位置时，以点E、F、H D为顶点的四边形为平行四边形？5在5的情况下点E运动到什么位置时，使三角形BCE的面积最大?例2 考点： 关于面积最值如图，在平面直角坐标系中，点 A C的坐标分别为(一1,0)、(0, .3)，

8、点B在x轴上.某二 次函数的图象经过 A B C三点，且它的对称轴为直线 x = 1,点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点(点 P与B、C不重合)，过点P作y轴的平行线交 BC于点F.(1) 求该二次函数的解析式；(2) 假设设点P的横坐标为 m试用含m的代数式表示线段 PF的长;(3) 求厶PBC面积的最大值，并求此时点P的坐标.考点：讨论等腰1 2如图，抛物线 y= - x + bx+ c与y轴相交于C,与x2点C的坐标为(0，1).(1) 求抛物线的解析式；(2) 点E是线段AC上一动点，过点 E作DEL x轴于点D, 的坐标；(3) 在直线BC上是否存在一点明理由.轴相交于A

9、B,点A的坐标为(2, 0),连结DC当厶DCE勺面积最大时，求点 DP,例4考点：讨论直角三角如图，点 A ( 1, 0)和点B (1 , 2),在坐标轴上确定点P,使得 ABP为直角三角形，那么满足这样条件的点P共有()2/1A 0I1(A) 2个 (B) 4个(C)6 个(D) 7个11 2+ c的图象与一次函数y=丄x+ 1的图象交于 B、C两点，与x轴交于D E两点且D点坐标为(1，2：如图一次函数y= x +1的图象与x轴交于点 代与y轴交于点B；二次函数y= x + bx220)(1) 求二次函数的解析式；(2) 求四边形 BDEC勺面积S；(3) 在x轴上是否存在点 P,使得

10、PBC是以P为直角顶点的直角三角形？假设存在，求出所有的点P,假设不存在，请说明理由.例5考点：讨论四边形2：如下列图，关于 x的抛物线y = ax + x+ c (0)与x轴交于点A(-2, 0),点B (6, 0),与y轴交于点C(1) 求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；(2) 在抛物线上有一点 D,使四边形ABDC为等腰梯形，写出点 D的坐标，并求出直线 AD的解 析式；(3) 在(2)中的直线AD交抛物线的对称轴于点 M抛物线上有一动点 P, x轴上有一动点 Q.是 否存在以AMP、Q为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存 在，请说明理由.综合练习：|1、|平

11、面直角坐标系 xOy中，抛物线y ax2 4ax 4a c与x轴交于点 A点B，与y轴的正半轴交于点C点 A的坐标为(1,0)，OB= OC抛物线的顶点为 Do(1) 求此抛物线的解析式；(2) 假设此抛物线的对称轴上的点 P满足/ APB=Z ACB求点P的坐标；(3) Q为线段BD上一点，点 A关于/ AQB勺平分线的对称点为 A，假设QA QB 2，求点Q的坐 标和此时厶QAA的面积。2、在平面直角坐标系 xOy中，二次函数y ax2+2ax c的图像与y轴交于点C 0,3，与x 轴交于A、B两点，点B的坐标为3,0。(1) 求二次函数的解析式与顶点 D的坐标；(2) 点M是第二象限内抛

12、物线上的一动点，假设直线0曲巴四边形ACD盼成面积为1 : 2的两部 分，求出此时点 M的坐标；(3) 点P是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P在何处时厶CPB的面积最大？最大面积 是多少？并求出此时点 P的坐标。3、如图，在平面直角坐标系 且对称轴与x轴交于点C。2 2xOy中，抛物线yx 2x与x轴负半轴交于点 A，顶点为B，m(1) 求点B的坐标(用含 m的代数式表示)；(2) D为0B中点，直线AD交y轴于E，假设E ( 0, 2),求抛物线的解析式；(3) 在(2)的条件下，点 M在直线0B上，且使得 AMC的周长最小，P在抛物线上，Q在直线BC上，假设以A、M、P、Q为顶点的四边

13、形是平行四边形，求点P的坐标。4、关于x的方程(1 m)x2(4 m)x 30。(1) 假设方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；(2) 假设正整数m满足8 2m 2，设二次函数 y (1 m)x2(4 m)x 3的图象与x轴交于A、B两点，将此图象在 x轴下方的局部沿 x轴翻折，图象的其余局部保持不变，得到一 个新的图象；请你结合这个新的图象答复： 当直线y kx 3与此图象恰好有三个公共点时， 求出k的值(只需要求出两个满足题意的 k值即可)。V186424HiL-:|!il1-4-2 024-625如图，抛物线 y=ax +2ax+c (0)与y轴交于点 C (0, 4),与x轴交于

14、点 A (- 4, 0)和B.(1) 求该抛物线的解析式；(2) 点Q是线段AB上的动点，过点 Q作QEI AC交BC于点E,连接CQ当厶CEQ的面积最大时， 求点Q的坐标；(3) 平行于x轴的动直线I与该抛物线交于点 P,与直线AC交于点F,点D的坐标为(-2, 0) 问 是否有直线I，使 ODF是等腰三角形？假设存在，请求出点F的坐标；假设不存在，请说 明理由.三、中考二次函数代数型综合题题型一、抛物线与 x轴的两个交点分别位于某定点的两侧2例1.二次函数 y = x + (m- 1)x+ m-2的图象与x轴相交于 A (xi, 0), B(X2, 0)两点，且xiV X2.(1) 假设x

15、iX2< 0,且m为正整数，求该二次函数的表达式；(2) 假设xiV 1, X2> 1，求m的取值范围；(3) 是否存在实数 m使得过 A B两点的圆与y轴相切于点C(0, 2),假设存在，求出 m的值；假设 不存在，请说明理由；1MD 1(4) 假设过点D(0,夕 的直线与(1)中的二次函数图象相交于M N两点，且DN= 3，求该直线的 表达式.题型二、抛物线与x轴两交点之间的距离问题2例2二次函数y= x +mx+m-5(1) 求证：不管 m取何值时，抛物线总与 x轴有两个交点；(2) 求当m取何值时，抛物线与 x轴两交点之间的距离最短.题型三、抛物线方程的整数解问题例1.抛物

16、线y x2 2(m 1)x m2 0与x轴的两个交点的横坐标均为整数，且mv 5,那么整数m的值为2例2.二次函数 y= x 2m灶4m- 8.(1) 当xw 2时，函数值y随x的增大而减小，求 m的取值范围；2(2) 以抛物线y = x 2mx 4n 8的顶点A为一个顶点作该抛物线的内接正AMN (M N两点在拋物线上)，请问： AMN勺面积是与 m无关的定值吗？假设是，请求出这个定值；假设不是, 由；2(3)假设抛物线y = x 2m灶4m- 8与x轴交点的横坐标均为整数,求整数m的值.题型四、抛物线与对称，包括：点与点关于原点对称、抛物线的对称性、数形结合 例1.抛物线y x2 .二次函

17、数 y = x + mx- m+ 2. bx c (其中b>0, cm0)与y轴的交点为 A,点A关于抛物线对称轴的对 称点为B(m n)，且AB=2.求mb的值 如果抛物线的顶点位于 x轴的下方，且B(= 20。求抛物线所对应的函数关系式(友情提醒：请 画图思考)题型五、抛物线中韦达定理的广泛应用(线段长、定点两侧、点点关于原点对称、等等)_ 2例1：二次函数 y x 4x m的图象与x轴交于不同的两点 A (捲,0)、B( x2, 0) ( Xi vX2),其顶点是点 C,对称轴与x轴的交于点D.(1) 求实数m的取值范围；(2) 如果(x1+1) ( x2+1) =8，求二次函数的

18、解析式；(3) 把(2)中所得的二次函数的图象沿y轴上下平移，如果平移后的函数图象与x轴交于点A,、B1，顶点为点C1，且 ABG是等边三角形，求平移后所得图象的函数解析式.综合提升1. 二次函数的图象与 x轴交于A, B两点，与y轴交于点C( 0, 4),且|AB = 2 ,3，图象的对 称轴为x = 1.(1 )求二次函数的表达式；(2) 假设二次函数的图象都在直线y = x+m的下方，求 m的取值范围.(1) 假设该二次函数图象与(2) 设该二次函数图象与x轴的两个交点 A B分别在原点的两侧，并且 AB= 5,求m的值；y轴的交点为C,二次函数图象上存在关于原点对称的两点M N,且&a

19、mp;mnc=27,求m的值.2 23. 关于x的一元二次方程x 2(k+ 1)x + k = 0有两个整数根，kv5且k为整数.(1 )求k的值；2 2(2) 当此方程有两个非零的整数根时，将关于 x的二次函数y = x 2(k+ 1)x + k的图象沿x轴向左平移4个单位，求平移后的二次函数图象的解析式；(3) 根据直线y = x+ b与(2)中的两个函数图象交点的总个数，求b的取值范围.4. 二次函数的图象经过点 A (1, 0)和点B (2, 1)，且与y轴交点的纵坐标为 m (1 )假设m为定值，求此二次函数的解析式；(2) 假设二次函数的图象与 x轴还有异于点 A的另一个交点，求

20、m的取值范围；(3) 假设二次函数的图象截直线 y = x+ 1所得线段的长为2 2，求m的值.四、中考二次函数定值问题1. (2021江西南昌8分)如图，二次函数 L仁y=x2- 4x+3与x轴交于A. B两点(点 A在点B 左边)，与y轴交于点C.(1) 写出二次函数 L1的开口方向、对称轴和顶点坐标；(2) 研究二次函数 L2： y=kx - 4kx+3k (k0).写出二次函数 L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；假设直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否发生变化？如果不会，请求出 EF 的长度；如果会，请说明理由.2. ( 2021山东潍坊11分)如图，抛物线与坐标轴分别交于 A( 2, 0)、B(2 , 0)、C(0, I) 三点，过坐标原点 O的直线y=kx与抛物线交于 M N两点.分别过点 C D(0, 2)作平行于x轴的 直线h、l2 .(1) 求抛物线对应二次