二阶线性常微分方程的幂级数解法

1、二阶线性常微分方程的幕级数解法从微分方程学中知道，在满足某些条件下，可以用幕级数来表示 一个函数。因此，自然想到，能否用幕级数来表示微分方程的解呢？ 例1、求方程 y xy 0的通解解：设 y a0 a|X a2x2 anxn 为方程的解，这里ai(i 0,1,2,n，)是待定常系数，将它对x微分两次,有y 2 1a232a3X卅 n(n 1)anXn2 (n 1)na.用 1 川将y , y的表达式代入方程，并比拟的同次幕的系数，得到x21a2 0, 3 2a3 %0,4 3a4 a 0,5 4a5a20,|或一般的可推得a3ka。2 3 5 6 川(3k 1) 3ka3k 1a3 4 6

2、7 川 3k (3k 1)a3k 20其中q , a2是任意的，因而代入设的解中可得:玄1III3nx2 3 5 6 |(3n 1) 3n| ax7X3 4 6 7 | 3n (3n 1)这个幕级数的收敛半径是无限大的， 因而级数的和(其中包括两个任 意常数a。与aj便是所要求的通解。例6求方程y 2xy 4y 0的满足初值条件y(0) 0与y(0) 1的解。 解设级数 y a0 ax a2x2 anxn 为方程的解。首先，利用初值 条件，可以得到a0 0，ai 1，因而y x a?x2 a3X3anXny 1 2a?x 3asX2n anXn 1 卅y 2a2 3 2a3xn(n 1)anX

3、n 2 卅将y , y, y的表达式带入原方程，合并x的各同次幕的项，并令各项系数等于零，得到a20, a-i1,a4 0,|幽争 2,|因而1a57 , a62!最后得0,a713!,a80, a9a2k 11k (k 1)!丄k!a2k0,对一切正整数k成立。将 ai (i 0,1,2,)的值代回2ya0 a1x a2xnanX就得到53 X y x x2!2k 1III42 Xx(1 X2!2kHIX；X2 xe这就是方程的满足所给初值条件的解。是否所有方程都能按以上方式求出其幕级数解？或者说究竟方程应该满足什么条件才能保证它的解可用幕级数来表示呢？级数的形式怎样？其收敛区间又如何？这些

4、问题，在微分方程解析理论中有 完满的解答，但因讨论时需要涉与解析函数等较专门的知识， 在此我 们仅表达有关结果而不加证明，假设要了解定理的证明过程，可参考有 关书籍。考虑二阶齐次线性微分方程dxdyP(x)0时,xs 1exdx ；当S0且非整数时，由递1 推公式(s) s定义。S具有性质s 1 s s ； n 1 n!5n为正整数Jn是由贝塞尔方程x2d4dxxdy (X2 n2)ydx0定义的特殊函数,称为n阶贝赛尔函数。因此，对于n阶贝塞尔方程，它总有一个特解Jn X为了求得另一个与Jn2 d2y时方程x 2dxX线性无关的特解，我们自然想到,xdy(x22n )y 0的形如kn1 a0

5、2k n而 y1 a0xk 1 22k k! n 1k1n 2III nk x变为2k n x21k o k!n kIIIn 1n 1注意到函数的性质，即有k1 k2k nxJn xok!n k12y2akXk 0的解，我们注意到只要 n不为非负整数，像以上对于的求解过程一样，我们总可以求得a2k 1 0 k 1,2,川a2k1.引,2 k! n 1 n 2 川 n kk 1,2,lao 2 n20a(1)2 n20使之满足 ak(k)2 n2 ak20 中的一系列方程，因k 2,3,|而y2axk1 a。k122k k! n 1 n 2 |2k nxn kd2ydx2dy 22X (x n)

6、y 0的一个特解。此时假设令aokn1*0 2k n贝y y2 a0x72k二Zilix 变小k 12 k! n 1 n 2 H n k叉为y2k 0 k!2k n称J n X为阶贝赛尔函数利用达朗贝尔判别法不难验证级数yinaxk1a。i22k k! n 1 n 2 川 n2k nXky2axk1 a。y2axki22k k!2 III2k X kk1a。k 1n2 |2k nXn kx 0都是收敛的，因此，当n不为非负整数时，Jn X和J n X2都是方程Xd2ydx2xdx(x2n2)y0的解，而且是线性无关的,因为它们可展为由X的不同幕次开始的级数，从而它们的比不可能是常数。2 d2y

7、dy22于是方程X2 X(X n)y 0的通解可写为dxdxy GJnXC2J n X这里c1，c2是任意常数。此情形的Jn X和J n X称为第一类贝塞尔函数。Q III例8求方程x y xy4x225 y0的通解解引入新变量t 2x，我们有dy dy dt ? dy dx dt dx dtd2ydx2d 2也 dt dtdtdx4d2ydt2将上述关系代入院方程，得到2t2啤型t2空y 0dt2 dt25，3这是，n 5的贝塞尔方程，由例7可知，方程2t2d ytdyt29t dFtdtt25y 0的通解可表为yC1J3 t5c2J代回原来变量，就得到原方程的通解y c1 J3 2x c2

8、J 3 2x其中c1,c2是任意常数。第二宇宙速度计算作为这一节的应用，我们计算发射人造卫星的最小速度，即所谓第二宇宙速度。在这个速度你下，物体将摆脱地球的引力，向地球一样 绕着太阳运行，成为人造卫星.让我们首先建立物体垂直上抛运动的微分方程以M和m分别表示地球和物体的质量.按牛顿万有引力定律，作用于物体的引力F 空气阻力忽略不计为mMF k2_r这里r表示地球的中心和物理体重心之间的距离,k为万有引力常mM数。因为，物体运动规律应满足下面的微分方程d2rdt2d2rdt2这里的负号表示物体的加速度是负的设地球半径为R(R 63 1 05m)，物理发射速度为Vo，因此，当物 体刚刚离开地球外表时，我们有r R, vo，即应取初值条件为dtdr当 t 0时，r R, Vodt方程 生kM2不显含自变量t,应用431 (可降阶的一些方程类dt r型)的方法，把方程降阶成为一阶方程dv v -drkM2r解得2 v.-1kMc2r注意到这时初值条件为v02 kM c2 R因而kMr(Vo2 kM)(T R因为物体运动速度必须始终保持是正的，即2V2 0，而随着r的不断2 2 2增大，量字变得任意小。因此，由二竽(号罟)看到，条件=0要对所有的r都成立，只有不等式V2 kM2 R成