第1章 1.3.3　最大值与最小值

1、.1.3.3最大值与最小值1会求在指定区间上函数的最大值、最小值其中多项式函数一般不超过三次重点2掌握含参数的最值问题的讨论难点3掌握函数的极值与最值的联络与区别易混点根底·初探教材整理函数的最大小值与导数阅读教材P32“例1以上部分，完成以下问题1函数的最大值与最小值1假如在函数定义域I内存在x0，使得对任意的xI，总有fxfx0，那么称fx0为函数fx在定义域上的最大值2假如在函数定义域I内存在x0，使得对任意的xI，总有fxfx0，那么称fx0为函数fx在定义域上的最小值函数的最大小值是相对函数定义域整体而言的，假如存在最大小值，那么函数的最大小值惟一2利用导数求函数的最值求可

2、导函数fx在区间a，b上的最大值与最小值的步骤1求fx在区间a，b上的极值；2将第一步中求得的极值与fa，fb比较，得到fx在区间a，b上的最大值与最小值1判断正误：1函数的最大值一定是函数的极大值2开区间上的单调连续函数无最值3函数fx在区间a，b上的最大值和最小值一定在两个端点处获得【答案】1×23×2函数fx2xcos x在，上_填序号无最值；有极值；有最大值； 有最小值【解析】fx2sin x>0恒成立，所以fx在，上单调递增，无极值，也无最值【答案】质疑·手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们讨论交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_

3、疑问3：_解惑：_小组合作型求函数在给定区间上的最值求以下函数的最值：1fxx3x22x5，x2,2；2fxexex，x0,1【精彩点拨】首先利用函数求极值，再比较极值与端点值的大小，确定最值【自主解答】1fx3x2x23x2x1，令fx0，得x1，x21.当x变化时，fx，fx变化情况如下表：x211,22fx00fx17从上表可知，函数fx在2,2上的最大值是7，最小值是1.2fxexex.当x0,1时，fx<0恒成立，即fx在0,1上是减函数故当x1时，fx有最小值f1e；当x0时，fx有最大值f0e0e00.求函数最值的四个步骤1求函数的定义域；2求fx，解方程fx0；3列出关于

4、x，fx，fx的变化表；4求极值、端点值，确定最值再练一题12019·盐城质检函数yx2cos x在区间上的最大值是_. 【导学号：01580015】【解析】y12sin x，x，令y0，得x.由于f02，f，f，函数的最大值为.【答案】由函数的最值确定参数的值函数fxax36ax2b，x1,2的最大值为3，最小值为29，求a，b的值【精彩点拨】首先求出fx然后讨论a的正负，根据函数fx的单调性得出用a，b表示的函数的最值，从而列出关于a，b的方程组，求a，b.【自主解答】由题设知a0，否那么fxb为常函数，与题设矛盾求导得fx3ax212ax3axx4，令fx0，得x10，x24舍

5、去1当a>0，且x变化时，fx，fx的变化情况如下表：x11,000,22fx0fx7ab单调递增b单调递减16ab由表可知，当x0时，fx获得极大值b，也就是函数在1,2上的最大值，f0b3.又f17a3，f216a3<f1，f216a329，解得a2.2当a<0时，同理可得，当x0时，fx获得极小值b，也就是函数在1,2上的最小值，f0b29.又f17a29，f216a29>f1，f216a293，解得a2.综上可得，a2，b3或a2，b29.1此题的解题关键是利用函数的单调性确定某些极值就是函数的最值，同时由于系数a的符号对函数的单调性有直接的影响，且最值也受a的

6、符号的影响，因此需要对a的符号进展分类讨论2函数的最值求参数问题属于逆向探究题型，解决该类问题的根本方法是待定系数法，列出关于参数的方程组，从而求出参数的值，但在用参数表示最值时，需要根据参数的情况分类讨论再练一题2设<a<1，函数fxx3ax2b在区间1,1上的最大值为1，最小值为，求该函数的解析式. 【导学号：01580016】【解】fx3x23ax，令fx0，得x0或xa.当x变化时，fx，fx的变化情况如下表：x11,000，aaa,11fx00fx1ab单调递增b单调递减b单调递增1ab从上表可知，当x0时，fx获得极大值b，当xa时，fx获得极小值b，而f0>fa

7、，又f1>f1，故只需比较f0与f1，f1与fa的大小因为f0f1a1>0，所以fx的最大值为f0b，所以b1.又因为f1faa12a2<0，所以fx的最小值为f11aba，所以a，所以a.故所求函数的解析式是fxx3x21.探究共研型与最值有关的恒成立问题如图1­3­6为yfx，xa，b的图象图1­3­6探究1观察a，b上函数yfx的图象，试找出它的极大值、极小值【提示】fx1，fx3为函数的极大值，fx2，fx4为函数的极小值探究2结合图象判断，函数yfx在区间a，b上是否存在最大值，最小值？假设存在，分别为多少？【提示】存在fx最

8、小值fa，fx最大值fx3探究3函数yfx在a，b上的最大小值一定是其极值吗？【提示】不一定也可能是区间端点的函数值设函数fxtx22t2xt1xR，t>01求fx的最小值ht；2假设ht<2tm对t0,2恒成立，务实数m的取值范围【精彩点拨】1利用配方法，即可求出二次函数fx的最小值ht；2构造函数gtht2tm，只需使gt在0,2上的最大值小于零即可求得m的取值范围【自主解答】1fxtxt2t3t1xR，t>0，当xt时，fx取最小值ftt3t1，即htt3t1.2令gtht2tmt33t1m，由gt3t230，得t1或t1不合题意，舍去当t变化时，gt，gt的变化情况如

9、下表：t0,111,2gt0gt单调递增极大值1m单调递减gt在0,2内有最大值g11m.ht<2tm在0,2内恒成立等价于gt<0在0,2内恒成立，即等价于1m<0.m的取值范围为1，1涉及到不等式恒成立、不等式能成立的问题时，一般需转化为函数最值来解决假设不等式中含参数，那么可考虑别离参数，以求防止分类讨论2不等式恒成立、能成立常见的转化策略1afx恒成立afx最大值，afx恒成立a<fx最小值；2fxgxk恒成立kfxgx最小值；3fxgx恒成立fx最小值gx最大值；4afx能成立afx最小值，afx能成立afx最大值再练一题3上例2假设改为“存在t0,2，使ht

10、<2tm成立，那么实数m的取值范围如何求解？【解】令gtht2tmt33t1m，由gt3t230，得t1或t1不合题意，舍去当t变化时，gt，gt的变化情况如下表：t00,111,22gt0gt1m单调递增极大值1m单调递减3mgt在0,2上有最小值g23m，存在t0,2，使ht<2tm成立，等价于gt的最小值g2<0.3m<0，m>3，所以实数m的取值范围为3，构建·体系1函数yxsin x，x的最大值是_【解析】y1cos x0，yxsin x在上是增函数，y最大值.【答案】2函数fxx33x22在区间1,1上的最大值是_. 【导学号：0158001

11、7】【解析】fx3x26x3xx2令fx0得x10，x22舍去当x1,0时，fx>0，fx递增；当x0,1，fx<0，fx递减；x0时，fx取最大值2.【答案】23函数fxexsin xcos x在区间上的值域为_ .【解析】x，fxexcos x0，f0fxf，即fx·e. 【答案】4函数fxm2ln xmR，gx，假设至少存在一个x01，e，使得fx0<gx0成立，那么实数m的取值范围是_【解析】由题意，不等式fx<gx在1，e上有解，mx<2ln x，即<在1，e上有解，令hx，那么hx，当1xe时，hx0，在1，e上，hxhe，<，m<.m的取值范围是.【答案】5a为实数，