二面角练习课

1、二面角练习课教学目标1 使学生进一步掌握好二面角及二面角的平面角的概念；2使学生掌握求二面角平面角的根本方法，不断提高分析问题和解决问题 的能力.教学重点和难点重点：使学生能够作出二面角的平面角；难点：根据题目的条件，作出二面角的平面角.教学设计过程重温二面角的平面角的定义.本节课设计的出发点：空间图形的位置关系是立体几何的重要内容.解决立体几何问题的关键在于做好：定性分析，定位作图，定量计算，其中定性是定 位、定量的根底，而定量那么是定位，定性的深化.在面面关系中，二面角是其中 的重要概念之一，它的度量归结为平面上角的度量， 一般说来，对其平面角的定 位是问题解决的关键一步.可是学生往往把握

2、不住其定位的根本思路而导致思维 混乱，甚至错误地定位，使问题的解决徒劳无益.这正是本节课要解决的问题.教师：二面角是怎样定义的？学生：从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角.教师：二面角的平面角是怎样定义的？学生：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条 射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.教师：请同学们看以下图.如图1： a , B是由I出发的两个半平面，0是I上任意一点，OC a,且 OCLI ； OD B,且ODLI 这就是二面角的平面角的环境背景，即/ COD是二 面角a -I- B的平面角.从中我们可以得到以下特征：1过棱上任意一点，其平面角是唯

3、一的；2其平面角所在平面与其两个半平面均垂直；另外，如果在OC上任取一点A,作AB丄OD垂足为B,那么由特征2可 知AB丄B .突出I ， OC OD AB,这便是另一特征.3表达出一完整的三垂线定理或逆定理的环境背影.教师：请同学们对以上特征进行剖析.学生：由于二面角的平面角是由一点和两条射线构成， 所以二面角的定位可 化归为“定点或“定线的问题.教师：特征1说明，其平面角的定位可先在棱上取一 “点.耐人寻味 的是这一点可以随便取，但又总是不随便取定的，它必须与问题背影互相沟通， 给计算提供方便.上面的引入力争符合练习课教学的特点. 练习是形成技能的重要途径，练 习课主要是训练学生良好的数学

4、技能， 同时伴随着稳固知识，开展智能和培育情 感.特别要注意做到第一，知识的激活.激活知识有两个目的，一是突出了知识 中的重要因素；二是强化知识中的根本要素.第二，思维的调理.练习课成功的 关键在于对学生思维激发的程度.学生跃跃欲试正是思维准备较好的表达.因此， 准备阶段安排一些调理思维的习题，确保学生思维的启动和运作.请看下面两道 例题.例 1 ：如图 2,四面体 V-ABC中，VA=VB=VC=aAB=BC=CA=bVHL面 ABC垂足为H,求侧面与底面所成的角的大小.分析：由条件可知，顶点V在底面ABC上的射影H是底面的中心，所以 连结CH交AB于O,且OCL AB由三垂线定理可知，VO

5、L AB那么/ VOC为侧面与底面所成二面角的平面角.图2團3正因为此四面体的特性，解决此问题，可以取 AB的中点0为其平面角的顶 点，而且使得题设背影突出在面 VOC上，给进一步定量创造了得天独厚的条件.特征2指出，如果二面角a -l- B的棱I垂直某一平面丫，那么I必垂直 丫与a，B的交线，而交线所成的角就是a -I- B的平面角如图3由此可见，二面角的平面角的定位可以考虑找“垂平面.例2 矩形ABCD AB=3 BC=4沿对角线BD把 ABD折起，使点A在平面 BCD1的射影A'落在BC上，求二面角A-BD-C的大小的余弦值.團4D图5这是一道由平面图形折叠成立体图形的问题， 解

6、决问题的关键在于搞清折叠 前后的“变与“不变.如果在平面图形中过 A作ALL BD交BD于 O交BC于 E,那么折叠后OA 0E 与BD的垂直关系不变.但0A与0E此时变成相交两线并确定一平面，此平面必 与棱垂直.由特征2可知，面AOE与面ABD面CBD勺交线0A与0E所成的角，即 为所求二面角的平面角.另外，A在面BCD上的射影必在0E所在的直线上，又题设射影落在 BC上, 所以E点就是A',这样的定位给下面的定量提供了可能.AB * AD 3 x4 15略解：A0 = =, OA; = OE =BO tgZCBD,BD j j而BO二菩岭tgZCBD壬故02寻在 Rt AA O中，

7、/ AA 0=90 ,An1 Q所以血AO"喘话即所求的二面角A-BW的大小的余弦值为舊lb通过对例2的定性分析、定位作图和定量计算，特征2从另一角度告诉 我们：要确定二面角的平面角，我们可以把构成二面角的两个半平面“摆平， 然后，在棱上选取一适当的垂线段，即可确定其平面角.“平面图形与“立体图形相映生辉，不仅便于定性、定位，更利于定量.图6特征3显示，如果二面角a -l- B的两个半平面之一，存在垂线段 AB 那么过垂足B作I的垂线交I于0,连结A0由三垂线定理可知OAL l ;或者由 A作I的垂线交I于0,连结0B由三垂线定理的逆定理可知 OBLI .此时，/ AOB就是二面角a

8、 -I- B的平面角如图6由此可见，二面角的平面角的定位可以找“垂线段.课堂练习1 .在正方体ABCD-/BCD中，棱长为2, E为BC的中点，求面BDE与面BBCC 所成的二面角的大小的正切值.IBiB练习1的环境背景说明，面BDE与面BBCC构成两个二面角，由特征2 可知，这两个二面角的大小必定互补.为创造一完整的三垂线定理的环境背景，线段 CD会让我们眼睛一亮，我们 只须由C 或D作BE的垂线交BE于0,然后连结0D 或0C即得面DBE 与面CCBE所成二面角的平面角/ C0D,如图7,我们移出平面如图8.计算可得CQ二苹在Rt/XpCQ中，= M2将棱长为a的正四面体的一个面与棱长为a

9、的正四棱锥的一个侧面吻合， 那么吻合后的几何体呈现几个面？分析：这道题，考生答“ 7个面的占99.9 %，少数应服从多数吗？从例题中三个特征提供的思路在解决问题时各具特色，它们的目标分别是找点、“垂面、“垂线段 事实上，我们只要找到其中一个，另两个就接 踵而来掌握这种关系对提高解题技能和培养空间想象能力非常重要.此题如果能融合三个特征对思维的监控，可有效地克服、抑制思维的消极作 用，培养思维的广阔性和批判性.图9如图9,过两个几何体的高线 VP, VQ的垂足P, Q分别作BC的垂线，那么垂 足重合于0,且0为BC的中点.0P延长过A，0C延长交ED于 R,考虑到三垂线定理的环境背影，/ A0F

10、为 二面角A-BC-R的平面角，结合特征1,2，可得YA0R平行四边形，VA / BE所以V, A, B, E共面.同理V, A, C, D共面.所以这道题的正确答案应该是 5个面.这一阶段的教学主要是通过教师精心设计的一组例题与练习题， 或边练边 评，或由学生一鼓作气练完后再逐题讲评， 到达练习的目的.其间要以学生“练 为主，教师“评为辅为了提高“导练质量，教师要力求解决好三个问题：1 设计好练习设计好练习是成功练习的前提如何设计好练习是一门很 深的学问，要注意：围绕重点，精选习题；由易到难，呈现题组；形式灵活，题 型多变.2 组织好练习组织练习是“导练的实质，“导练就是有指导、有组 织的练

11、习过程要通过一题多用、一题多变、一题多解等使学生举一反三，从而 提高练习的效果.有组织的练习还包括习题的临时增删、 节奏的随时控制、要求 的适时调整等.3讲评好练习.讲评一般安排在练习后进行，也可以在练习前或练习时.练 习前的讲评，目的是唤起学生的注意，提醒学生防止出错起到前馈控制的作用； 练习时的讲评，属于即时反应，即学生练习，教师巡视，从中发现共性问题及时 指出来，以引起学生的注意；更多的是练习后的讲评，如果采用题组练习，那么 最常用的方法是一组练习完毕后教师讲评，再进行下一组练习，以此类推.教师：由例1、例2和课堂练习，我们已经看到二面角的平面角有三个特征， 这三个特征互相联系，客观存在

12、，但在许多问题中却表现得模糊而冷漠， 三个特 征均藏而不露，在这种形势下，需认真探索.学生：应探索表达出一完整的三垂线定理的环境背景，有了“垂线段，便 可以定位.教师：请大家研究下面的例题.&團10例3 如图10,在正方体 ABCD-AiCD中，E是BC的中点，F在AA上，且 AF： FA=1： 2,求平面BiEF与底面AC所成的二面角大小的正切值.分析：在给定的平面BEF与底面AQ所成的二面角中，没有出现二面角的棱， 我们可以设法在二面角的两个面内找出两个面的共点，那么这两个公共点的连线即 为二面角的棱，最后借助这条棱作出二面角的平面角.略解：如图10.在面BBCG内，作EFUBC于

13、H,连结HA,显然直线EF在底面AQ的射影为 HA.延长EF, HA交于G,过G B的直线为所求二面角的棱.在平面ABCD内，作HK!GB于K,连EK,那么/ HKE为所求二面角的平面角.在平面ABQD内，作BL丄GH于 L,利用Rt GL曲Rt GKH可求得KH又在Rt EKH中，设EH=a容易得到：所求二面角大小的正切值教师：有时我们也可以不直接作出二面角的平面角， 而通过等价变换或具体 的计算得出其平面角的大小.例如我们可以使用平移法.由两平面平行的性质可知，假设两平行平面同时与 第三个平面相交，那么这两个平行平面与第三个平面所成的二面角相等或互 补.因而例3中的二面角不易直接作出其平面

14、角时， 可利用此结论平移二面角的 某一个面到适宜的位置，以便等价地作出该二面角的平面角.略解：过F作A B'的平行线交BB于G,过G作B' C的平行线交B' E 于H,连FHARB-图11显见平面FGH/平面A B' C D'.那么二面角B' -FH-G的平面角度数等于所求二面角的度数.过G作GML HF,垂足为M，连B' M,由三垂线定理知 B' ML HF.所以/ B' MG为二面角B' -FH-G的平面角，其大小等于所求二面角平面角 的大小.练习课的一个重要特征是概括.解题重要的不是统计做了多少题目， 而是

15、是否掌握了一类题的实质，即有无形成根本的解题模式，只有真正掌握了一类问 题的解题思路，才算掌握了解答这类题目的根本规律.当学生练习到一定程度就 应不失时机地引导他们总结和概括出练习的根本经验和教训，获得有意义的练习成果例4 ：如图12，P是正方形ABC所在平面外一点，PA=PB=PC=PD,=a AB=a求：平面APB与平面CPD相交所成较大的二面角的余弦值.1分析：为了找到二面角及其平面角，必须依据题目的条件，找出两个平面的 交线.解:因为 AB/ CD CD匚平面CPD AB Q平面CPD所以 AB /平面CPD又 P 平面APB且P平面CPD因此平面APBH平面CPD=l且P l .所以 二面角B-l-C就是平面APB和平面CPD相交所得到的一个二面角.因为 AB/平面CPD AB 平面APB平面CPCT平面APB=I, 所以 AB / I .过 P 作 PEL AB PEL CD因为 I / AB/ CD因此 PEL I , PFLI ,所以/ EPF是二面角B-I-C的平面角.因为 PE是正三角形APB的一条高线，且AB=a所以PE = ya,同理2*乳因为 E , F分别是AB CD的中点,所以 EF=BC=a在厶EFP中，cosZEPF =PE'+FF? -EF22 x PE